2020版江苏高考数学一轮复习学案：第52课《直线与圆锥曲线的位置关系》(含解析)

第52课　直线与圆锥曲线的位置关系

1. 了解直线与圆锥曲线的位置关系，会用代数方法判断其位置关系.

2. 能运用常见的数学思想方法解决直线与圆锥曲线的简单综合问题.

1.  阅读：文科选修11第60页复习题13、14、15；理科选修21第60～68页.

2.  解悟：①直线与椭圆的位置关系有哪些？如何判定？②设斜率为k(k≠0)的直线l与曲线C相交于A(x1，y1)， B(x2，y2)两点，则AB＝　　　　　　Ｗ.

3. 践习：在教材空白处，完成文科选修11第60～61页复习题16、17；理科选修21第73页复习题11、12.

　基础诊断　

1. 直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为　相交　.

解析：直线y＝kx－k＋1恒过定点(1，1).又因为点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交.

2. 若直线y＝kx与双曲线－＝1相交，则k的取值范围是　　.

解析：把直线方程代入双曲线方程得x2＝1.因为直线与双曲线相交，所以－>0，解得－<k<，所以k的取值范围是.

3. 已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A、B两点，则弦AB的长为　16　.

解析：由题意知抛物线的焦点为(0，1)，则直线l的方程为y＝x＋1，联立消去x，得y2－14y＋1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝14，所以AB＝y1＋y2＋p＝14＋2＝16.

4. 若椭圆＋＝1的弦被点(4，2)平分，则此弦所在直线的斜率为　－　Ｗ.

解析：设弦的两个端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1①，＋＝1②，①－②得＝－.因为(4，2)是弦的中点，所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，所以k＝＝－，即此弦所在直线的斜率为－.

　范例导航　

考向❶  直线与圆锥曲线的位置关系

例1　当实数k为何值时，直线y＝kx＋2和曲线2x2＋3y2＝6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？

解析：由得2x2＋3(kx＋2)2＝6，即(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，

Δ＝144k2－24(2＋3k2)＝72k2－48.当Δ＝72k2－48>0，即k>或k<－时，直线和曲线有两个公共点；

当Δ＝72k2－48＝0，即k＝或k＝－时，直线和曲线有一个公共点；

当Δ＝72k2－48<0，即－<k<时，直线和曲线没有公共点.

已知双曲线x2－＝1的一条渐近线与直线x－2y＋3＝0垂直，则实数a＝　4　Ｗ.

解析：由双曲线标准方程特征知a>0，其渐近线方程为x±y＝0，可得渐近线x＋y＝0与直线x－2y＋3＝0垂直，所以a＝4.

考向❷  弦长、弦中点问题

例2　如图所示，直线y＝kx＋b与椭圆＋y2＝1交于A、B两点，记△AOB的面积为S.

(1)  当k＝0， 0<b<1时，求S的最大值；

(2)  当AB＝2，S＝1时，求直线AB的方程.

解析：(1)  设点A的坐标为(x1，b)，点B的坐标为(x2，b)，

由＋y2＝1，解得x＝±2，

所以S＝b|x1－x2|＝2b≤b2＋1－b2＝1.

当且仅当b＝时，等号成立，S取到最大值1.

(2)  设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(4k2＋1)x2＋8kbx＋4b2－4＝0，　

Δ＝16(4k2－b2＋1). ①

AB＝|x1－x2|＝·

＝2.②

因为O到AB的距离d＝＝＝1，所以b2＝k2＋1.③

将③代入②并整理，得4k4－4k2＋1＝0，

解得k2＝，b2＝，代入①式检查，Δ>0.

故直线AB的方程是y＝x＋或y＝x－或y＝－x＋或y＝－x－.

已知椭圆的两焦点为F1(－，0)，F2(，0)，离心率e＝.

(1)  求椭圆的标准方程；

(2)  设直线l：y＝x＋m，若l与椭圆相交于P，Q两点，且PQ等于椭圆的短轴长，求实数m的值.

　　解析：(1)  设椭圆方程为＋＝1 (a>b>0)，

则c＝，＝，所以a＝2，b＝1，

所以所求椭圆方程为＋y2＝1.

(2)  由消去y得关于x的方程5x2＋8mx＋4(m2－1)＝0，则Δ＝64m2－80(m2－1)>0，解得m2<5. ①

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝－m，

x1x2＝，y1－y2＝x1－x2，

所以PQ＝＝＝＝2，解得m2＝，满足①，所以m＝±.

考向❸  由直线与圆锥曲线的位置确定参数

例3　已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.

(1) 求椭圆C的方程；

(2) 当△AMN的面积为时，求k的值.

解析：(1) 由题意得解得b＝，

故所求椭圆C的方程为＋＝1.

(2) 设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，

由 得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0，

所以x1＋x2＝，x1x2＝，

所以MN＝

＝

＝.

又点A(2，0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，

所以△AMN的面积S＝·MN·d＝，

由＝，解得k＝±1.

　自测反馈　

1. 过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有　3　条.

解析：由题意可得，当直线为x＝0或y＝1时，即直线与x轴、y轴垂直时，满足与抛物线y2＝4x仅有一个公共点；当直线的斜率为k时，直线方程为y－1＝kx，将其代入抛物线方程，可得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，所以Δ＝(2k－4)2－4k2＝0，解得k＝1，即直线y＝x＋1与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，故满足条件的直线有3条.

2. 已知△ABC的顶点A(－5，0)和C(5，0)，顶点B在双曲线－＝1的右支上，则＝　　.

解析：由题意得，△ABC的顶点A(－5，0)和C(5，0)，顶点B在双曲线－＝1的右支上，可得AC＝10，BA－BC＝2a＝8.根据正弦定理得，在△ABC中，有＝＝＝.

3. 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，过椭圆上一点M作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1·k2的值为　－　.

解析：因为椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，所以c＝k，a＝3k，b＝k，设M(x0，y0)，A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，k1＝，k2＝.因为点M和点A都有椭圆＋＝1上，所以＋＝1，＋＝1，两式相减得＝－＝－，所以k1·k2＝＝－.

4. 若O，F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为　6　.

解析：设点P(x，y)，则·＝(x，y)·(x＋1，y)＝x2＋x＋y2.又因为点P在椭圆上，所以＋＝1，所以·＝x2＋x＋3－x2＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2.又因为－2≤x≤2，所以当x＝2时，·取得最大值6.

1. 判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与圆锥曲线方程联立，由方程组的解判断位置关系.

2. 设斜率为k(k≠0)的直线l与曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB＝|x1－x2|＝·＝|y1－y2|＝·.

3. 你还有哪些体悟，写下来：