2020版江苏高考数学一轮复习学案：第16课《函数与方程》(含解析)

____第16课__函数与方程____

1. 理解函数零点的概念，函数零点与方程根的关系．

2. 利用函数与方程、分类讨论、数形结合、化归等数学思想与方法解决函数、方程、不等式等有关问题.

1. 阅读：必修1第91～96页．

2. 解悟：①函数零点的定义是什么？②函数的零点与方程的根有何联系？③根据例1的解答可以引导学生通过导数研究f(x)的单调性进而画出函数f(x)图象的草图，寻找f(x)与x轴的交点个数来解决问题；④间接法：根据例2的解答可以引导学生将x3＋x－1＝0 整理成 x3＝1－x 或者x2＋1＝的形式进而化归到两个函数或图象的交点个数问题．

3. 践习：在教材空白处，完成第96页习题第1题，第97页习题第1题.

　基础诊断　

1. 判断下列命题是否正确：

(1) 函数f(x)＝x2－1的零点是(－1，0)和(1，0)．(　　)

解析：函数的零点是指使函数值为零的自变量x的取值，所以函数f(x)＝x2－1的零点是－1和1，故是错误的．

(2) 函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点(函数图象连续不断)，则一定有f(a)·f(b)<0.(　　)

解析：函数f(x)＝x2在区间(－1，1)上有零点0，但f(－1)·f(1)>0，故是错误的．

(3) 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(　√　)

解析：当b2－4ac<0时，二次函数图象与x轴没有交点，所以没有零点，故是正确的．

(4) 若函数f(x)在区间(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．(　　)

解析：函数f(x)在(a，b)上单调且连续不断，若f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且仅有一个零点．

2. 函数f(x)＝－lgx的零点有__1__个．

解析：令f(x)＝0，得＝lgx，函数f(x)＝－lgx零点的个数，就是函数y＝与y＝lgx的图象的交点个数．作出函数y＝与y＝lgx的图象，如图所示，由图象可得，函数y＝与y＝lgx的图象有且只有1个交点，所以函数f(x)＝－lgx的零点个数为1.

3. 已知方程x2－6x＋4＝0的较大根在区间(m，m＋1)(m∈Z)上，则实数m＝__5__．

解析：由题意得x2－6x＋4＝0，即(x－3)2＝5，较大的根为3＋，在5～6之间，所以m＝5.

4. 函数f(x)＝＋ln的零点大致所在的区间为__②__．(填序号)

①(1，2)；　　　②(2，3)；

③(3，4)；　　　④(1，2)与(2，3)．

解析：f(x)＝＋ln＝－ln(x－1)，当x>1时，函数f(x)为单调减函数．当1<x<2时，ln(x－1)<0，>0，f(x)>0，则函数f(x)在区间(1，2)上没有零点．f(2)＝1－ln1＝1，f(3)＝－ln2＝＝.因为＝2，2>e，所以8>e2，即ln8>2，则f(3)<0.又f(4)＝－ln3<0，所以函数f(x)在区间(2，3)上存在一个零点，在区间(3，4)上没有零点，故填②.

　范例导航　

考向❶  一元二次方程根的分布问题

例1　已知关于x的方程2kx2－2x－3k－2＝0的两实数根一个小于1，另一个大于1，求实数k的取值范围．

解析：令f(x)＝2kx2－2x－3k－2，

由题意得，k·f(1)<0，即k(2k－2－3k－2)<0，

解得k>0或k<－4，

故实数k的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．

已知函数f(x)＝2ax2＋2x－3在区间(0，1)上有零点，求实数a的取值范围．

解析：①若a＝0，则f(x)＝2x－3，

令f(x)＝0，解得x＝∉(0，1)，故a≠0；

②当a≠0时，若f(x)在区间(0，1)上有一个零点，则 f(0)·f(1)<0，即－3(2a＋2－3)<0，

解得a>；

若f(x)在区间(0，1)上有两个零点，则

或无解．

综上，实数a的取值范围为.

考向❷  零点存在性定理

例2　已知函数f(x)＝lnx＋2x－6.

(1) 证明：函数f(x)有且只有一个零点；

(2) 求该零点所在的一个区间，使得这个区间的长度不超过.

解析：(1) f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)是增函数．

因为f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3>0，

所以f(2)·f(3)<0.

所以f(x)在区间(2，3)上至少有一个零点．

又因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．

(2) 由(1)知f(2)<0，f(3)>0.

所以f(x)的零点x0∈(2，3)．

取x1＝，因为f＝ln －1＝ln －lne<0，所以f·f(3)<0，所以x0∈.

取x2＝，因为f＝ln －＝ln －ln e>0，

所以f·f<0，

所以x0∈，且＝≤，

所以即为符合条件的区间.

已知函数f(x)＝log2x＋2x－m有唯一零点，如果它的零点在区间(1，2)上，那么m的取值范围为__(2，5)__．

解析：因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，

所以f(1)f(2)<0，即(2－m)(1＋4－m)<0，

解得2<m<5，

故m的取值范围为(2，5).

考向❸  函数与方程

例3　已知f(x)＝，若方程[f(x)]2－f(x)＋a＝0有四个不等的实数根，则a的取值范围是____．

解析：由题意f(x)＝，得

f(x)＝

当x≥0时，f′(x)＝＝，　

若x∈[0，1)，则f′(x)>0，f(x)单调递增；

若x∈(1，＋∞)，f′(x)<0，f(x)单调递减．

当x<0时，f′(x)＝－＝－<0，故f(x)单调递减．

若方程[f(x)]2－f(x)＋a＝0有四个不等的实数根，

则当x∈(0，1)，即f(x)∈时有一个根，另一个根大于，所以解得0<a<，故a的取值范围为.

　自测反馈　

1. 若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点是2，则函数g(x)＝ax2＋bx的零点是__0，2__，函数h(x)＝bx2－ax的零点是__0，－__．

解析：由题意得，2a＋b＝0，即b＝－2a，令g(x)＝0，则ax2＋bx＝0，解得x＝0或x＝－＝2，所以函数g(x)的零点是0和2；令h(x)＝0，则bx2－ax＝0，解得x＝0或x＝＝－，所以函数h(x)的零点是0和－.

2. 已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是__(0，1)__．

解析：由题意得函数f(x)＝画出函数f(x)的图象如图所示，因为函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，所以方程f(x)＝m有3个不等的实数解，由图象可知，实数m的取值范围是(0，1)．

3. 若关于x的方程x2－2ax＋4＝0的两个实数根均大于1，则实数a的取值范围是____．

解析：由题意可得

解得2≤x<，故实数a的取值范围是.

4. 若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是__4__．

解析：由题意可得函数f(x)是以2为周期的偶函数，因为x∈[0，1]时，f(x)＝x，所以x∈[－1，0]时，f(x)＝－x.函数y＝f(x)－log3|x|的零点的个数等价于函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x| 的图象的交点个数，在同一个直角坐标系中画出函数y＝f(x)与函数y＝log3|x|的图象，如图所示，显然函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x| 的图象有4个交点，故零点个数为4.

1.  函数y＝f(x)的零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标⇔方程f(x)＝0的实数根⇔不等式f(x)>0或f(x)<0的解的端点．

2.  对于方程在指定范围内有解问题一般可采用分离参数法将其转化为研究函数的值域问题．特别地，对于含有参数的一元二次方程在指定范围内有解问题也可用方程根的分布解决，但优先考虑分离参数法.

3. 你还有哪些体悟，写下来：