2020届高考数学一轮复习课时训练：第14章 选修部分 72(含解析)

【课时训练】第72节　证明不等式的基本方法

解答题

1.(2018广州五校联考)已知函数f(x)=|x＋3|＋|x－1|，其最小值为t.

(1)求t的值；

(2)若正实数a，b满足a＋b=t，求证：＋≥.

(1)【解】因为|x＋3|＋|x－1|=|x＋3|＋|1－x|≥|x＋3＋1－x|=4，所以f(x)min=4，即t=4.

(2)【证明】由(1)得a＋b=4，故＋=1，＋==＋1＋＋≥＋2=＋1=，当且仅当b=2a，即a=，b=时取等号，故＋≥.

2.(2018湖北八校联考)设不等式－2<|x－1|－|x＋2|<0的解集为M，a，b∈M.　

(1)证明：<；

(2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小，并说明理由.

(1)【证明】记f(x)=|x－1|－|x＋2|=

由－2<－2x－1<0解得－<x<，则M=.

所以≤|a|＋|b|<×＋×=.

(2)【解】由(1)得a2<，b2<.

因为|1－4ab|2－4|a－b|2=(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)=(4a2－1)(4b2－1)>0.

所以|1－4ab|2>4|a－b|2，故|1－4ab|>2|a－b|.

3.(2018广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)=|x－m|＋|x|，m∈N*，存在实数x使f(x)<2成立.

(1)求实数m的值；

(2)若α，β≥1，f(α)＋f(β)=4，求证：＋≥3.

【解】(1)因为|x－m|＋|x|≥|(x－m)－x|=|m|.

要使不等式|x－m|＋|x|<2有解，则|m|<2，解得－2<m<2.

因为m∈N*，所以m=1.

(2)因为α，β≥1，f(x)=2x－1(x≥1)，

所以f(α)＋f(β)=2α－1＋2β－1=4，即α＋β=3，所以＋=(α＋β)=≥=3.(当且仅当=，即α=2，β=1时等号成立)故＋≥3.

4.(2018武昌质检)已知x，y∈R，且|x|<1，|y|<1.求证：＋≥.

【证明】∵≤=≤=1－|xy|，∴＋≥≥，

∴原不等式成立.

5.(2018长沙一模)设α，β，γ均为实数.

(1)证明：|cos (α＋β)|≤|cos α|＋|sin β|，|sin (α＋β)|≤|cos α|＋|cos β|；

(2)若α＋β＋γ=0，证明：|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|≥1.

【证明】(1)|cos (α＋β)|=|cos αcos β－sin αsin β|≤|cos αcos β|＋|sin αsin β|≤|cos α|＋|sin β|；

|sin (α＋β)|=|sin αcos β＋cos αsin β|≤|sin αcos β|＋|cos αsin β|≤|cos α|＋|cos β|.　

(2)由(1)知，|cos [α＋(β＋γ)]|≤|cos α|＋|sin (β＋γ)|≤|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|，

而α＋β＋γ=0，故|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|≥cos 0=1.

6.(2018贵阳模拟)已知函数f(x)=2|x＋1|＋|x－2|.

(1)求f(x)的最小值m；

(2)若a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c=m，求证：＋＋≥3.

(1)【解】当x<－1时，f(x)=－2(x＋1)－(x－2)=－3x∈(3，＋∞)；

当－1≤x<2时，f(x)=2(x＋1)－(x－2)=x＋4∈[3,6)；

当x≥2时，f(x)=2(x＋1)＋(x－2)=3x∈[6，＋∞).

综上，f(x)的最小值m=3.

(2)【证明】a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c=3，

因为＋＋＋(a＋b＋c)=＋＋≥2=2(a＋b＋c).

(当且仅当a=b=c=1时，取等号)

所以＋＋≥a＋b＋c，即＋＋≥3.