2020版江苏高考数学一轮复习学案：第3课《逻辑联结词与量词》(含解析)

____第3课__逻辑联结词与量词____1. 能正确对含有一个量词的命题进行否定．2. 能正确判断用“或”“且”“非”联结的命题的真假.1. 阅读：阅读选修21第10～18页．2. 解悟：①含有一个量词的命题的否定分别是什么？②由简单逻辑联结词构成的命题的真假怎么判断？3. 践习：在教材空白处，完成第15页练习第2题；第18页习题第4题.　基础诊断　2.  命题“∃x∈R，2x>0”的否定是__∀x∈R，2x≤0__．3.  下列四个命题：①3≤π；②1≥1；③π≤e；④2<3或3<2.其中假命题有__1__个．解析：①②④正确，③错误．4.  已知命题“∃x∈[1，2]，x2＋2x＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是__[－8，＋∞)__．解析：原命题的否定为∀x∈[1，2]，x2＋2x＋a<0.因为y＝x2＋2x在区间[1，2]上单调递增，所以x2＋2x≤8<－a，所以a<－8.根据含有逻辑联结词的命题的真假判断，可知原命题中a的取值范围是a<－8的补集，即a≥－8，故a的取值范围是[－8，＋∞)．　范例导航　考向❶  以函数的单调性和值域为背景，求命题的真假所对应参数的取值范围例1　设命题p：函数f(x)＝是R上的减函数；命题q：函数g(x)＝x2－4x＋3在区间[0，a]上的值域为[－1，3]．若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求实数a的取值范围．解析：因为“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，所以命题p，q中有且仅有一个命题为真命题．若命题p为真，则0<a－<1，所以<a<；若命题q为真，则g(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1在[0，a]上的值域为[－1，3]，故解得2≤a≤4.①若p真q假，则所以<a<2；②若p假q真，则所以≤a≤4.综上所述，实数a的取值范围为∪.已知a>0，设命题p：函数y＝ax在R上单调递增；命题q：不等式ax2－ax＋1>0对∀x∈R恒成立．若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求实数a的取值范围．解析：因为函数y＝ax在R上单调递增，所以命题p：a>1.因为不等式ax2－ax＋1>0对∀x∈R恒成立，所以a>0且a2－4a<0，解得0<a<4，所以命题q：0<a<4.因为“p且q”为假，“p或q”为真，所以p，q中必是一真一假．若p真q假，则解得a≥4；若p假q真，则解得0<a≤1.综上所述，a的取值范围为(0，1]∪[4，＋∞).考向❷  以函数的能成立和恒成立为背景，求命题的真假所对应参数的取值范围例2　已知命题p：∃x∈R，|sinx|>a有解；命题q：∀x∈R，ax2＋2ax＋4>0恒成立．若命题“p或q”是真命题，命题“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．解析：命题p：∃x∈R，|sinx|>a有解，则a<1；由命题q得，a＝0或解得0<a<4，所以命题q：0≤a<4.因为命题“p或q”是真命题，命题“p且q”是假命题，所以命题p，q中有且仅有一个真命题．若p真q假，则解得a<0；若p假q真，则解得1≤a<4.综上所述，实数a的取值范围是(－∞，0)∪[1，4)．已知m∈R，设命题p：∀x∈[－1，1]，x2－2x－4m2＋8m－2≥0恒成立；命题q：∃x∈[1，2]，log(x2－mx＋1)<－1成立，如果“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．解析：若p为真，则∀x∈[－1, 1]，4m2－8m≤x2－2x－2恒成立．设f(x)＝x2－2x－2，配方得f(x)＝(x－1)2－3，所以f(x)在区间[－1，1]上的最小值为－3，所以4m2－8m≤－3，解得≤m≤，所以当p为真时，≤m≤；若q为真，则∃x∈[1，2], x2－mx＋1>2成立，所以∃x∈[1，2]，m<成立．设g(x)＝＝x－，易知g(x)在区间[1，2]上是增函数，所以g(x)的最大值为g(2)＝，所以m<，所以当q为真时，m<.因为“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，所以p与q必是一真一假，当p真q假时，所以m＝；当p假q真时，所以m<.综上所述，m的取值范围是{m|m<或m＝}.考向❸  以圆锥曲线为背景，求命题的真假所对应参数的取值范围例3　已知k为实常数，命题p：方程＋＝1表示椭圆；命题q：方程＋＝1表示双曲线. (1) 若命题p为真命题，求k的取值范围；(2) 若命题“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求k的取值范围．解析：(1) 若命题p为真命题，则解得k>1，即k的取值范围是(1，＋∞)．(2) 若命题q为真命题，则k－3<0，即k<3.因为“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，所以p，q必是一真一假．当p真q假时， 解得k≥3；当p假q真时，解得k≤1.综上所述，k的取值范围是(－∞，1]∪[3，＋∞)．　自测反馈　1.  命题“∀x>0，x＋1>”的否定是__∃x>0，x＋1≤__．2.  若命题“p且q”是假命题，“非q”是假命题，则p是__假__命题．(填“真”或“假”)解析：因为“p且q”为假命题，则命题p，q中必是一真一假．又因为“非q”是假命题，所以q为真命题，所以p为假命题．3.  若命题“∃x∈R，x2＋2mx＋m≤0”是真命题，则实数m的取值范围是__(－∞，0)∪[1，＋∞)__．解析：由题意得Δ＝4m2－4m≥0，解得m≤0或m≥1，故实数m的取值范围是(－∞，0]∪[1，＋∞)．