2020版江苏高考数学一轮复习学案：第15章 第6课《排列、组合的综合问题》(含解析)

第6课__排列、组合的综合问题____

　基础诊断　

1. 某同学逛书店，发现三本喜欢的书，决定至少买其中一本，则购书方案有________种．

2. 用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________．

3. 一天的课有6节，其中上午4节，下午2节，要安排语文、数学、英语、微机、体育、地理6节课，要求上午第一节不安排体育课，数学课必须安排在上午，微机必须安排在下午，有________种不同的排课方法．

4. 用数字1，2，3，4，5，6组成无重复数字的四位数，然后把它们从小到大排成一列，则3 145是这个数列的第________项．

　范例导航　

　　例1　6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：

(1) 分给甲、乙、丙三人，每人2本；

(2) 分为三份，每份2本；

(3) 分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；

(4) 分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；

(5) 分给甲、乙、丙三人，每人至少1本．

有编号为1，2，3，4的4张不同卡片，按照下列方案处理，各有多少种不同的方法？

(1) 甲得两张，乙得两张；

(2) 平均分成两堆，每堆两张．

　　例2　(1) 7个相同的小球，任意放入4个不同的盒子中，试问：每个盒子都不空的放法共有多少种？

(2) 计算x＋y＋z＝6的正整数解有多少组？

(3) 计算x＋y＋z＝6的非负整数解有多少组？

有8名师范大学毕业生被分配到A，B，C，D这四所中学任教，每校2人，其中甲、乙两人不得分配到A中学去，则不同的分配方法有多少种？

　　例3　7人站成一排，按下列情况各有多少种不同的排法？ (只列式不计算)

(1) 要求甲不在排头；

(2) 要求甲，乙，丙三人相邻；

(3) 要求甲，乙，丙三人不相邻；

(4) 要求甲在乙前面；

(5) 第一排坐3人，第二排坐4人．

8个人(其中含有甲、乙两人)站成一排，甲、乙之间正好相隔2人，有多少种不同排法？

　自测反馈　

1. 4个不同的苹果放入编号为1，2，3，4的4个盒子里，恰有一个空盒的放法种数为________．

2. 电视台有8个节目准备分两天播出，每天播出4个，其中某电视剧和某专题报道必须在第一天播出，某谈话节目必须在第二天播出，有________种不同播出方案．

3. 有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻放入的方法种数是________．

4. 一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙2工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙2工人中安排1人，则不同的安排方案共有________种．

1. 排列与顺序有关，组合只要取出元素即可，与顺序无关．

2. 在解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步．分类要做到“不重不漏”；分步要做到“步骤完整”．

3. 你还有哪些体悟，写下来：

第6课　 排列、组合的综合问题

　基础诊断　

1. 7　解析：根据题意分3种情况讨论，一是买1本，则购书方案有C＝3(种)；二是买2本，则购书方案有C＝3(种)；三是3本全买，有1种购书方案．综上共有C＋C＋1＝7(种)购书方案．

2. 48　解析：由题意，末尾是2或4，前3位在其余4个数中选出3个排列，根据分步乘法原理可得CA＝48.

3. 156　解析：分两种情况讨论，第一种情况，上午第一节安排数学，微机安排在下午共有AA＝48(种)；第二种情况，上午第一节课不安排数学，也不能安排体育和微机，则这节课只有3种排法，数学只能安排在上午2，3，4节课，微机安排在下午，故共有3AAA＝108(种)排法，一共有156种方法．

4. 125　解析：由题意可知，1为首位的四位数有1×5×4×3＝60(个)；2为首项的四位数有1×5×4×3＝60(个)；3为开头时，以312为开头有3个，以314为开头有3个，分别为3 142，3 145，3 146，60＋60＋3＋2＝125(项)，3 145为第125项．

　范例导航　

例1　解析：(1) CCC＝90(种)．

(2)  ＝15(种)．

(3) CCC＝60(种)．

(4) CCCA＝360(种)．

(5) 有3类情况，拿4本，1本，1本的情况为CCC＝90(种)；都拿2本，90种情况；拿3本，2本，1本，有360种情况．综上共有90＋90＋360＝540(种)．

解析：(1) CC＝6(种)　(2) ＝3(种)

例2　解析：(1) 先将其中4个相同的小球放入4个盒子中，有1种放法；再将其余3个相同的小球放入4个不同的盒子中，有以下3种情况：

①某一个盒子放3个小球，就可从这4个不同的盒子中任选一个放入这3个小球，有C种不同的放法；

②这3个小球分别放入其中的3个盒子中，就相当于从4个不同的盒子中任选3个盒子，分别放入这3个相同的小球，有C种不同放法；

③这3个小球中有两个小球放在1个盒子中，另1个小球放在另一个盒子中，从这4个不同的盒子中任选两个盒子排成一列，有A种不同的方法．

综上可知，满足题设条件的放法为C＋C＋A＝20(种)．

(2) 可看作将6个相同小球放入三个不同盒子中，每盒非空有多少种放法. 转化为6个0，2个1的排列，要求1不排在两端且不相邻，共有C＝10(种)排法，因此方程x＋y＋z＝6有10组不同的正整数解．

(3) 可看做将6个相同小球放入三个不同的盒子中，转化为6个0，2个1的排列，共有C＝28(种)排法，因此方程x＋y＋z＝6有28组不同的非负整数解．

解析：CCCC＝1 350(种)．

例3　解析：(1) 方法一：(从特殊元素甲考虑)先在除排头外6个座位安排给甲，剩下的6人全排列，所以站法有CA种．

方法二：(从特殊位置首位考虑)先从除甲外的6人中安排1人坐在首位，剩下是6人坐6位置的全排列，结果为CA.

方法三：(间接法)从反面考虑将甲在首位的情形去掉即可，则A－A＝6×A.

(2) 先将甲，乙，丙三人捆绑在一起看作一个元素，与其余4人共有5个元素做全排列，有AA 种排法．

(3) 可先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素甲，乙，丙在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入，共有AA种．

(4) 对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数，共有种．

(5) 把n个元素排成若干排的问题，若没有其他的特殊要求，可采用统一排成一排的方法来处理，所以共有A种．

解析：先从除甲、乙两人之外的6个人中选出2人站在甲、乙之间，共有CAA种方法，将这4人看成整体与其余4人全排列，有A种方法，共有CAAA＝7 200(种)方法．

　自测反馈　

1. 144　解析：四个不同的苹果放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个苹果，从4个苹果中选两个作为一个元素，同另外两个元素在四个位置全排列故有CA＝144(种)不同的放法．

2. 5 760　解析：由题意可知第一天的播出节目是某电视剧和某专题报道以及在剩余5个节目中任选2个作全排列，第二天为剩余的4个节目作全排除，则共有CAA＝5 760(种)方案．

3. 48　解析：假设第一本是语文书(或数学书)，第二本是数学书(或语文书)，则有4×2×2×2×1＝32(种)可能；假设第一本是语文书(或数学书)，第二本物理书，则有4×1×2×1×1＝8(种)可能；假设第一本是物理书，则有1×4×2×1×1＝8(种)可能．综上共有32＋8＋8＝48(种)可能．

4. 36　解析：根据题意得若第一道工序由甲来完成，则第四道工序必由丙来完成，故完成方案有A＝12(种)；若第一道工序由乙来完成，则第四道工序必由甲、丙两人之一完成，故完成方案有AA＝24(种)，则不同的安排共有12＋24＝36(种)．