2020版江苏高考数学一轮复习学案:第29课《三角函数的最值问题》(含解析)
展开____第29课__三角函数的最值问题____
1. 会通过三角恒等变形、利用三角函数的有界性、结合三角函数的图象,求三角函数的最值和值域.
2. 掌握求三角函数最值的常见方法,能运用三角函数最值解决一些实际问题.
1. 阅读:必修4第24~33页、第103~116页、第119~122页.
2. 解悟:①正弦、余弦、正切函数的图象和性质是什么?②三角函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的最值及对应条件;③两角和与差的正弦、余弦、正切公式是什么?辅助角公式是否熟练?④二倍角公式是什么?由倍角公式得到的降幂扩角公式是什么?必修4第123页练习第4题怎么解?
3. 践习:在教材空白处,完成必修4第131页复习题第9、10、16题.
基础诊断
1. 函数f(x)=sinx,x∈的值域为__.
2. 函数f(x)=sinx-cos的值域为__[-,]__.
解析:因为f(x)=sinx-cos(x+)=sinx-cosx+sinx=sinx-cosx=sin(x-),所以函数f(x)=sinx-cos(x+)的值域为[-,].
3. 若函数f(x)=(1+tanx)cosx,0≤x<,则f(x)的最大值为__2__.
解析:f(x)=(1+tanx)cosx=cosx+sinx=2sin.因为0≤x<,所以≤x+<,所以sin∈,
所以当sin=1时,f(x)有最大值2.
4. 函数y=2sin2x-3sin2x的最大值是+1.
范例导航
考向❶ 形如y=asin2x+bcosx+c的三角函数的最值
例1 已知函数f(x)=2cos2x+sin2x-4cosx.
(1) 求f的值;
(2) 求f(x)的最大值和最小值.
解析:(1) f=2cos+sin2-4cos=-1+-2=-.
(2) f(x)=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)-4cosx
=3cos2x-4cosx-1
=3-,x∈R.
因为cosx∈[-1,1],
所以当cosx=-1时,f(x)取最大值6;
当cosx=时,f(x)取最小值-.
已知sin=,A∈.
(1) 求cosA的值;
(2) 求函数f(x)=cos2x+sinAsinx的值域.
解析:(1) 因为<A<,且sin=,
所以<A+<,cos=-,
所以cosA=cos[(A+)-]
=coscos+sinsin
=-×+×
=.
(2) 由(1)可得sinA=,
所以f(x)=cos2x+sinAsinx=1-2sin2x+2sinx=-2+,x∈R.
因为sinx∈[-1,1],
所以当sinx=时,f(x)取最大值;
当sinx=-1时,f(x)取最小值-3.
所以函数f(x)的值域为.
考向❷ 形如y=Asin(ωx+φ)+k的三角函数的最值
例2 已知函数f(x)=2cosxsin-sin2x+sinxcosx+1.
(1) 求当函数f(x)取得最大值时,x的取值集合;
(2) 当x∈时,求f(x)的值域.
解析:(1) 因为f(x)=2cosxsin-sin2x+sinxcosx+1
=2cosx-sin2x+sinxcosx+1
=2cosx(sinx+cosx)-sin2x+sinx·cosx+1
=2sinxcosx+cos2x-sin2x+1
=sin2x+cos2x+1
=2(sin2x+cos2x)+1
=2sin+1.
由2x+=2kπ+,k∈Z,可得x=kπ+,k∈Z,
所以函数f(x)取得最大值时,x的集合为{x|x=kπ+,k∈Z}.
(2) 由x∈,得2x+∈,
所以≤sin(2x+)≤1,
所以+1≤f(x)≤3,
故f(x)的值域为[+1,3].
【注】 对于三角函数最值问题,通常将表达式化为形如y=Af(ωx+φ)+B的形式,确定变量x取值的集合通常由等式ωx+φ=2kπ+θ,k∈Z解出x.
已知函数f(x)=sin+2cos2ωx-1(ω>0)的最小正周期为π.
(1) 求ω的值;
(2) 求f(x)在区间上的最大值和最小值.
解析:(1) 因为f(x)=sin+2cos2ωx-1
=+cos2ωx
=sin2ωx+cos2ωx=sin,
所以f(x)的最小正周期T==π,解得ω=1.
(2) 由(1)得f(x)=sin.
因为0≤x≤,所以≤2x+≤,
所以当2x+=,即x=时,f(x)取得最大值为1;
当2x+=,即x=时,f(x)取得最小值为-.
【变式题】
已知函数f(x)=sin+cosx.
(1) 求f(x)的最大值,并写出当f(x)取得最大值时,x的集合;
(2) 若α∈,f=,求f(2a)的值.
解析:(1) f(x)=sin+cosx
=sinx+cosx=
=sin,
所以f(x)max=.
此时,x+=2kπ+,k∈Z,即x=2kπ+,k∈Z.
故当f(x)取得最大值3时,x的集合为{x|x=2kπ+,k∈Z}.
(2) 由f=sin(α+)=,
得sin=,
所以cosα=,sinα=,α∈,
所以f(2α)=sin
=
=[×2sinαcosα+×(2cos2α-1)]
=×[×2××+×(2×-1)]
=×=.
考向❸ 三角函数最值问题常见的其他函数形式
例3 (1) 已知x∈(0,π),求函数y=sinx+的最小值;
(2) 已知θ∈(0,π),求函数y=的最大值;
(3) 求函数y=(sinx-2)(cosx-2)的最大值与最小值.
解析:(1) 设sinx=t(0<t≤1),则原函数可化为y=t+,在(0,1]上为减函数,
故当t=1时,ymin=3.
(2) 因为θ∈(0,π),所以sinθ∈(0,1],y=≤=,当且仅当sinθ=时等号成立,故ymax=.
(3) 原函数可化为y=sinxcosx-2(sinx+cosx)+4,令sinx+cosx=t(|t|≤),
则sinxcosx=,
所以y=-2t+4=(t-2)2+.
因为对称轴为直线t=2∉[-,],且函数在区间[-,]上是减函数,
所以当t=,即x=2kπ+(k∈Z)时,ymin=-2;
当t=-,即x=2kπ-(k∈Z)时,ymax=+2.
【注】 (1) 直接利用三角函数的有界性,并直接利用基本不等式去求解.
(2) 首先是对分数函数的一般的处理方式,然后回到(1)的步骤去解决.y=sinx+型三角函数求最值,当sinx>0,a>1时,不能用均值不等式求最值,适宜用函数在区间内的单调性求解.
(3) 含有“正、余弦三姐妹”,即含有sinx±cosx,sinxcosx的函数的最值问题,常用的方法是令sinx±cosx=t,|t|≤,将sinxcosx转化为关于t的函数关系式,从而转化为二次函数的最值问题,在转化过程中尤其要注意新变量t的范围的确定.
【变式题】
(1) 求函数y=的最小值;
(2) 若0<x<,求函数y=(1+)(1+)的最小值.
解析:(1) y==-1≥,
所以最小值为.
(2) y=
=1+,
令t=sinx+cosx,t∈(1,],
则sinxcosx=,
所以y=1+===1+,
由1<t≤,得y≥3+2,
所以函数的最小值为3+2.
自测反馈
1. 函数y=2sin-cos(x∈R)的最小值是__-1__.
解析:因为cos=sin,所以y=2sin-cos=2sin-sin=-sin.因为x∈R,所以ymin=-1.
2. 函数y=sinx在区间[0,b]上恰好取得2个最大值,则实数b的取值范围是____.
解析:因为函数y=sinx的周期为=6,函数y=sinx在区间[0,b]上恰好取得2个最大值,则实数b满足≤b<,解得≤b<.故实数b的取值范围为.
3. 函数y=的值域是__[-1,1]__.
解析:2y+ysinx=cosx,ysinx-cosx=-2y,得sin(x+φ)=-2y,sin(x+φ)=,则||≤1,解得-1≤y≤1.
4. 函数f(x)=sinx+cosx+sinx·cosx的值域是.
解析:令t=sinx+cosx=sin,则t∈[-,],t2=1+2sinxcosx,则sinxcosx=,则f(x)=sinx+cosx+sinxcosx=t+=(t2+2t-1)=(t+1)2-1.因为-≤t≤,所以f(x)∈[-1,+].
1. 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型:
①形如y=asin x+bcos x+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,再求值域(最值);
②形如y=asin2x+bcos x+c的三角函数,可先设sin x=t,化为关于t的二次函数求值域(最值);
③形如y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c的三角函数,可先设t=sin x±cos x,化为关于t的二次函数求值域(最值).
2. 你还有哪些体悟,写下来: