2020版江苏高考数学一轮复习学案：第16章 第8课《随机变量与超几何分布》(含解析)

第8课__随机变量与超几何分布____

　基础诊断　

1. 袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是________．

2. 随机变量ξ的取值为0，1，2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则P(ξ＝1)＝________．

3. 从一副去掉大、小王的扑克牌(52张)中任取10张，则至少有一张K的概率________(列出表达式)．

4. 一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其中分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为________．

　范例导航　

　　例1　(1) 设X是一个离散型随机变量，其概率分布为

　　则q＝________．

(2) 设离散型随机变量X的概率分布为

求2X＋1的概率分布．

设随机变量ξ的概率分布为P＝ak(k＝1，2，3，4，5)．

(1) 求a；

(2) 求P；

(3) 求P.

　　例2　高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．现一次从中摸出5个球．

(1) 若摸到4个红球1个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率；

(2) 若至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率．

生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品. 采购方接受该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接受该批产品. 问：该批产品被接受的概率是多少？

　　例3　某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：

其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．

(1) 求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；

(2) 求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的概率分布与均值E(X)．

　自测反馈　

1. 设某项实验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述在1次实验中的成功次数，则P(X＝1)＝________．

2. 设随机变量X的概率分布列为

则P(|X－3|＝1)＝________．

3. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，c∈{－3，－2，－1，0，1，2，3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝|a－b|的取值，则ξ的均值E(ξ)为________．

4. 4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选三人中的女生人数．求：

(1) ξ的分布列；

(2) 所选三人中女生人数ξ≤1的概率．

1. 对于随机变量X的研究，需要了解随机变量X取哪些值，然后求取这些值或取某个集合内值的概率．对于离散型随机变量，它的分布列是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率．

2. 超几何分布的两个特点：①是不放回抽样；②随机变量为抽到的某类个体的个数．

3. 求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率．

4. 你还有哪些体悟，写下来：

第8课　随机变量与超几何分布

　基础诊断　

1. 9　解析：因为是有放回的取出两个球，所以两个球的号码之和x的可能取值包括2，3，4，5，6，7，8，9，10共9个．

2. 　解析：令P(ξ＝1)＝x，则P(ξ＝2)＝－x，由此可得 0×＋1×x＋2×＝－x＝E(ξ)＝1，解得x＝，即P(ξ＝1)＝.

3. 1－　解析：从52张中抽取10张扑克牌的可能结果为C，与至少有一张K相对的事件为一张K都没有，10张中不含有K的可能结果为C，所以至少有一张K的概率为1－.

4. 　解析：由题意取出的3个球必为2个旧球、1个新球，故P(X＝4)＝＝.

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例1　(1) －　解析： 因为＋2－3q＋q2＝1，所以q＝－或q＝＋(舍)．

(2) 解析：由概率分布的性质可得m＝0.3.又因为X＝0，1，2，3，4，则2X＋1＝1，3，5，7，9.

从而2X＋1的分布列为

解析：(1) 由概率分布的性质，得a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，所以a＝.

(2) P＝P＋P＋P(X＝1)＝3×＋4×＋5×＝.

(3) P＝P＋P＋P＝＋＋＝＝.

【注】 本例题利用概率分布中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，保证每个概率值均为非负数；求随机变量在某个范围内的概率时，根据概率分布，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其根据是互斥事件的概率加法公式．

例2　解析：(1) 用随机变量X表示取到的红球数，则X服从超几何分布H(5，10，30)．

由公式得H(4；5，10，30)＝＝≈0.029 5，

所以获一等奖的概率约为2.95%.

(2) 根据题意，设随机变量X表示“摸出红球的个数”，则X服从超几何分布H(5，10，30)，X的可能取值为0，1，2，3，4，5，根据公式可得至少摸到3个红球的概率为：

P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)＝＋＋≈0.191 2，

故中奖的概率约为19.12%.

解析：以50箱为一批产品，从中随机抽取5箱，用X表示“5箱中不合格产品的箱数”，则X服从超几何分布H(5，2，50)．这批产品被接受的条件是5箱中没有不合格的箱或只有1箱不合格，所以被接受的概率为P(X≤1)，即P(X≤1)＝＋＝，　

故该批产品被接受的概率是(约为0.991 84)．

【注】 本例题可以先判断出是超几何分布，点评时注意几点：(1) 超几何分布列的概率公式；(2) 要注意解题的步骤，应用公式解题．

例3　解析：设Ai(i＝0，1，2，3)表示摸到i个红球，Bj(j＝0，1)表示摸到j个蓝球，则Ai与Bj独立．

(1) 恰好摸到1个红球的概率为P(A1)＝＝.

(2) X的所有可能值为0，10，50，200，则

P(X＝200)＝P(A3B1)＝P(A3)P(B1)＝·＝；P(X＝50)＝P(A3B0)＝P(A3)P(B0)＝·＝；P(X＝10)＝P(A2B1)＝P(A2)P(B1)＝·＝＝；P(X＝0)＝1－－－＝.

综上可知，获奖金额X的概率分布为

从而有E(X)＝0×＋10×＋50×＋200×＝4(元)．

【注】 求解离散型随机变量X的概率分布的步骤：①理解X的意义，写出X可能取的全部值；②求X取每个值的概率；③写出X的概率分布. 求离散型随机变量的概率分布的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．

　自测反馈　

1. 　解析：由题意可知成功率是失败率的2倍，那么记1次实验成功率与失败率分别为P(X＝1)，P(X＝0)，则P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，解得P(X＝1)＝.

2. 　解析：由题意可得m＝1－－－＝，P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝＋＝.　

3. 　解析：因为抛物线的对称轴在y轴左侧，所以b与a同符号，且a≠0，b≠0，所有满足的抛物线总数有3×3×2×7＝126(个)，|a－b|可能取值有0，1，2.当ξ＝0时，有6×7＝42(个)，P(ξ＝0)＝＝；当ξ＝1时，有4×2×7＝56(个)，P(ξ＝1)＝＝；当ξ＝2时，有4×7＝28(个)，P(ξ＝2)＝＝，故E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.

4. 解析：(1) ξ的分布列为

(2) P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝.