2020版江苏高考数学一轮复习学案：第34课《不等关系》(含解析)

第五章　不　等　式

____第34课__不__等__关__系____

1. 了解日常生活中的不等关系及不等式(组)的实际背景，能通过具体情境建立不等式模型．

2. 掌握不等式的简单性质，深刻理解其成立的条件，并能灵活运用．

3. 熟悉两个实数比较大小的方法，掌握分类讨论的标准和技巧.

1. 阅读：必修5第73～74页．

2. 解悟：①现实生活中大量存在不等关系，我们常常用不等式表示这样的关系；②解决相关问题时，未知量与参数的范围要时刻表明，并运用不等式有关知识解决问题；③教材第74页练习第5题，体现了不等式怎样的性质，能够写出来吗？④初中你学过哪些不等式的性质，能列举出来吗？

3. 践习：在教材空白处，完成第74页练习第2、3、4题.

　基础诊断　

1. 若a1<a2，b1<b2，则a1b1＋a2b2与a1b2＋a2b1的大小关系是__a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1__．

解析：作差可得(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)(b1－b2)．因为a1<a2，b1<b2，所以(a1－a2)(b1－b2)>0，即a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.

2. 某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量x应不少于2.5%，蛋白质的含量y应不少于2.3%，可用不等式表示为____．

3. 已知a<b<0，给出下列不等式：

①|a|>|b|；　

②>；

③>；

④a2>b2.

其中正确不等式的序号是__①③④__．

解析：因为a<b<0，所以|a|>|b|，a2>b2，则①④成立；因为a<b<0，所以－b>0，所以0>a－b>a，所以<，则②不成立；因为a<b<0，所以>0，所以在不等式a<b<0两边同时乘以，得<，则③成立．故选①③④.

4. 已知2<m<4，3<n<5，则的取值范围是____．

解析：因为3<n<5，所以<<.又因为2<m<4，所以<<.

　范例导航　

考向❶  实际问题中的不等关系

例1　已知b克糖水中有a克糖(b>a>0)，若再添加m克糖(m>0)，则糖水变甜了．试根据这个事实，写出a，b，m所满足的不等式，并证明．

解析：<.证明如下：

方法一：因为0<a<b，m>0，所以a－b<0，b＋m>0.

因为－＝＝<0，

所以<. 

方法二：因为0<a<b，m>0，所以b＋m>0，

所以要证<，即证a(b＋m)<b(a＋m)，即am<bm.

又m>0，a<b为已知条件，所以am<bm成立，

所以<成立．

方法三：因为a<b，m>0，所以am<bm，所以ab＋am<ab＋bm，

即a(b＋m)<b(a＋m)．

因为0<a<b，m>0，所以b＋m>0，

所以<，所以<.

某野外训练活动队需要用浓度为35%～45%(35%、45%也能使用)的酒精为队员进行物理退热，现只有浓度是75%的消毒酒精，若取a克浓度是75%的消毒酒精，加入x克纯净水稀释后使用，则x的取值范围为____．

解析：由题意得35%≤≤45%，解得≤x≤.

考向❷  比较大小或证明不等式

　　例2　已知x<y<0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小．

解析：方法一：(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)．

因为x<y<0，所以xy>0，x－y<0,

所以－2xy(x－y)>0，

所以(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)．

方法二：因为x<y<0，所以x－y<0，x2>y2，

所以(x2＋y2)(x－y)<0，(x2－y2)(x＋y)<0，

所以0<＝<1，

所以(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)．

设a>0，b>0，且a≠b，试比较aabb与abba的大小．

解析：因为a>0，b>0，所以＝.

①若a>b>0，则>1，a－b>0，

所以>1，所以aabb>abba;

②若b>a>0，则<1，a－b<0，

所以>1，所以aabb>abba.

综上，得aabb>abba.

【选讲题】 已知a，b，c∈R＋，且a2＋b2＝c2，当n∈N，n>2时，比较an＋bn与cn的大小．

解析：因为a，b，c∈R＋，所以an，bn，cn>0,

＝＋.

因为a2＋b2＝c2，所以＋＝1，

所以0<<1，0<<1.

因为n∈N，n>2，

所以<，<，

所以＝＋<＋＝1，即<1，

所以an＋bn<cn.

考向❸  不等关系的简单综合运用

　　例3　设f(x)＝ax2＋bx，1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．

解析：设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)，(m，n为待定系数),

则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a－(m－n)b,

于是解得

所以f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．

又1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4,

所以5≤3f(－1)＋f(1)≤10，

所以5≤f(－2)≤10.

设f(x)＝x2－x＋1，实数a满足|x－a|<1.

求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．

解析：因为|x－a|<1，

所以|f(x)－f(a)|＝|x2－x＋1－a2＋a－1|

＝|x2－a2－x＋a|

＝|(x＋a)(x－a)－(x－a)|

＝|(x－a)(x＋a－1)|

＝|x－a||x＋a－1|<|x＋a－1|

＝|x－a＋2a－1|≤|x－a|＋|2a|＋|－1|

<1＋2|a|＋1＝2(|a|＋1)，

所以|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．

　自测反馈　

1. 若a，b是任意实数，且a>b，则下列结论正确的有__④__．(填序号)

①a2>b2；②<1；

③lg(a－b)>0；

④<.

解析：当0>a>b时，有a2<b2成立，故①不对；当a＝0时，<1无意义，故②不对；当0<a－b<1时，lg(a－b)<0，故③不对；因为y＝是定义域为R的减函数的，所以当a>b时，<成立，故④正确．

2. 设a>0，且a≠1，P＝loga(a3－1)，Q＝loga(a2－1)，则P与Q的大小关系是__P>Q__．

解析：因为P＝loga(a3－1)，Q＝loga(a2－1)，a>0，所以a3－1>0，a2－1>0，所以a>1.又因为(a3－1)－(a2－1)＝a2(a－1)>0，所以a3－1>a2－1，所以loga(a3－1)>loga(a2－1)，即P>Q.

3. 设0<a<b，a＋b＝1，则，b，2ab，a2＋b2中最大的是__b__．

解析：因为0<a<b，a＋b＝1，所以0<a<，<b<1，所以2a<1，2ab<b.因为a2＋b2－b＝a2＋b(b－1)＝a2－b(1－b)＝a2－ab＝a(a－b)．又因为a<b，a－b<0，所以a2＋b2－b<0，即a2＋b2<b.综上，最大为b.

4. 一家三口外出旅游，甲旅行社提出，如果户主买全票一张，其余人可享受半价优惠；乙旅行社提出，家庭旅游算集体票，按七五折优惠，如果这两家旅行社的原价相同，__甲__(填“甲”或“乙”)家旅行社的价格更优惠．

解析：设这两家旅行社一张全票的价格为a，则在甲旅行社需要花a＋2×a＝2a，在乙旅行社需要花3×0.75a＝2.25a>2a，所以甲旅行社的价格更优惠．

1. 两个实数比较大小方法主要有：作差法，作商法．

2. 证明不等式主要有：作差法，综合法，分析法．

3. 你还有哪些体悟，写下来：