2020版江苏高考数学一轮复习学案：第65课《通项与求和2》(含解析)

第65课　通项与求和(2)1. 等差、等比数列的前n项和公式(C级要求).2. 非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法(B级要求).1. 阅读：必修5第42～44页、第55～57页.2. 解悟：①等差数列和等比数列求和公式形式的联系与区别；②体会课本中推出等差数列和等比数列求和公式的方法；③整理数列求和的常用方法.3. 践习：在教材空白处，完成第47页第1题(4)、第57页第4题(2)、第62页第12题.　基础诊断　1. 设公比不为1的等比数列{an}满足a1a2a3＝－，且a2，a4，a3成等差数列，则数列{an}的前4项和为　　.解析：设等比数列{an}的公比为q.因为a2，a4，a3成等差数列，所以2a4＝a2＋a3，所以2a2q2＝a2＋a2q，化为2q2－q－1＝0(q≠1)，解得q＝－.因为a1a2a3＝－，所以a·q3＝－，解得a1＝1，所以数列{an}的前4项和为＝.2. 在数列{an}中，an＝，若数列{an}的前n项和Sn＝，则n＝　2 017　.解析：因为an＝＝－，所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，所以＝，解得n＝2 017.3. 若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和Sn＝　2n＋1－2＋n2　.解析：Sn＝＋＝2n＋1－2＋n2.4. 数列的前n项和Tn＝　3－　.解析：由an＝(n＋1)·，得Tn＝2×＋3×＋4×＋…＋(n＋1)×①，Tn＝2×＋3×＋4×＋…＋(n＋1)×②，由①－②得Tn＝1＋＋＋…＋－(n＋1)×＝1＋－(n＋1)×＝－，所以Tn＝3－. 　范例导航　考向❶  分组求和法例1　已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.(1) 求数列{an}的通项公式；(2) 设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和.解析：(1) 当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.因为a1＝1满足上式，故数列{an}的通项公式为an＝n.(2) 由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n).记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则A＝＝22n＋1－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.故数列{bn}的前2n项和T2n＝22n＋1＋n－2.已知数列{an}的通项公式an＝2×3n－1＋(－1)n×(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，求其前n项和Sn.解析：Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]×(ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]×ln3.当n为偶数时，Sn＝2×＋ln3＝3n＋ln3－1；当n为奇数时，Sn＝2×－(ln2－ln3)＋ln3＝3n－ln3－ln2－1.综上所述，Sn＝【注】 分组转化法求和的常见类型：(1) 若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{an}的前n项和.(2) 通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和.(3) 某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论.考向❷  错位相减法求和例2　已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.(1) 求{an}和{bn}的通项公式；(2) 求数列{a2nb2n－1}的前n项和(n∈N*).解析：(1) 设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.由b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12.因为b1＝2，所以q2＋q－6＝0.又因为q>0，所以q＝2，所以bn＝2n.由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8，①由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16.②联立①②，解得a1＝1，d＝3，所以an＝3n－2.所以数列{an}的通项公式为an＝3n－2，数列{bn}的通项公式为bn＝2n.(2) 设数列{a2nb2n－1}的前n项和为Tn.由a2n＝6n－2，b2n－1＝2×4n－1，得a2nb2n－1＝(3n－1)×4n，故Tn＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n，4Tn＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n－4)×4n＋(3n－1)×4n＋1，上述两式相减得－3Tn＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n－(3n－1)×4n＋1＝－4－(3n－1)×4n＋1＝－(3n－2)×4n＋1－8，所以Tn＝×4n＋1＋，所以数列{a2nb2n－1}的前n项和为×4n＋1＋.设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q.已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.(1) 求数列{an}，{bn}的通项公式；(2) 当d>1时，cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.解析：(1) 由题意得即解得或所以an＝2n－1，bn＝2n－1或an＝(2n＋79)，bn＝9×.(2) 由d>1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝，于是Tn＝1＋＋＋＋＋…＋，①Tn＝＋＋＋＋＋…＋，②①－②可得Tn＝2＋＋＋…＋－＝3－，所以Tn＝6－.【注】 错位相减法求和时的注意点：(1) 要善于识别题目类型，特别是等比数列的公比为负数的情形；(2) 在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；(3) 在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.考向❸  裂项相消法求和例3　已知数列{bn}的前n项和为Tn，bn＝.证明：对任意的n∈N*，都有Tn<.解析：因为bn＝＝，所以Tn＝[1－＋－＋－＋…＋－＋－]＝[1＋－－]<×＝，故对任意的n∈N*，都有Tn<.已知函数f(x)＝xα的图象过点(4，2)，令an＝，n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn，则S2 017＝　－1　.解析：由f(4)＝2，可得4α＝2，解得α＝，所以f(x)＝x，所以an＝＝＝－，所以S2 017＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 017＝(－1)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)＝－1.【注】 (1) 用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：＝(－)，＝，裂项后可以产生连续相互抵消的项；(2) 抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.　自测反馈　1. 若数列{an}的通项公式为an＝ncos，其前n项和为Sn，则S2 017＝　1 008　.解析：因为an＝ncos，当n＝2k－1，k∈N*时，an＝a2k－1＝(2k－1)cos＝0；当n＝2k时，an＝a2k＝2kcoskπ＝2k·(－1)k，所以S2 017＝(a1＋a3＋…＋a2 017)＋(a2＋a4＋…＋a2 016)＝0＋(－2＋4－6＋…－2 014＋2 016)＝1 008.2. 若数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项和S100＝　－200　.解析：S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.3. 在等比数列{an}中，a1＝，a4＝4，则数列{a}的前n项和 Sn＝　　.解析：因为a4＝a1q3＝4，a1＝，所以q＝2，所以an＝×2n－1＝2n－2，所以a＝4n－2，所以数列{a}是以为首项，4为公比的等比数列，所以Sn＝＝.4. ＋＋…＋＝　－1　Ｗ.解析：原式＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1. 1. 数列求和先看通项公式，根据通项公式的特点选择相应的方法.2. 在利用等差、等比数列的求和公式时，要数清项数，公比如果是字母，需对它进行分类讨论.3. 你还有那些体悟，写下来：