2020版江苏高考数学一轮复习学案：第23课《三角函数的基本概念》(含解析)

第四章　三 角 函 数

____第23课__三角函数的基本概念____

1. 理解任意角的概念；理解终边相同的角的意义．

2. 了解弧度的意义，并能进行弧度与角度的互化．

3. 掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

1. 阅读：必修4第4～15页．

2.  解悟：①正角、负角、零角、象限角、轴线角、终边相同角的含义；②弧度制下的弧长、扇形面积公式；③任意角的三角函数的定义．

3.  践习：在教材空白处完成必修4第7页练习第3、8题；第10页练习第8题；第15页练习第3题.

　基础诊断　

1. 若角α的终边与角120°的终边相同，则是第__一、三__象限角．

解析：由题意得，a＝360°·k＋120°(k∈Z)，则＝180°·k＋60°(k∈Z)，所以是第一、三象限角．

【备用题】 用弧度制表示下列集合：

(1) y轴负半轴；(2) 第二、四象限角平分线；(3) 第一象限角．

解析：(1) .

(2) .(注意是kπ！)

(3) .

注：(1)、(2)答案不唯一，也常写成：

(1)  .

(2) .

2. 若角α的终边经过点P(x，－6)，且tanα＝－，则x的值为__10__．

解析：tanα＝－＝－，则x＝10.

3.  若扇形周长为10，面积是4，则扇形圆心角的弧度数为____．

解析：设圆心角是θ，半径是r，则得或(舍去)，

所以扇形的圆心角的弧度数为.

4.  给出下列命题：

①第二象限角大于第一象限角；

②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；

③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关；

④若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；

⑤若cosθ<0，则θ是第二或第三象限角．

其中正确的命题是__③__. (填序号)

解析：由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的一个内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；正弦值相等，但角的终边不一定相同，故④错；当θ＝π，cosθ＝－1<0时，既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知，只有③正确．

　范例导航　

考向❶  三角函数的值及符号的判定

例1　已知sinα<0且tanα>0.

(1) 求角α的集合；

(2) 求角终边所在的象限；

(3) 判断tan·sin·cos的符号．

解析：由sinα<0得角α在第三、四象限或y轴的负半轴上，由tanα>0得α在第一、三象限，故满足题意的角α在第三象限．

(1) 角α的集合为{α|2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z}．

(2) 由2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z，得kπ＋<<kπ＋，k∈Z，故的终边在第二、四象限．

(3) 当的终边在第二象限时，tan·sin·cos>0；当的终边在第四象限时，tan·sin·cos>0.综上，tan·sin·cos>0.

若θ是第二象限角，且＝－cos，则是第几象限角？

解析：因为θ是第二象限角，所以2kπ＋<θ<2kπ＋π，k∈Z，则kπ＋<<kπ＋，k∈Z，所以为第一、三象限角．又因为|cos|＝－cos，所以cos<0，所以为第三象限角．

【注】 (1) 三角函数值的符号取决于角终边所在的象限．

(2) 写终边所在的象限时，要对k的奇偶性进行分类讨论.

考向❷  三角函数定义的应用

例2　若α是第二象限角，P(x，)为其终边上的一点，且cosα＝x，求sinα的值．

解析：因为OP＝，所以cosα＝＝x.又α是第二象限角，所以x<0，得x＝－，所以sinα＝＝.

已知角α的终边经过点P(x，－)(x≠0)，且cosα＝x，求sinα＋的值．

解析：因为P(x，－)(x≠0)，所以点P到原点的距离r＝.

又cosα＝x，所以cosα＝＝x.

因为x≠0，所以x＝±，所以r＝2.

当x＝时，点P坐标为(，－)．

由三角函数的定义，有sinα＝－＝－，

＝－＝－，

所以sinα＋＝－－＝－.

当x＝－时，同理可求得sinα＋＝.　

【注】 利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意异于坐标原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r，若题中已知角的终边在一条直线上，此时注意分两种情况进行分析．

【备用题】 已知角α的终边过点(a，2a)(a≠0)，求α的正弦、余弦、正切函数值．

【点评】 本题是依据条件求三角函数值，要先由x＝a，y＝2a求出r＝|a|后再用定义．

解析：因为过点(a，2a)(a≠0)，

所以r＝|a|，x＝a，y＝2a.

当a>0时，sinα＝＝＝＝，

cosα＝＝＝，tanα＝2；

当a<0时，sinα＝＝＝＝－，

cosα＝＝＝－；tanα＝2.

反思比较：比书上例题多了不确定因素，所以需要分类讨论.

考向❸  弧长公式及扇形的面积公式

　例3　已知一个扇形的圆心角是α，0<α<2π，其所在圆的半径为R.

(1) 若α＝，R＝10cm，求扇形的弧长及该扇形内的弓形的面积；

(2) 若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？

解析：(1) 设扇形的弧长l，该扇形内的弓形的面积为S，当α＝，R＝10cm时，可知l＝αR＝ cm，而S＝S扇形－S△AOB＝lR－R2sin＝××10－×100×＝cm2.　

(2) 2R＋l＝C，l＝|α|·R＝αR，

所以2R＋αR＝C，

所以R＝，所以S扇形＝|α|R2＝αR2＝α×＝C2×＝C2×≤C2×＝C2.当且仅当α＝2时，等号成立，即当α＝2弧度时，该扇形有最大面积C2.

扇形的面积为20cm2，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的周长最小？

解析：设扇形的半径为r，则扇形的弧长为|α|r.因为0<α<2π，所以扇形面积S＝αr2＝20，则r＝＝2.又因为扇形的周长C＝2r＋αr＝(2＋α)r＝2(2＋α)＝2≥8，当且仅当α＝2弧度时，周长取得最小值．

【注】 弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用起来也方便得多，我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式．

　自测反馈　

1. 将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是__－__．

解析：将分针拨快10分钟，则分针顺时针转过60°，化为弧度数为－.

2. 已知角α的终边经过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－，则m＝____．

解析：角α的终边经过点P(－8m，－3)，又因为cosα＝－<0，所以角α的终边在第三象限，则m>0，所以OP＝，cosα＝＝－，解得m＝.

3.  已知角α的顶点在坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与直线y＝3x重合，则角α的正弦值为__±__．

解析：由题意得，tanα＝3，所以角α的终边在第一、三象限，若角α的终边在第一象限，则sinα＝.若角α的终边在第三象限，则sinα＝－，所以角α的正弦值为±.

4. 若角α与终边相同，则在[0，2π]上终边与角的终边相同的角是__，，，__．

解析：由题意得，α＝2kπ＋，k∈Z，所以＝＋，k∈Z.又因为∈[0，2π]，所以k＝0，1，2，3时，分别为，，，.

1. 任意角的三角函数是学习三角函数的基础，要注意在求解相关三角函数值时对符号的讨论，牢记“角优先”，明确角的取值范围．

2. 运用三角函数的定义解三角函数有关问题，既体现了“回到定义”的思维策略的重要意义，也是一种重要的转化方法，应该重视这种“代数化”的思想．

3. 你还有那些体悟，写下来：