2020届高考数学一轮复习课时训练：第13章 推理与证明、算法、复数 66(含解析)

【课时训练】第66节　数学归纳法

一、选择题

1.(2018德州模拟)用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n＋2=2n＋3－1”，在验证n=1时，左边计算所得的式子为(　　)

A.1 B.1＋2

C.1＋2＋22 D.1＋2＋22＋23

答案为：D

解析：当n=1时，左边=1＋2＋22＋23.

2.(2018常德一模)数列{an}中，已知a1=1，当n≥2时，an－an－1=2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是(　　)

A.3n－2 B.n2

C.3n－1 D.4n－3

答案为：B

解析：计算出a1=1，a2=4，a3=9，a4=16.可猜想an=n2.

3.(2018沈阳调研)用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，利用归纳法假设证明n=k＋1时，只需展开(　　)

A.(k＋3)3 B.(k＋2)3

C.(k＋1)3 D.(k＋1)3＋(k＋2)3

答案为：A

解析：假设n=k时，原式k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n=k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只须将(k＋3)3展开，让其出现k3即可.

4.(2018太原质检)平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为(　　)

A.n＋1 B.2n

C. D.n2＋n＋1

答案为：C

解析：1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)=4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)=7个区域；…；n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)=1＋=个区域.

5.(2018山东菏泽模拟)对于不等式＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：

(1)当n=1时，＜1＋1，不等式成立.

(2)假设当n=k(k∈N*且k≥1)时，不等式成立.即＜k＋1，则当n=k＋1时，=＜==(k＋1)＋1，所以当n=k＋1时，不等式成立，则上述证法　(　　)

A.过程全部正确

B.n=1验得不正确

C.归纳假设不正确

D.从n=k到n=k＋1的推理不正确

答案为：D

解析：在n=k＋1时，没用n=k时的假设，不是数学归纳法.

∴从n=k到n=k＋1的推理不正确.

二、填空题

6.(2018合肥检测)已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋=2时，若已假设n=k(k≥2，且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n=________时等式成立.

答案为：k＋2

解析：n=k(k≥2，且k为偶数)的下一个偶数为k＋2，根据数学归纳法的步骤可知，应填k＋2.

7.(2018淮北三校联考)设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有：2=anSn，通过计算S1，S2，S3，猜想Sn=________.

答案为：

解析：由(S1－1)2=S得：S1=；由(S2－1)2=(S2－S1)S2得：S2=；由(S3－1)2=(S3－S2)S3得：S3=.猜想Sn=.

8.(2018三亚模拟)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2=，则当n=k＋1时左端应在n=k的基础上加上的项为________.

答案为：(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2

解析：当n=k时，左端为1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋k2，则当n=k＋1时，左端为1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，故增加(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.

三、解答题

9.(2018秦皇岛模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an=0有一根为Sn－1(n∈N*).

(1)求a1，a2的值；

(2)猜想数列{Sn}的通项公式，并给出证明.

(1)【解】当n=1时，方程x2－a1x－a1=0有一根为S1－1=a1－1，

∴(a1－1)2－a1(a1－1)－a1=0，解得a1=.

当n=2时，方程x2－a2x－a2=0有一根为S2－1=a1＋a2－1=a2－，

∴2－a2－a2=0，解得a2=.

(2)【证明】由题意知(Sn－1)2－an(Sn－1)－an=0，

当n≥2时，an=Sn－Sn－1，代入上式整理得

SnSn－1－2Sn＋1=0，解得Sn=.

由(1)得S1=a1=，

S2=a1＋a2=＋=.猜想Sn=(n∈N*).

下面用数学归纳法证明这个结论.

①当n=1时，结论成立.

②假设n=k(k∈N*，k≥1)时结论成立，即Sk=，

当n=k＋1时，Sk＋1===.

即当n=k＋1时结论成立.

由①②知Sn=对任意的正整数n都成立.

10.(2018长春三校联考)已知f(n)=1＋＋＋＋…＋，g(n)=－，n∈N*.

(1)当n=1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系；

(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明.

(1)解析：当n=1时，f(1)=1，g(1)=1，所以f(1)=g(1)；

当n=2时，f(2)=，g(2)=，所以f(2)＜g(2)；

当n=3时，f(3)=，g(3)=，所以f(3)＜g(3).

(2)【证明】由(1)猜想f(n)≤g(n)，下面用数学归纳法给出证明.

①当n=1,2,3时，不等式显然成立.

②假设当n=k(k≥3，k∈N*)时不等式成立.

即1＋＋＋＋…＋＜－，

那么，当n=k＋1时，

f(k＋1)=f(k)＋＜－＋，

因为－

=－=＜0，

所以f(k＋1)＜－=g(k＋1).

由①②可知，对一切n∈N*，都有f(n)≤g(n)成立.

11.(2018江苏南通模拟)数列{xn}满足x1=0，xn＋1=－x＋xn＋c(n∈N*).

(1)证明：{xn}是递减数列的充分必要条件是c＜0；

(2)若0＜c≤，证明数列{xn}是递增数列.

【证明】(1)充分性：若c＜0，由于xn＋1=－x＋xn＋c≤xn＋c＜xn，

∴数列{xn}是递减数列.

必要性：若{xn}是递减数列，则x2＜x1，且x1=0.

又x2=－x＋x1＋c=c，∴c＜0.

故{xn}是递减数列的充分必要条件是c＜0.

(2)若0＜c≤，要证{xn}是递增数列.

即xn＋1－xn=－x＋c＞0，

即证xn＜对任意n≥1成立.

下面用数学归纳法证明：

当0＜c≤时，xn＜对任意n≥1成立.

①当n=1时，x1=0＜≤，结论成立.

②假设当n=k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即xk＜.

因为函数f(x)=－x2＋x＋c在区间内单调递增，所以xk＋1=f(xk)＜f()=，

∴当n=k＋1时，xk＋1＜成立.

由①②知，xn＜对任意n≥1，n∈N*成立.

因此，xn＋1=xn－x＋c＞xn，即{xn}是递增数列.