2020届高考数学一轮复习课时训练：第13章 推理与证明、算法、复数 68(含解析)

【课时训练】第68节　复　数

一、选择题

1.(2018佛山二检)已知a>0，b>0，且(1＋ai)(b＋i)=5i(i是虚数单位)，则a＋b=(　　)

A. B.2　

C.2 D.4

答案为：D

解析：由题意得(1＋ai)(b＋i)=(b－a)＋(1＋ab)i=5i，则又a>0，b>0，所以a=b=2，则a＋b=4.

2.(2018天津质检)已知i为虚数单位，a∈R，如果复数2i－是实数，则a的值为(　　)

A.－4 B.2

C.－2 D.4

答案为：D

解析：∵2i－=2i－=2i－－i=i－∈R，∴2－=0，∴a=4.

3.(2018南昌一模)在复平面内，复数(1＋i)·i对应的点位于(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

答案为：B

解析：复数(1＋i)i=－＋i在复平面内对应的点为(－，1)，位于第二象限，故选B.

4.(2018南昌月考)是z的共轭复数，若z＋=2，(z－)i=2(i为虚数单位)，则z=(　　)

A.1＋i B.－1－i

C.－1＋i D.1－i

答案为：D

解析：设z=a＋bi，a，b为实数，则=a－bi.

∵z＋=2a=2，∴a=1.

又(z－)i=2bi2=－2b=2，∴b=－1.故z=1－i.

5.(2018新乡、许昌、平顶山调研)复数z1，z2满足z1=m＋(4－m2)i，z2=2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1=z2，则λ的取值范围是(　　)

A.[－1,1] B.

C. D.

答案为：C

解析：由复数相等的充要条件可得化简得4－4cos2 θ=λ＋3sin θ，由此可得λ=－4cos2 θ－3sin θ＋4=－4(1－sin2 θ)－3sin θ＋4=4sin2 θ－3sin θ=42－，因为sin θ∈[－1,1]，

所以4sin2 θ－3sin θ∈.

6.(2018昆明一模)已知0<a<2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是(　　)

A.(1,5) B.(1,3)

C.(1，) D.(1，)

答案为：C

解析：由于复数z的实部为a，虚部为1，且0<a<2，所以由|z|=，得1<|z|<.

7.(2018九江质检)若i为虚数单位，已知a＋bi=(a，b∈R)，则点(a，b)与圆x2＋y2=2的位置关系为(　　)

A.在圆外 B.在圆上

C.在圆内 D.不能确定

答案为：A

解析：∵a＋bi===＋i，∴则a2＋b2=>2，∴点(a，b)在圆x2＋y2=2外.

二、填空题

8.(2018南昌质检)复数(3＋i)m－(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是________.

答案为：

解析：z=(3m－2)＋(m－1)i，其对应点(3m－2，m－1)在第三象限内，故3m－2<0且m－1<0，∴m<.

9.(2018河南百校联考)已知集合M={1，m,3＋(m2－5m－6)i}，N={－1,3}.若M∩N={3}，则实数m的值为________.

答案为：3或6

解析：∵M∩N={3}，∴3∈M且－1∉M，∴m≠－1,3＋(m2－5m－6)i=3或m=3，

∴m2－5m－6=0且m≠－1或m=3，解得m=6或m=3，经检验符合题意.

10.(2018开封模拟)已知复数z=x＋yi，且|z－2|=，则的最大值为________.

答案为：

解析：∵|z－2|==，

∴(x－2)2＋y2=3.

由图可知max==.

11.(2018绍兴模拟)若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c=0的一个复数根，则b=________，c=________.

答案为：－2　3

解析：∵实系数一元二次方程x2＋bx＋c=0的一个虚根为1＋i，∴其共轭复数1－i也是方程的根.

由根与系数的关系知，

∴

12.(2018岳阳模拟)给出下列命题：

①若z∈C，则z2≥0；

②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；

③若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；

④若z=－i，则z3＋1在复平面内对应的点位于第一象限.

其中正确的命题是________.(填上所有正确命题的序号)

答案为：④

解析：由复数的概念及性质知，①错误；②错误；若a=－1，则(a＋1)i=0，③错误；z3＋1=(－i)3＋1=i＋1，④正确.

三、解答题

13.(2018合肥一中月考)复数z1=＋(10－a2)i，z2=＋(2a－5)i.若1＋z2是实数，求实数a的值.

【解】1＋z2=＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i

=＋[(a2－10)＋(2a－5)]i

=＋(a2＋2a－15)i.

∵1＋z2是实数，∴a2＋2a－15=0，解得a=－5或a=3.

又(a＋5)(a－1)≠0，∴a≠－5且a≠1，故a=3.

14.(2018大庆实验中学期末)若虚数z同时满足下列两个条件：

①z＋是实数；

②z＋3的实部与虚部互为相反数.

这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由.

【解】这样的虚数存在，z=－1－2i或z=－2－i.

设z=a＋bi(a，b∈R且b≠0)，

z＋=a＋bi＋=a＋bi＋

=＋i.

∵z＋是实数，∴b－=0.

又∵b≠0，∴a2＋b2=5.①

∵z＋3=(a＋3)＋bi的实部与虚部互为相反数，

∴a＋3＋b=0.②

由①②得解得或

故存在虚数z，z=－1－2i或z=－2－i.