2020版江苏高考数学一轮复习学案：第50课《圆锥曲线的定义在解题中的应用》(含解析)

第50课　圆锥曲线的定义在解题中的应用

1. 了解圆锥曲线的统一定义，能够运用定义求圆锥曲线的标准方程.

2.  理解圆锥曲线准线的意义，会利用准线进行相关的转化和计算.

1. 阅读：选修11第52～53页(理科阅读选修21相应内容)；阅读之前先独立书写出圆锥曲线的统一定义，并尝试根据圆锥曲线的统一定义推导出椭圆方程.

2. 解悟：①写出圆锥曲线的统一定义，写出椭圆＋＝1(a>b>0)和双曲线－＝1(a>0，b>0)的准线方程；②椭圆、双曲线、抛物线各有几条准线？有什么特征？

3. 在教材上的空白处完成选修11第54页练习第2题(理科完成选修21相应任务).

　基础诊断　

1. 点P在椭圆＋＝1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P到左准线的距离为　　.

解析：设椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，由题意知PF1＋PF2＝2a＝10，PF1＝2PF2，所以PF1＝，PF2＝.因为椭圆＋＝1的离心率为e＝，所以点P到左准线的距离d＝＝＝.

2. 已知椭圆＋＝1上一点的横坐标为2，则该点到左焦点的距离是　　.

解析：椭圆＋＝1，则a＝5，b＝3，c＝4，所以离心率e＝＝.由焦半径公式可得该点到左焦点的距离为a＋ex＝5＋×2＝.

3. 焦点在x轴上，且一个焦点到渐近线的距离为3，到相应准线的距离为的双曲线的标准方程为　－＝1　.

解析：设双曲线的方程为－＝1，焦点为(－c，0)，(c，0)，渐近线方程为y＝±x，准线方程为x＝±，由题意得焦点到渐近线的距离d＝＝＝b＝3，所以b＝3.因为焦点到相应准线的距离为，所以有解得所以双曲线的标准方程为－＝1.

4. 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是F1，F2，若AF1，F1F2，F1B成等比数列，则此椭圆的离心率为　　.

解析：设椭圆的半焦距为c，则AF1＝a－c，F1F2＝2c，F1B＝a＋c.又因为AF1，F1F2，F1B为等比数列，所以(a－c)(a＋c)＝4c2，即a2＝5c2，所以椭圆的离心率e＝＝.

　范例导航　

考向❶  用圆锥曲线统一定义求解问题

例1　已知点A(2，1)在椭圆＋＝1内，F为椭圆的右焦点，在椭圆上求一点P，使得PA＋2PF最小.

　解析：如图，直线l是椭圆的右准线，椭圆的离心率e＝，由圆锥曲线统一定义可知＝e＝，

所以PH＝2PF，

所以PA＋2PF＝PA＋PH.

过点A作AH′⊥l，垂足为H′，交椭圆于点P′，

由图可知，当点P在P′处时，PA＋PH的值最小，

点P′的纵坐标为1，代入椭圆方程得其横坐标为，

故所求点P的坐标为.

 已知点A(3，0)，F(2，0)，在双曲线x2－＝1上求一点P，使得PA＋PF最小.

解析：因为a＝1，b＝，所以c＝2，离心率e＝2.

设点P到与焦点F(2，0)相应的准线的距离为d，则＝2，所以PF＝d，所以PA＋PF＝PA＋d.

问题转化为在双曲线上求点P，使点P到定点A的距离与到相应准线的距离和最小，即直线PA垂直于准线时符合题意，

此时，点P的坐标为(1，0).

考向❷ 

例2　B1，B2是椭圆＋＝1(a>b>0)的短轴端点，椭圆的右焦点为F，△B1B2F为等边三角形，点F到椭圆右准线l的距离为1，求椭圆的方程.

解析：因为△B1B2F为正三角形，OF＝c，OB2＝b，B2F＝a，

所以e＝＝＝cos30°＝，

所以

解得所以b＝.

故所求椭圆方程为＋＝1.

如图，在平面直角坐标系xOy中，F1、F2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，且△BF1F2是边长为2的等边三角形.

(1)  求椭圆的方程；

(2)  过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，C两点，记△ABF2，△BCF2的面积分别为S1，S2.若S1＝2S2，求直线l的斜率.

　　解析：(1)  由题意得a＝2c＝2，b2＝a2－c2＝3，

所求椭圆的方程为＋＝1.

(2)  设点B到直线AC的距离为h，由于S1＝2S2，

所以AF2·h＝2×F2C·h，即AF2＝2F2C，

所以＝2.

方法一：设A(x1，y1)，C(x2，y2).

又F2(1，0)，则(1－x1，－y1)＝2(x2－1，y2)，

即

由

解得

所以直线l的斜率k＝＝±.

方法二：由方法一知x1＝3－2x2，

设点A(x1，y1)到椭圆＋＝1右准线x＝4的距离为d，则＝，

所以AF2＝2－x1，同理CF2＝2－x2.

由AF2＝2F2C，得2－x1＝2，

即x2＝2＋x1.

所以x2＝(以下同方法一).

方法三：椭圆的右准线为直线x＝4，

分别过A， C作准线的垂线，垂足分别为A′，C′，

过C作CH⊥AA′，垂足为H，如图所示.

由于＝＝，

又AF2＝2F2C，在Rt△CAH中，

AC＝3F2C，AH＝2F2C，所以CH＝F2C，

所以tan∠CAH＝.

根据椭圆的对称性知，所求直线的斜率为±.

　自测反馈　

1. F1、F2分别是双曲线－＋＝1的左、右焦点，设P是双曲线上的一点，且PF1＝16，则点P到双曲线右准线的距离为　16或　.

解析：在双曲线－＝1中，因为a2＝16，b2＝20，所以c＝6，因为P是双曲线上一点，且PF1＝16，所以点P到双曲线左准线的距离为d＝＝＝.又因为左、右准线之间距离为＝，所以点P到双曲线右准线的距离为＝16或.

2. 如果双曲线的两个焦点分别为F1(－3，0)，F2(3，0)，一条渐近线方程为y＝x，那么它的两条准线间的距离是　2　.

解析：设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则有解得所以两条准线间的距离是＝2.

3. 已知点A(x0，y0)在双曲线－＝1的右支上，若点A到右焦点的距离等于2x0，则x0＝ 2　Ｗ.

解析：双曲线－＝1，则a＝2，b＝4，c＝6，所以右焦点F(6，0)，离心率＝3，将点A(x0，y0)代入双曲线方程，得y＝8x－32，所以AF＝＝＝2x0，解得x0＝2.

4. 若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是　9　Ｗ.

解析：由题意得抛物线的准线为x＝－1.因为点M到焦点的距离为10，所以点M到准线x＝－1的距离为10，所以M到y轴的距离为9.

1. 在解题中遇到焦点时应主动考虑两种定义.

2. 要注意左焦点对应左准线，右焦点对应右准线.

3. 你还有哪些体悟，写下来：