2020版江苏高考数学一轮复习学案：第26课《三角函数的恒等变形与求值（2）》(含解析)

____第26课__三角函数的恒等变形与求值(2)____

1. 掌握两角和与差的余弦、正弦、正切公式及倍角公式．

2. 能用公式进行化简、求值及证明.

1.  阅读：阅读必修4第102～122页．

2. 解悟：①两角和差余弦公式“同名相乘，符号相反”，两角和差正弦公式“异名相乘，符号相同”，两角和差正切公式“分子同，分母反”；②二倍角公式中“倍角”是相对的；③注意公式的“正用、逆用、变形使用”，牢记“角优先”，弄清已知角和所求角之间的联系；④辅助角公式．

3.  践习：在教材的空白处完成必修4第106页练习第4题、第109页练习第8题、第111页练习第1题、第117页练习第3题、第123页练习第2题.

　基础诊断　

1. 已知<α<π，sinα＝，tanβ＝，则tan(α－β)＝__－2__．

解析：因为<α<π，所以cosα<0，所以cosα＝－，tanα＝－，则tan(α－β)＝＝＝－2.

2. 计算：＝____．

解析：因为tan15°＝tan(45°－30°)＝＝，所以原式＝＝＝.

3. 已知tanθ＝2，则cos2θ＝__－__．

解析：cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝＝－.

4. 已知cos＝，θ∈，则cosθ＝____．

解析：因为cos＝，θ∈，

所以sin＝＝，

所以cosθ＝cos

＝cos＋sin＝.

　范例导航　

考向❶  化简与求值问题

例1　(1) 化简：tan＋tan＋tantan；

(2) 计算：.

解析：(1) 原式＝tan·＋tan(－θ)tan(＋θ)＝.

(2) 因为sin50°(1＋tan10°)＝sin50°×＝sin50°×＝1，

cos80°＝sin10°＝sin210°，

所以原式＝＝＝.

(1) 化简：＝cos__10°；

解析：原式＝＝＝cos10°.

(2) 求值：＝__－4__．

解析：原式＝＝＝－4.

【备用题】 求值：(1) ；

(2) 4cos50°－tan40°.

解析：(1) 原式＝

＝

＝＝.

(2) 原式＝4sin40°－tan40°

＝

＝

＝

＝＝.

考向❷  给值求值，给值求角的问题

例2　已知0<α<<β<π，tan＝，cos(β－α)＝.

(1) 求sinα的值；

(2) 求β的值．

解析：(1)  因为tan＝，

所以sinα＝2sincos＝

＝＝＝.

(2) 0<α<，sinα＝，所以cosα＝.

又0<α<<β<π，所以0<β－α<π.

由cos(β－α)＝，所以sin(β－α)＝，

所以sinβ＝sin[(β－α)＋α]＝×＋×＝＝，

所以β＝.

如果sinα＝，cosβ＝，且α，β为锐角，那么α＋2β＝____.

解析：因为sinα＝，cosβ＝，α，β为锐角，所以cosα＝，sinβ＝，所以cos(α＋β)＝×－×＝.又因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)，则sin(α＋β)＝＝，故cos(α＋2β)＝cos[(α＋β)＋β]＝×－×＝.又因为α＋2β∈，所以α＋2β＝.

考向❸  三角函数的综合运用

　　例3　如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C均在单位圆上，已知点A在第一象限，其横坐标为，点B在第二象限，点C(1，0)．

(1) 设∠COA＝θ，求sin2θ；

(2) 若△AOB为正三角形，求点B的坐标．

解析：(1) 由题意得，cosθ＝，则sinθ＝，

所以sin2θ＝2sinθcosθ＝.

(2) 因为△ABO是正三角形，则∠BOC＝∠AOC＋60°＝θ＋60°，

cos∠BOC＝cos(θ＋60°)＝cosθcos60°－sinθsin60°＝，　

sin∠BOC＝sin(θ＋60°)＝sinθcos60°＋cosθsin60°＝，　

从而点B的坐标为.

如图，在平面直角坐标系中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知点A，B的横坐标分

别为，.

(1) 求tan(α＋β)的值；

(2) 求α＋2β的值．

解析：由条件得cosα＝，cosβ＝.

因为α、β为锐角，

所以sinα＝，sinβ＝，

所以tanα＝7，tanβ＝.

(1) tan(α＋β)＝＝＝－3，

(2) tan2β＝＝＝，

所以tan(α＋2β)＝＝＝－1.

因为α、β为锐角，所以0<α＋2β<，

所以α＋2β＝.

【备用题】 已知锐角α，β，γ满足sinα＋sinγ＝sinβ，cosα－cosγ＝cosβ，求α－β的值．

【点评】 注意题目目标求α－β的值，先将条件变形为sinα－sinβ＝－sinγ，cosα－cosβ＝cosγ，然后再联想两角差的余弦公式平方相加即可，另外要注意α－β自身的范围．

解析：由题意得，sinα－sinβ＝－sinγ<0，①

所以sinα<sinβ，所以α<β.

同理cosα－cosβ＝cosγ，②

①2＋②2得1＋1－2cos(α－β)＝1，

所以cos(α－β)＝.

又0<α<β<，所以－<α－β<0，所以α－β＝－.

　自测反馈　

1. 计算：＝____．

解析：

＝

＝

＝sin30°＝.

2. 在△ABC中，tan A＋tan B＋＝tan Atan B，则角C＝____．

解析：因为tanC＝－tan(A＋B)＝－＝－＝，因为0<C<π，所以C＝.

3.  若sin＝，0<x<，则＝____．

解析：因为cos＝sin，

cos2x＝sin＝2sincos，

所以＝2cos.

因为0<x<，所以0<－x<，

所以cos＝，则原式＝2×＝.

4. 设f(x)＝＋sin x＋a的最大值为2，则常数a＝____．

解析：f(x)＝＋sinx＋α＝cosx＋sinx＋α＝sin＋α.因为f(x)的最大值为2，所以＋a＝2，所以a＝.

1. 在三角函数化简、求值的问题中要把其形式化为目标函数，常用的方法：(1) 角的变换：可用和差、倍角以及一些特殊角的关系；(2) 名的变换：切化弦是最常用的；(3) 次数变换：利用二倍角公式进行升、降幂．

2. 对于asinx±bcosx(a>0，b>0)要能熟练化成sin(x＋φ) 的形式，并掌握确定角φ所在象限的方法．

3. 你还有那些体悟，写下来：