2020版江苏高考数学一轮复习学案：第60课《数列的概念及简单表示》(含解析)

第60课　数列的概念及简单表示

1. 数列的概念及数列与函数的关系(A级要求).

2. 数列的几种简单表示方法(列表、图象、通项公式)(A级要求).

1. 阅读：必修5第31～34页.

2. 解悟：①读懂数列的定义，并与函数的定义作比较；②写出数列的通项公式，就是寻找an与n的对应关系an＝f(n)；③重解第33页例3，体会方法.

3. 践习：在教材空白处，完成第34页习题第7、8、9题.

　基础诊断　

1. 数列1，2，，，，…中的第26项为　2　.

解析：因为a1＝1＝，a2＝2＝，a3＝，a4＝，a5＝，所以an＝，所以a26＝＝＝2.

2. 下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列{an}的前4项，则这个数列的一个通项公式为　an＝3n－1　　　.

(1)　　　　　(2)　　　　　(3)　　　  　(4)

解析：由图可知前4个图中着色三角形的个数分别为1，3，32，33，…，猜想第n个图的着色三角形的个数为3n－1，所以这个数列的通项公式为an＝3n－1.

3. 已知在数列{an}中，a1＝，an＝1－(n≥2)，则a16＝　　.

解析：由题意知a2＝1－＝－1，a3＝1－＝2，a4＝1－＝，所以此数列是以3为周期的周期数列，所以a16＝a3×5＋1＝a1＝.

4. 已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝　　.　

解析：当n＝1时，a1＝S1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1，故an＝

　范例导航　

考向❶  数列的通项公式

例1　根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：

(1) －1，7，－13，19，…；

 解析：(1) 数列中各项的符号可通过(－1)n表示，从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5).

(2) 1，0，，0，，0，，…；

 解析：(2) 分母依次为1，2，3，4，5，6，7，…，分子依次为1，0，1，0，1，0，1，…，把数列改写成，，，，，，，…，因此数列的一个通项公式为an＝.

(3) 0.9，0.99，0.999，….

 解析：(3) 数列可改写成1－，1－，1－，…，可得该数列的一个通项公式为an＝1－.

数列，，－，，－，，…，的一个通项公式是　an＝(－1)n·　.

解析：各项的分母分别为21，22，23，24，…，从第2项起，每一项的绝对值的分子分别比分母小3，因此把第1项变为－，原数列化为－，，－，，…，故an＝(－1)n·.

【注】 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略：

(1) 常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.

(2) 具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*进行处理.

考向❷  由an与Sn的关系求通项公式

例2　已知下列数列{an}的前n项和Sn，求数列{an}的通项公式.

(1) a1＝1，Sn＝an；

(2) Sn＝3n＋b；

(3) Sn＝an＋.

解析：(1) 由题设知a1＝1.

当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝an－·an－1，整理得an＝an－1，

于是a1＝1，a2＝a1，a3＝a2，…，an－1＝an－2，an＝an－1.

将上面n个等式两端分别相乘，整理得an＝，

显然，当n＝1时也满足上式.

综上可知，数列{an}的通项公式an＝.

(2) 当n＝1时，a1＝S1＝3＋b；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2×3n－1.

当b＝－1时，a1＝2，满足上式；当b≠－1时，a1≠2，不满足上式，

所以当b＝－1时，an＝2×3n－1；

当b≠－1时，an＝

(3) 由Sn＝an＋，得当n≥2时，Sn－1＝an－1＋，两式相减，得an＝an－an－1，

所以当n≥2时，an＝－2an－1，即＝－2.

又当n＝1时，a1＝S1＝a1＋，即a1＝1，

所以an＝(－2)n－1.

已知数列{an}满足a1＋2a2＋…＋nan＝4－(n∈N*).

(1) 求a3的值；

(2) 求数列{an}的前n项和Tn.

解析：(1) 由题意得3a3＝(a1＋2a2＋3a3)－(a1＋2a2)＝4－－＝，

所以a3＝.

(2) 由题设知当n≥2时，nan＝(a1＋2a2＋…＋nan)－[a1＋2a2＋…＋(n－1)an－1]＝4－－＝，

所以an＝.

当n＝1时，a1＝4－＝1满足上式，

所以an＝，

所以数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，故Tn＝＝2－.

【注】 已知Sn，求an的步骤：

①当n＝1时，a1＝S1；

②当n≥2时，an＝Sn－Sn－1；

③对n＝1时的情况进行检验，若满足n≥2的通项公式则可以合并；若不满足则写成分段函数形式.

这种转化是解决这种题型的基本思路，要重点掌握.

考向❸  数列的性质

例3　已知数列{an}的通项公式an＝(n＋1)·(n∈N*)，则数列{an}有没有最大项？若有，求出最大项；若没有，请说明理由.

解析：因为an＋1－an＝·，

所以当n<9时，an＋1>an；当n>9时，an＋1<an，

则当n<9时，数列{an}是递增数列；当n>9时，数列{an}是递减数列；

当n＝9时，an＋1＝an，所以当n＝9或10时，数列取得最大项a9＝a10＝.

设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是　0　.

解析：因为an＝－3＋，由二次函数的性质，得当n＝2或3时，an最大，最大值为0.

【注】 (1) 解决数列的单调性问题可用以下三种方法：

①用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列；

②用作商比较法，根据(an＞0或an＜0)与1的大小关系进行判断；

③结合相应函数的图象直观判断.

(2) 解决数列周期性问题的方法：

先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.

(3) 数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解.

　自测反馈　

1. 数列0.8，0.88，0.888，…，的一个通项公式是　an＝　.

解析：数列变为×(1－)，×，×，…，故an＝.

2. 已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式为　an＝　

解析：当n＝1时，a1＝S1＝－1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－3)－(2n－1－3)＝2n－1，所以an＝

3. 已知数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝　　.

解析：因为an＋1＝，所以an＋1＝＝＝＝＝1－＝1－＝1－(1－an－2)＝an－2，n≥3，所以数列{an}是以T＝(n＋1)－(n－2)＝3为周期的周期数列，所以a8＝a3×2＋2＝a2＝2.又a2＝，所以a1＝.

4. 若数列{an}满足an＋1＝a1＝，则数列的第2 015项为　　.

解析：由已知可得a2＝2×－1＝，a3＝2×＝，a4＝2×＝，a5＝2×－1＝，所以数列{an}为周期数列且T＝4，所以a2 015＝a503×4＋3＝a3＝.

1. 数列是一种特殊的函数，因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性.

2. 通项公式an与前n项和Sn的关系是一个十分重要的考点，运用时，不要忘记对an＝Sn－Sn－1的条件的验证.

3. 你还有那些体悟，写下来：