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    2020版江苏高考数学一轮复习学案:第29课《三角函数的最值问题》(含解析)
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    2020版江苏高考数学一轮复习学案:第29课《三角函数的最值问题》(含解析)

    展开

    ____29__三角函数的最值问题____

    1. 会通过三角恒等变形、利用三角函数的有界性、结合三角函数的图象,求三角函数的最值和值域.

    2. 掌握求三角函数最值的常见方法,能运用三角函数最值解决一些实际问题.

    1. 阅读:必修42433页、第103116页、第119122页.

    2. 解悟:正弦、余弦、正切函数的图象和性质是什么?三角函数yAsin(ωxφ)(A>0ω>0)的最值及对应条件;两角和与差的正弦、余弦、正切公式是什么?辅助角公式是否熟练?二倍角公式是什么?由倍角公式得到的降幂扩角公式是什么?必修4123页练习第4题怎么解?

    3. 践习:在教材空白处,完成必修4131页复习题第91016.

     基础诊断 

    1. 函数f(x)sinxx的值域为__

    2. 函数f(x)sinxcos的值域为__[]__

    解析:因为f(x)sinxcos(x)sinxcosxsinxsinxcosxsin(x),所以函数f(x)sinxcos(x)的值域为[]

    3. 若函数f(x)(1tanx)cosx0x<,则f(x)的最大值为__2__

    解析:f(x)(1tanx)cosxcosxsinx2sin.因为0x<,所以x<,所以sin

    所以当sin1时,f(x)有最大值2.

    4. 函数y2sin2x3sin2x的最大值是1

     

     范例导航 

    考向  形如yasin2xbcosxc的三角函数的最值

     例1 已知函数f(x)2cos2xsin2x4cosx.

    (1) f的值;

    (2) f(x)的最大值和最小值.

    解析:(1) f2cossin24cos=-12=-.

    (2) f(x)2(2cos2x1)(1cos2x)4cosx

    3cos2x4cosx1

    3xR.

    因为cosx[11]

    所以当cosx=-1时,f(x)取最大值6

    cosx时,f(x)取最小值-.

    已知sinA.

    (1) cosA的值;

    (2) 求函数f(x)cos2xsinAsinx的值域.

    解析:(1) 因为<A<,且sin

    所以<A<cos=-

    所以cosAcos[(A)]

    coscossinsin

    =-××

    .

    (2) (1)可得sinA

    所以f(x)cos2xsinAsinx12sin2x2sinx=-2xR.

    因为sinx[11]

    所以sinx时,f(x)取最大值

    sinx=-1时,f(x)取最小值-3.

    所以函数f(x)的值域为.

    考向  形如yAsin(ωxφ)k的三角函数的最值

     例2 已知函数f(x)2cosxsinsin2xsinxcosx1.

    (1) 求当函数f(x)取得最大值时,x的取值集合;

    (2) x时,求f(x)的值域.

    解析:(1) 因为f(x)2cosxsinsin2xsinxcosx1

    2cosxsin2xsinxcosx1

    2cosx(sinxcosx)sin2xsincosx1 

    2sinxcosxcos2xsin2x1

    sin2xcos2x1

    2(sin2xcos2x)1

    2sin1.

    2x2kπkZ,可得xkπkZ

    所以函数f(x)取得最大值时,x的集合为{x|xkπkZ}

    (2) x,得2x

    所以sin(2x)1

    所以1f(x)3

    f(x)的值域为[13]

    【注】 对于三角函数最值问题,通常将表达式化为形如yAf(ωxφ)B的形式,确定变量x取值的集合通常由等式ωxφ2kπθkZ解出x.

    已知函数f(x)sin2cos2ωx1(ω>0)的最小正周期为π.

    (1) ω的值;

    (2) f(x)在区间上的最大值和最小值.

    解析:(1) 因为f(x)sin2cos2ωx1

    cos2ωx

    sin2ωxcos2ωxsin

    所以f(x)的最小正周期Tπ,解得ω1.

    (2) (1)f(x)sin.

    因为0x,所以2x

    所以当2x,即x时,f(x)取得最大值为1

    2x,即x时,f(x)取得最小值为-. 

     

    【变式题】

    已知函f(x)sincosx.

    (1) f(x)的最大值,并写出当f(x)取得最大值时,x的集合;

    (2) αf,求f(2a)的值.

    解析:(1) f(x)sincosx

    sinxcosx

    sin

    所以f(x)max.

    此时,x2kπkZ,即x2kπkZ.

    故当f(x)取得最大值3时,x的集合为{x|x2kπkZ}

    (2) fsin(α), 

    sin

    所以cosαsinαα

    所以f(2α)sin

    [×2sinαcosα×(2cos2α1)]

    ×[×2×××(2×1)]

    ×.

    考向  三角函数最值问题常见的其他函数形式

    3 (1) 已知x(0π),求函数ysinx的最小值;

    (2) 已知θ(0π),求函数y的最大值;

    (3) 求函数y(sinx2)(cosx2)的最大值与最小值.

    解析:(1) sinxt(0<t1),则原函数可化为yt,在(01]上为减函数,

    故当t1时,ymin3.

    (2) 因为θ(0π),所以sinθ(01]y,当且仅当sinθ时等号成立,故ymax.

    (3) 原函数可化为ysinxcosx2(sinxcosx)4,令sinxcosxt(|t|)

    sinxcosx

    所以y2t4(t2)2.

    因为对称轴为直线t2[],且函数在区间[]上是减函数,

    所以当t,即x2kπ(kZ)时,ymin2

    t=-,即x2kπ(kZ)时,ymax2. 

    【注】 (1) 直接利用三角函数的有界性,并直接利用基本不等式去求解.

    (2) 首先是对分数函数的一般的处理方式,然后回到(1)的步骤去解决.ysinx型三角函数求最值,当sinx>0a>1时,不能用均值不等式求最值,适宜用函数在区间内的单调性求解.

    (3) 含有正、余弦三姐妹,即含有sinx±cosxsinxcosx的函数的最值问题,常用的方法是令sinx±cosxt|t|,将sinxcosx转化为关于t的函数关系式,从而转化为二次函数的最值问题,在转化过程中尤其要注意新变量t的范围的确定.

    【变式题】

    (1)  求函数y的最小值;

    (2)  0<x<,求函数y(1)(1)的最小值.

    解析:(1)  y1

    所以最小值为.

    (2) y

    1

    tsinxcosxt(1]

    sinxcosx, 

    所以y11

    1<t,得y32

    所以函数的最小值为32.

     

     自测反馈 

    1. 函数y2sincos(xR)的最小值是__1__

    解析:因为cossin,所以y2sincos2sinsin=-sin.因为xR,所以ymin=-1.

    2. 函数ysinx在区间[0b]上恰好取得2个最大值,则实数b的取值范围是____

    解析:因为函数ysinx的周期为6,函数ysinx在区间[0b]上恰好取得2个最大值,则实数b满足b<,解得b<.故实数b的取值范围为.

    3. 函数y的值域是__[11]__

    解析:2yysinxcosxysinxcosx=-2y,得sin(xφ)=-2ysin(xφ),则||1,解得-1y1.

    4. 函数f(x)sinxcosxsincosx的值域是

    解析:令tsinxcosxsin,则t[]t212sinxcosx,则sinxcosx,则f(x)sinxcosxsinxcosxt(t22t1)(t1)21.因为-t,所以f(x)[1]

     

    1. 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型:

    形如yasin xbcos xc的三角函数化为yAsin(ωxφ)k的形式,再求值域(最值)

    形如yasin2xbcos xc的三角函数,可先设sin xt,化为关于t的二次函数求值域(最值)

    形如yasin xcos xb(sincos x)c的三角函数,可先设tsincos x,化为关于t的二次函数求值域(最值).

    2. 你还有哪些体悟,写下来:

                                        

                                        


     

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