2020版江苏高考数学一轮复习学案：第49课《抛物线的标准方程和几何性质》(含解析)

第49课　抛物线的标准方程和几何性质

1. 了解抛物线的定义和几何图形.

2. 熟悉抛物线的标准方程，会求抛物线的标准方程；理解抛物线的简单性质，会用抛物线的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题.

1. 阅读：选修11第47～49页(理科阅读选修21相应内容).

2.  解悟：①抛物线的定义及方程的形成过程是什么？②掌握抛物线方程的结构及形式，会根据条件求出抛物线方程，会由方程求出焦点坐标及准线方程；③要确定抛物线的方程需具备几个条件？方程中的p的几何意义是什么？

3. 践习：在教材空白处，完成选修11第49页练习4、5，第50页练习1，3(理科完成选修21相应任务).

　基础诊断　

1. 平面内到定点(1，1)和到定直线x＋y－2＝0的距离相等的点的轨迹是　直线y＝x　.

解析：因为点(1，1)位于直线x＋y－2＝0上，所以动点的轨迹为过点(1，1)且与直线x＋y－2＝0垂直的直线，即直线y＝x.

2. 抛物线y＝－8x2的焦点坐标是　　.

解析：由题意得x2＝－y，焦点在y轴上，所以焦点坐标为.

3. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线方程为x2＝2py(p>0).若直线x－y－2＝0与该抛物线相切，则实数p＝　4　.

解析：联立消去y得x2－2px＋4p＝0.因为直线x－y－2＝0与该抛物线相切，则Δ＝4p2－16p＝0，所以p＝4或p＝0(舍去)，故实数p＝4.

4. 抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是　　.

解析：因为抛物线的标准方程为x2＝y，所以焦点F，准线方程为y＝－.设M(x0，y0)，则由抛物线的定义得1＝y0＋，即y0＝，故点M的纵坐标为.

5. 设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝　6　.

解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3).因为抛物线焦点坐标F(1，0)，准线方程为x＝－1，＋＋＝0，所以点F是△ABC的重心，则x1＋x2＋x3＝3，y1＋y2＋y3＝0.又因为||＝x1＋1，||＝x2＋1，||＝x3＋1，所以||＋||＋||＝x1＋1＋x2＋1＋x3＋1＝6.

　范例导航　

考向❶  求抛物线的标准方程

例1　求适合下列条件的抛物线的标准方程：

(1) 过点(－3，2)；

(2) 焦点在直线x－2y－4＝0上.

解析：(1)  因为点(－3，2)在第二象限，

所以抛物线的标准方程可设为y2＝－2p1x(p1>0)或x2＝2p2y(p2>0). 把点(－3，2)的坐标分别代入得4＝－2p1·(－3)或9＝2p2·2，

则2p1＝或2p2＝，

所以抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝y.

(2)  令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4，

所以抛物线的焦点为(4，0)或(0，－2).

当焦点为(4，0)时，＝4，

所以2p＝16，此时抛物线方程为y2＝16x；

当焦点为(0，－2)时，＝2，

所以2p＝8，此时抛物线方程为x2＝－8y.

故抛物线方程为y2＝16x或x2＝－8y.

已知抛物线焦点到准线的距离为，则该抛物线的标准方程为　y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y　.

考向❷  抛物线焦点弦问题

例2　过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若AF＝3，求△AOB的面积.

解析：由题意，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，(y1>0，y2<0)，

如图所示.点A在抛物线上，故有AF＝AC＝x1＋1＝3，所以x1＝2， 从而y1＝2. 

设直线AB的方程为x－1＝ty，

由方程组消去x得y2－4ty－4＝0，

所以y1y2＝－4，所以y2＝－，x2＝，

所以S△AOB＝×1×|y1－y2|＝.

已知F为抛物线y2＝4x的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，求直线AF的斜率.

　　解析：由题意得F(1，0)，准线方程x＝－1.由第一象限的点A到其准线的距离为5，则A(4，4)，则直线AF的斜率为.

考向❸  最值问题

例3　已知抛物线y2＝2x的焦点是F，P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求PA＋PF的最小值，并求出取最小值时点P的坐标.

解析：将x＝3代入抛物线方程得y＝>2，

所以点A在抛物线内部，如图.

设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为PC＝d，

由抛物线定义知PA＋PF＝PA＋d，

当PA⊥l，即A，P，C在同一直线上时，

PA＋d最小，最小值为3－＝，

所以PA＋PF的最小值为. 

此时，点P的纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，

所以取得最小值时点P的坐标为(2，2). 

　自测反馈　

1. 设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是　6　.

解析：因为抛物线的方程为y2＝8x.设其焦点为F，所以其准线l的方程为x＝－2.设点P(x0，y0)到其准线的距离为d，则d＝PF，即PF＝x0＋2.因为点P到y轴的距离为4，所以x0＝4，所以PF＝4＋2＝6.

2. 已知抛物线形拱桥的顶点距水面2m，测量得水面宽度为8m，当水面上升1m后，水面宽度为　4　m.

解析：由题意，建立如图所示的坐标系，抛物线的开口向下，设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0).因为顶点距水面2米时，量得水面宽8米，所以点(4，－2)在抛物线上，代入方程得p＝4，所以x2＝－8y.当水面升高1米后，y＝－1，代入方程得x＝±2，所以水面宽度是4m.

3. 已知M是抛物线y2＝4x上的一点，F为抛物线的焦点，点A在圆C：(x－4)2＋(y－1)2＝1上，则MA＋MF的最小值为　4　Ｗ.

解析：抛物线y2＝4x的准线l方程为x＝－1，过点M作MN⊥l，垂足为N.因为M是抛物线上的点，F为抛物线的焦点，所以MN＝MF，所以MA＋MF＝MA＋MN.因为点A在圆C：(x－4)2＋(y－1)2＝1上，圆心C(4，1)，半径r＝1，所以当N，M，C三点共线时，MA＋MF最小，所以MA＋MF最小值为CN－r＝5－1＝4.

4. 已知抛物线y2＝2x的焦点弦为AB，O为坐标原点，则·的值为　－　.

解析：由题意得抛物线的焦点为.当直线AB斜率不存在时，直线AB的方程为x＝，则A，B，所以·＝×－1＝－；当直线AB的斜率存在时，设直线AB：x－＝ty，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去x得y2－2ty－1＝0，则y1y2＝－1，y1＋y2＝2t，所以·＝x1x2＋y1y2＝＋y1y2＝(t2＋1)y1y2＋t(y1＋y2)＋＝－.综上，·＝－.

1. 抛物线中涉及焦点问题很多离不开使用定义解题，即抛物线上的点到焦点与到准线的距离相等.

2. 抛物线y2＝ax(a≠0)上一动点一般可设为，抛物线x2＝ay(a≠0)上一动点一般可设为.

3. 你还有哪些体悟，写下来：