2020版江苏高考数学一轮复习学案：第24课《三角函数的诱导公式》(含解析)

____第24课__三角函数的诱导公式____

1. 理解正弦、余弦、正切的诱导公式．

2. 会运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数．

3. 能熟练运用诱导公式进行简单的三角函数的化简、求值及恒等式证明.

1. 阅读：必修4第18～21页．

2. 解悟：①三角函数诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”；②用诱导公式求任意角的三角函数值的一般步骤：负角变正角，大角变小角(锐角三角函数)．

3.  践习：必修4第20页练习第2题；第22页习题第4、5、6题.

　基础诊断　

1. sin(－750°)＝__－__．

解析：sin(－750°)＝－sin750°＝－sin(2×360°＋30°)＝－sin30°＝－.

2. tan300°＋2sin450°cos(－120°)的值为__－－1__．

解析：tan300°＋2sin450°·cos(－120°)＝tan(－60°)＋2sin90°·(－cos60°)＝－＋2×1×＝－－1.

3. 若sin(125°－α)＝，则sin(α＋55°)＝____．

解析：sin(α＋55°)＝sin[180°－(125°－α)]＝sin(125°－α)＝.

4. 化简：＝__1__．

解析：＝＝1.

　范例导航　

考向❶  通过诱导公式将角变形

　　例1　

(1) 化简：；

(2) 已知cos＝，求sin(α－)的值．

解析：(1) sin(2π－α)＝sin(－α)＝－sinα，

tan(3π－α)＝tan(π－α)＝－tanα，

tan(－α－π)＝－tan(α＋π)＝－tanα，

原式＝＝＝＝1.

本题采用的策略是将容易出错的部分分别化简．

(2) sin＝sin[－－(－α)]

＝－sin＝－cos＝－.

化简：＝__1__．

解析：原式＝＝1.

【备用题】 若sin＝，求cos与 cos的值．

解析：cos＝cos

＝sin＝.

cos＝cos

＝－sin＝－.

【注】 化简的实质是恒等变形，化简的结果应尽可能简洁. 应该满足：①涉及的三角函数名称较少；②表达形式较简单；③特殊角的三角函数应求出它们的值.

考向❷  利用诱导公式，进行化简求值

例2　已知cos(π＋α)＝－，且α为第四象限角，计算：

(1) sin(2π－α)；

(2) (n∈Z)．

解析：因为cos(π＋α)＝－，

所以－cosα＝－，cosα＝.

又α在第四象限，所以sinα＝－＝－.

(1) sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)＝－sinα＝.

(2) 原式＝

＝＝－＝－＝－4.

化简：(n∈Z)．

解析：①当n＝2k，k∈Z时，

原式＝＝；

②当n＝2k＋1，k∈Z时，

原式＝

＝－.

【注】 关键是注意题中的整数n是表示π的整数倍，与公式一中的整数k的意义有区别，所以必须把n分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论.

【备用题】 已知sin＝，

求的值．

【点评】 先进行化简，再代入求值，关键是正确应用诱导公式．注意适当化简或变形，如cos(α－2π)＝cos(2π－α)＝cosα，

sin＝－sin＝－sin(－α)＝sin＝cosα.

解析：原式＝

＝＝＝.

【注】 诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤为：①负角变正角；②转化为锐角.

考向❸  诱导公式的综合运用

例3　已知sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)，且0<α<π，0<β<π，求α和β的值．

解析：由已知得

①2＋②2得sin2α＋3cos2α＝2(sin2β＋cos2β)，

即sin2α＋3(1－sin2α)＝2，

化简得sin2α＝，解得sinα＝±.

又0<α<π，所以sinα＝，所以α＝或α＝.

将α＝或α＝代入②，

得cosβ＝或cosβ＝－.

又0<β<π，所以β＝或β＝，

所以α＝，β＝或α＝，β＝.

若角α满足sin(540°＋α)＝－，求.

解析：sin(540°＋α)＝sin(180°＋α)＝－sinα＝－，则sinα＝.

原式＝＝sinα＝.

【备用题】 已知f(α)＝.

(1) 化简f(α)；

(2) 若α是第三象限角，且sin＝－，求f(α)；

(3) 若α＝－，求f(α)．

解析：(1) f(α)＝＝tanα.

(2) 因为sin＝sin＝cosα＝－，且α为第三象限角，所以sinα＝－＝－，所以f(α)＝＝.

(3) 因为α＝－＝－－4π，

所以tanα＝tan＝tan

＝－tan＝－，

即f(α)＝－.

　自测反馈　

1.  若sin＝－，则cos＝__－__．

解析：cos＝cos＝sin＝－.

2.  计算：sin＋2sin＋3sin＝__0__．

解析：原式＝－sin－2sin＋3sin＝0.

3. 已知函数f(α)＝，则f＝____．

解析：f(x)＝＝cosα，则

f＝cos＝cos＝cos＝.

4. 在△ABC中，下列等式成立的是__①__．(填序号)

①sin(A＋B)＝sinC；

②cos(B＋C)＝cosA；

③tan＝tan；

④sin＝－cos.

解析：因为A＋B＋C＝π，

所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC；

cos(B＋C)＝cos(π－A)＝－cosA；

tan＝tan＝＝

＝；sin＝sin＝

cos.故只有①成立．

1.  熟记诱导公式，“奇变偶不变，符号看象限”， 处理三角函数问题需从角、名、式三个方面考虑，运用整体代换、去繁为简、未知问题化为已知问题的思想方法．

2.  利用诱导公式把任意的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤是：

3. 你还有那些体悟，写下来：