2020版江苏高考数学一轮复习学案：第6课《函数的表示方法》(含解析)

____第6课__函数的表示方法____

1. 了解构成函数的三要素，进一步理解函数的概念．

2. 掌握函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法)，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．

3. 掌握求解函数解析式的几种类型及常用方法．

4. 了解简单的分段函数，并能简单地应用.

1. 阅读：阅读必修1第33～34页．

2. 解悟：①函数的表示方法有哪些？回顾例1并比较三种表示方法的优劣；②你能在书本中找到分段函数的定义吗？分段函数是一个函数还是多个函数？③如何求分段函数的值域或最值？④函数的解析式是函数的一种表示方法，那么求函数解析式，你知道哪些方法？

3. 践习：在教材空白处，完成第35页练习第3题和习题第2、4题.

　基础诊断　

1. 已知函数f(x)＝，g(x)＝x2＋2，则f(2)＝____；g(2)＝__6__；f(g(2))＝____；f(g(x))＝____．

解析：f(2)＝＝；

g(2)＝22＋2＝6；

f(g(2))＝f(6)＝＝；

f(g(x))＝＝.

2.  已知函数 f(x)＝则f＝____．

解析：因为f＝log3＝－2，

所以f＝f(－2)＝2－2＝.

3.  若f(x＋1)＝x2＋4x＋1，则f(x)＝x2＋2x－2．

解析：因为f(x＋1)＝x2＋4x＋1，令t＝x＋1，则x＝t－1，所以f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1＝t2＋2t－2，故f(x)＝x2＋2x－2.

4.  若等腰三角形的周长是20，底边长y是一腰长x的函数，则y＝__20－2x，x∈(5，10)__．

解析：因为△ABC是等腰三角形且周长为20，△ABC的周长＝2×腰长＋底边长，所以20＝2x＋y，即y＝20－2x.又y<2x<20，解得5<x<10，故y＝20－20x，x∈(5，10)．

5. 设二次函数f(x)的最大值是13，f(3)＝f(－1)＝5，则f(x)的解析式为__f(x)＝－2x2＋4x＋11__．

解析：由题意可设f(x)＝a(x－1)2＋13，因为f(3)＝f(－1)＝5，所以a×(－1－1)2＋13＝5，解得a＝－2，

所以f(x)＝－2(x－1)2＋13＝－2x2＋4x＋11.

　范例导航　

考向❶  求函数的解析式

例1　(1) 已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求函数f(x)的解析式；

(2) 已知函数f(x)满足2f(x)＋f＝3x，求函数f(x)的解析式．

解析：(1) 设f(x)＝kx＋b，

则由题意得3[k(x＋1)＋b]－2[k(x－1)＋b]＝2x＋17，即kx＋5k＋b＝2x＋17，

所以解得

所以f(x)＝2x＋7.

(2) 因为2f(x)＋f＝3x，①

用代替x，则2f＋f(x)＝，②

由①×2－②得，4f(x)－f(x)＝6x－，

即3f(x)＝6x－，所以f(x)＝2x－.

(1) 已知f(x) 为二次函数，且满足f(0)＝0，f(x＋1)－f(x)＝x＋1，求函数f(x)的解析式；

(2) 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x＋2，求函数f(x)和g(x)的解析式．

解析：(1) 由题意可设f(x)＝ax2＋bx.

因为f(x＋1)－f(x)＝x＋1，

所以a(x＋1)2＋b(x＋1)－(ax2＋bx)＝x＋1，

整理得2ax＋a＋b＝x＋1，

所以解得

所以f(x)＝x2＋x.

(2) 由题意可知f(x)＝f(－x)，g(－x)＝－g(x)．

因为f(x)＋g(x)＝x2＋x＋2，①

所以f(－x)＋g(－x)＝x2－x＋2，

即f(x)－g(x)＝x2－x＋2.②

由①＋②得，2f(x)＝2x2＋4，即f(x)＝x2＋2，

由①－②得，2g(x)＝2x，即g(x)＝x，

所以f(x)＝x2＋2，g(x)＝x.

考向❷  分段函数的解析式

例2　如图是函数f(x)的图象，OC段是射线，曲线OBA是抛物线的一部分，试写出f(x)的函数表达式．

解析：当x≤0时，由图象过点(－2，－2)，(0，0)可知，直线OC的斜率为1，所以射线OC的函数表达式为y＝x(x≤0)；

当x>0时，f(x)是二次函数，

所以设f(x)＝a(x－1)2＋b.

由图可知，则

解得

所以f(x)＝(x－1)2－1＝x2－2x.

故f(x)＝

设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|.

(1) 将f(x)写成分段函数，并作出y＝f(x)的图象；

(2) 解不等式f(x)>5，并求出f(x)的最小值．

解析：(1) 当x＋1<0，即x<－1时，x－2<0，

所以f(x)＝－x－1－x＋2＝－2x＋1；

当x＋1≥0且x－2≤0，即－1≤x≤2时，

f(x)＝x＋1－x＋2＝3；

当x－2>0，即x>2时，

f(x)＝x＋1＋x－2＝2x－1，

所以y＝f(x)＝

函数图象为

(2) 由题意可知，当x<－1时，1－2x>5，解得x<－2；当x>2时，2x－1>5，解得x>3，

所以f(x)>5的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)．

由图可知，f(x)的最小值为3.

考向❸  由不等式恒成立求函数解析式

例3　已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象经过点(－2，0)且不等式2x≤f(x)≤x2＋2对∀x∈R恒成立．

(1) 求函数f(x)的解析式；

(2) 若对∀x∈[－1，1]，不等式f(x＋t)<f恒成立，求实数t的取值范围．

解析：(1) 因为二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象过点(－2，0)，

所以4a－2b＋c＝0.①

因为不等式2x≤f(x)≤x2＋2对∀x∈R恒成立，

所以当x＝2时也成立，即4≤4a＋2b＋c≤4，

即4a＋2b＋c＝4.②

由①②求得b＝1，4a＋c＝2，

所以f(x)＝ax2＋x＋2－4a，

所以2x≤ax2＋x＋2－4a≤x2＋2，

即恒成立，

故

解得a＝，故c＝1，

即函数f(x)的解析式为f(x)＝x2＋x＋1.

(2) 因为对∀x∈[－1，1]，不等式f(x＋t)<f恒成立，

即(x＋t＋2)2<(x＋6)2恒成立，亦可化得<0，

解得－<t<－.

又因为x∈[－1，1]，所以－<t<－，

故实数t的取值范围为.

　自测反馈　

1. 已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f·－1，则f(x)＝__＋__．

解析：因为f(x)＝2f·－1①，用代替x得f＝2f(x)·－1②，

将②代入①得f(x)＝2·－1，化简得f(x)＝4f(x)－2－1，即f(x)＝＋.

2. 若正比例函数f(x)满足f(f(x))＝4x，则f(x)＝__±2x__．

解析：根据题意可设f(x)＝kx，因为f(f(x))＝4x，所以k(kx)＝4x，即k2x＝4x，所以k2＝4，解得k＝±2，所以f(x)＝±2x.

3. 已知f(x2－1)＝x4＋x2－2，则f(x)＝__x2＋3x(x≥－1)__．

解析：令x2－1＝t(t≥－1)，则x2＝t＋1，所以f(t)＝(t＋1)2＋t＋1－2＝t2＋3t，所以f(x)＝x2＋3x(x≥－1)．

4. 已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则实数a的值为__－__．

解析：因为a≠0，f(1－a)＝f(1＋a)．

当a>0时，1－a<1<1＋a，

则f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，

f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a，

所以2－a＝－1－3a，解得a＝－(舍去)；

当a<0时，1＋a<1<1－a，则f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－a－1，f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝3a＋2，

所以－a－1＝3a＋2，解得a＝－.

综上所述，a的值为－.

5. 已知函数f(x)＝则f(x)－f(－x)>－1的解集为__∪(0，1]__．

解析：当－1≤x<0时，0<－x≤1，所以f(x)－f(－x)＝－x－1－(x＋1)>－1，即－2x－2>－1，解得x<－.

又因为－1≤x<0，所以－1≤x<－；

当0<x≤1时，－1≤－x<0，

所以f(x)－f(－x)＝－x＋1－(x－1)>－1，

即－2x＋2>－1，解得x<.

又因为0<x≤1，所以0<x≤1.

综上所述，原不等式的解集为∪(0，1]．

1.  要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域，定义域是使式子有意义的x的取值范围，同时也要注意变量的实际意义．

2.  准确理解分段函数的定义、特点及应用．分段函数是指函数的表达式是分段表示的，它是一个函数．

3. 你还有哪些体悟，写下来：