2020版江苏高考数学一轮复习学案：第2课《集合及其基本运算（2）》(含解析)

____第2课__集合及其基本运算(2)______

1. 熟练掌握集合间的交、并、补集的运算以及求集合的子集．

2. 能应用分类讨论的思想解决简单的分类讨论问题.

1. 阅读：阅读必修1第11～14页．

2. 解悟：①从A∩B＝A能得到什么结论？②从A∪B＝A能得到什么结论？

3. 践习：在教材空白处，完成第13页练习第6题，第14页习题第10、13题.

　基础诊断　

1.  集合U＝{1，2}的子集个数为__4__．

解析：根据子集个数的公式可得，子集的个数为22＝4.

2.  已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，4}，则集合∁U(A∪B)＝__{3}__．

解析：由题意得，A∪B＝{1，2，4}，所以∁U(A∪B)＝{3}．

3.  (1) 已知集合A＝{y|y＝log2(x－1)}，集合B＝{y|y＝2x}，则A∩B＝__(0，＋∞)__；

(2) 已知集合A＝{x|y＝log2(x－1)}，集合B＝{y|y＝2x}，则A∩B＝__(1，＋∞)__；

(3) 已知集合A＝{(x，y)|y＝log2x}，集合B＝{(x，y)|y＝x－1}，则A∩B＝__{(1，0)，(2，1)}__．

解析：(1) 由题意得，集合A＝R，集合B＝{y|y>0}，所以A∩B＝(0，＋∞)．

(2) 由题意得，集合A＝{x|x>1}，集合B＝{y|y>0}，所以A∩B＝(1，＋∞)．

(3) 令log2x＝x－1，解得x＝1或x＝2，所以y＝0或y＝1，所以A∩B＝{(1，0)，(2，1)}．

4.  已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{－1，0，2}，则集合A∪B中所有元素之和为__5__．

解析：因为A∪B＝{－1，0，1，2，3}，所以集合A∪B中所有元素之和为－1＋0＋1＋2＋3＝5.

　范例导航　

考向❶  对子集的分类讨论

例1　已知集合A＝{2，5}，B＝{x|x2＋px＋q＝0，x∈R}．

(1) 若B＝{5}，求p，q的值；

(2) 若A∩B＝B，求实数p，q满足的条件．

解析：(1) 因为B＝{5}，所以方程x2＋px＋q＝0有两个相等的实根5，

所以5＋5＝－p，5×5＝q，所以p＝－10，q＝25.

(2) 因为A∩B＝B，所以B⊆A.

当B＝∅时，Δ＝p2－4q<0，即p2<4q；

当B＝{2}时，可求得p＝－4，q＝4；

当B＝{5}时，可求得p＝－10，q＝25；

当B＝{2，5}时，可求得p＝－7，q＝10.

综上所述，实数p，q满足的条件为p2<4q或

或或

已知函数f(x)＝的定义域为集合A，函数g(x)＝lg(－x2＋2x＋m)的定义域为集合B.

(1) 当m＝3时，求A∩∁RB；

(2) 若A∩B＝{x|－1<x<4}，求实数m的值．

解析：(1) 当m＝3时，B＝{x|－1<x<3}，

则∁RB＝(－∞，－1]∪[3，＋∞)．

又因为A＝(－1，5]，

所以A∩∁RB＝[3，5]．

(2) 因为A＝(－1，5]，A∩B＝{x|－1<x<4}，所以4是方程－x2＋2x＋m＝0的一个根，

所以－42＋2×4＋m＝0，解得m＝8.

此时集合B＝{x|－2<x<4}，符合题意．

因此实数m的值为8.

考向❷  对集合中元素的分类讨论

　例2　已知集合A＝{y|y＝－2x，x∈[2，3]}，B＝{x|x2＋3x－a2－3a>0}．

(1) 当a＝4时，求A∩B；

(2) 若A⊆B，求实数a的取值范围．

解析：(1) 由题意得，A＝[－8，－4]，

当a＝4时，B＝(－∞，－7)∪(4，＋∞)，

所以A∩B＝[－8，－7)．

(2) 方程x2＋3x－a2－3a＝0的两根分别为a，－a－3.　

①当a＝－a－3，即a＝－时，

B＝∪(－，＋∞)，满足A⊆B；

②当a<－a－3，即a<－时，

B＝(－∞，a)∪(－a－3，＋∞)，

则a>－4或－a－3<－8，解得－4<a<－；

③当a>－a－3，即a>－时，

B＝(－∞，－a－3)∪(a，＋∞)，

则a<－8或－a－3>－4，解得－<a<1.

综上所述，实数a的取值范围是(－4，1)．

已知集合A＝{x|x2＋2x－8>0}，B＝{y|y＝x2－2x＋2，x∈R}，C＝{x|(x－a)(x＋4)≤0，a∈R}.

(1) 求A∩B；

(2) 若∁RA⊆C，求实数a的取值范围．

解析：(1) 因为x2＋2x－8>0，解得x>2或x<－4，

所以A＝(－∞，－4)∪(2，＋∞)．

因为y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1，

所以B＝[1，＋∞)，

所以A∩B＝(2，＋∞)．

综上所述，A∩B＝(2，＋∞)．

(2) 因为A＝(－∞，－4)∪(2，＋∞)，

所以∁RA＝[－4，2]．

因为∁RA⊆C，且C＝{x|(x－a)(x＋4)≤0，a∈R}，所以a≥2，所以a的取值范围为[2，＋∞).

考向❸  对自变量系数的分类讨论

例3　已知集合A＝{x|0<ax＋1≤5}，集合B＝.

(1) 若A⊆B，求实数a的取值范围；

(2) 若B⊆A，求实数a的取值范围；

(3) A、B能否相等？若能，求出a的值；若不能，试说明理由．

解析：对于不等式0<ax＋1≤5，

当a＝0时，0<1<5恒成立，即x∈R，集合A＝R；

当a>0时，－<x≤，即集合A＝{x|－<x≤}；

当a<0时，≤x<－，即集合A＝{x|≤x<－}．

(1) 若A是B的子集，则当a＝0时，不满足题意；

当a>0时，需要满足解得a≥2；

当a<0时，需要满足解得a<－8.　　综上所述，a的取值范围是(－∞，－8)∪[2，＋∞)．

(2) 若B是A的子集，则当a＝0时，满足题意；

当a>0时，需要满足解得0<a≤2；

当a<0时，需要满足解得－<a<0.

综上所述，a的取值范围是.

(3) 当A＝B时，需满足A⊆B且B⊆A，即同时满足(1)和(2)，所以a＝2.

　自测反馈　

1.  设U为全集，集合A为U的子集，则A∩A＝__A__；A∪A＝__A__；A∩∅＝__∅__；A∪∅＝__A__；A∪∁UA＝__U__；A∩∁UA＝__∅__．

2. 满足{1，3}∪A＝{1，3，5}的集合A的个数是__4__．

解析：因为{1，3}∪A＝{1，3，5}，所以A＝{5}或{1，5}或{3，5}或{1，3，5}，共有4个．

3.  对于集合A，B，我们将集合{x|x∈A，且x∉B}叫作集合A与B的差集，记作A－B.

(1) 若A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，则A－B＝__{1，2，3}__；B－A＝__{6，7，8}__；

(2) 如果A－B＝∅，那么集合A与B之间的关系是__A⊆B__．

4. 已知集合P＝{y＝x2＋1}，Q＝{y|y＝x2＋1}，E＝{x|y＝x2＋1}，F＝{(x，y)|y＝x2＋1}，则与G＝{x|x≥1}为同一集合的是__Q__．

解析：集合P中y＝x2＋1就是这个集合中的一个元素；集合Q＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，与集合G为同一集合；集合E＝{x|y＝x2＋1}＝R；集合F是一个点集，所以与集合G为同一集合的是Q.

1. 区分点集和数集在书写上的不同．

2. 解题时，注意分类讨论、数形结合等思想方法的运用．

3. 你还有哪些体悟，写下来：