2020版新高考数学一轮（鲁京津琼）精练：第2章 阶段强化练（一） (含解析)

阶段强化练(一)

一、选择题

1．(2019·四川诊断)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是(　　)

A．y＝－  B．y＝cos x  C．y＝－x2  D．y＝x2

答案　D

解析　根据题意，依次分析选项：

对于A，y＝－，为奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意；

对于C，y＝－x2，为偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意；

对于D，y＝x2，为偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；

故选D.

2．已知函数f(x)＝3x－x，则f(x)(　　)

A．是偶函数，且在R上是增函数

B．是奇函数，且在R上是增函数

C．是偶函数，且在R上是减函数

D．是奇函数，且在R上是减函数

答案　B

解析　∵函数f(x)的定义域为R，

f(－x)＝3－x－－x＝x－3x＝－f(x)，

∴函数f(x)是奇函数．∵函数y＝x在R上是减函数，

∴函数y＝－x在R上是增函数．

又∵y＝3x在R上是增函数，

∴函数f(x)＝3x－x在R上是增函数．故选B.

3．(2019·平顶山联考)已知函数f(x)＝则下列结论正确的是(　　)

A．f(x)是偶函数  B．f(x)是增函数

C．f(x)的最小值是1   D．f(x)的值域为(0，＋∞)

答案　C

解析　结合函数的图象(图略)可得，函数是非奇非偶函数，函数在定义域内没有单调性，函数的最小值为1，函数的值域为[1，＋∞)．故选C.

4．已知函数f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝－x2＋x.若不等式f(x)－x≤2logax(a>0且a≠1)对∀x∈恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.∪(1，＋∞)

答案　B

解析　由已知得当x>0时，f(x)＝x2＋x，故x2≤2logax对∀x∈恒成立，即当x∈时，函数y＝x2的图象不在y＝2logax图象的上方，由图(图略)知0<a<1且2loga≥，解得≤a<1.故选B.

5．(2019·安徽皖中名校联考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，当0<x<1时，f(x)＝2x－1，则f(log29)等于(　　)

A．－  B．8  C．－10  D．－

答案　A

解析　由f(x＋2)＝－f(x)，可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的最小正周期为4.

又3<log29<4，所以－1<log29－4<0.

又f(x)为奇函数，令－1<x<0，则0<－x<1，

所以f(x)＝－f(－x)＝－[2－x－1]＝1－2－x.

所以f(log29－4)＝1－＝1－＝1－＝－.

故f(log29)＝－.

6．(2019·云南曲靖一中质检)已知奇函数f(x)满足f(x)＝f(2－x)，若当x∈(－1,1)时，f(x)＝log2(＋x)，且f(2 018－a)＝1，则实数a的值可以是(　　)

A.  B．－  C．－  D.

答案　A

解析　∵f(x)＝f(2－x)，f(－x)＝－f(x)，

∴f(2－x)＝－f(－x)，即f(2＋x)＝－f(x)，

∴f(4＋x)＝f(x)，∴函数f(x)的周期为4，

∴f(2 018－a)＝f(2－a)＝f(a)，

当－1<a<1时，由f(a)＝log2(＋a)＝1，

可得＋a＝2，解得a＝.故选A.

7．(2019·河北武邑中学调研)已知函数f(x)＝x2－，则函数y＝f(x)的大致图象为(　　)

答案　A

解析　由题意可知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，

∵函数f(x)＝x2－，

∴f(－x)＝x2＋，即f(－x)≠±f(x)，

∴函数f(x)为非奇非偶函数，排除B和C，

当x＝－时，f＝e－2－e<0，排除D，

故选A.

8．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递减，若 a＝f(log25)，b＝f(log24.1)，c＝f(20.8)，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a<b<c   B．c<b<a

C．b<a<c   D．c<a<b

答案　B

解析　由于函数为偶函数且在y轴左侧单调递减，那么在y轴右侧单调递增，由于0<20.8<21＝log24<log24.1<log25，所以c<b<a.故选B.

9．下列函数：

①y＝sin3x＋3sin x；

②y＝－；

③y＝lg ；

④y＝

其中是奇函数且在(0,1)上是减函数的个数为(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

答案　B

解析　易知①中函数在(0,1)上为增函数；④中函数不是奇函数；满足条件的函数为②③.

10．(2019·辽宁部分重点高中联考)已知函数f(x)为定义在[－3，t－2]上的偶函数，且在[－3,0]上单调递减，则满足f(－x2＋2x－3)<f的x的取值范围是(　　)

A．(1，＋∞)   B．(0,1]

C．(1，]   D．[0，]

答案　C

解析　因为函数f(x)为定义在[－3，t－2]上的偶函数，

所以－3＋t－2＝0，t＝5，

所以函数f(x)为定义在[－3,3]上的偶函数，

且在[－3,0]上单调递减，

所以f(－x2＋2x－3)<f等价于

f(－x2＋2x－3)<f(－x2－1)，

即0≥－x2＋2x－3>－x2－1≥－3,1<x≤，故选C.

11．(2019·广东执信中学测试)若f(x)是定义在R上的奇函数，f(－3)＝0，且在(0，＋∞)上是增函数，则x·[f(x)－f(－x)]<0的解集为(　　)

A．{x|－3<x<0 或x>3}

B．{x|x<－3 或0<x<3}

C．{x|x<－3 或x>3}

D．{x|－3<x<0或0<x<3}

答案　D

解析　因为函数f(x)为奇函数，

所以x·[f(x)－f(－x)] <0等价于 2x·f(x)<0，

由题设知f(x)在R上是奇函数，

且在(0，＋∞)上是增函数，又f(－3)＝0，

所以f(3)＝0，且f(x)在(－∞，0)上是增函数，

即f(x)在(－∞，－3)上小于零，在(－3,0)上大于零，

在(0,3)上小于零，在(3，＋∞)上大于零，

又x·[f(x)－f(－x)]<0，即x与f(x)的符号相反，

由x>0可得x∈(0,3)；

由x<0可得x∈(－3,0)，

所以x·[f(x)－f(－x)]<0的解集是{x|－3<x<0或0<x<3}，故选D.

12．(2019·惠州调研)已知f(x)是定义在R上的奇函数， 且f(2－x)＝f(x), 若f(1)＝3，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)等于(　　)

A．－3  B．0  C．3  D．2 018

答案　C

解析　∵f(x)为R上的奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)且f(0)＝0，

又由f(2－x)＝f(x)，

∴f(x)＝－f(x－2)＝－[－f(x－4)]＝f(x－4)，

∴f(x)是周期为4的函数，

又f(1)＝3，f(2)＝f(2－2)＝f(0)＝0，

∴f(3)＝f(3－4)＝f(－1)＝－f(1)＝－3，

f(4)＝f(0)＝0，

∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，

f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝f(1)＋f(2)＝3.

故选C.

二、填空题

13．(2019·四川诊断)已知函数f(x)＝ 则f(2 019)＝________.

答案　1 010

解析　当x>0时，f(x)＝f(x－2)＋1，

则f(2 019)＝f(2 017)＋1＝f(2 015)＋2＝…

＝f(1)＋1 009＝f(－1)＋1 010,

而f(－1)＝0，

故f(2 019)＝1 010.

14．(2019·广东六校联考)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2＋2x－3，则f(x)的解析式为________________．

答案　f(x)＝

解析　令x＜0，则－x＞0，∵f(－x)＝－f(x)，

∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋2(－x)－3]

＝－x2＋2x＋3，

又当x＝0时，f(0)＝0，

∴f(x)＝

15．(2019·青岛调研)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝ex－1，则f(2 018)＋f(－2 019)＝________.

答案　e－1

解析　∵f(x)是R上的偶函数，

∴f(－2 019)＝f(2 019)，

f(x＋2)＝f(x)，

∴f(x)的周期为2，

又x∈[0,1]时，f(x)＝ex－1；

∴f(2 018)＝f(0)＝0，

f(－2 019)＝f(2 019)＝f(1)＝e－1.

∴f(－2 019)＋f(2 018)＝e－1.

16．(2019·云南曲靖一中质检)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝且f(x＋2)＝f(x)，g(x)＝，则方程f(x)＝g(x)在区间[－5,1]上的所有实根之和为________．

答案　－7

解析　∵f(x＋2)＝f(x)，

∴函数f(x)的周期为2.

又g(x)＝

＝3＋，

∴函数g(x)图象的对称中心为(－2,3)．

在同一个坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象，

如图所示．

由图象可得两函数的图象交于A，B，C三点，

且点A，C关于点(－2,3)对称，

∴点A，C的横坐标之和为－4.

又由图象可得点B的横坐标为－3，

∴方程f(x)＝g(x)在区间[－5,1]上的所有实根之和为－4－3＝－7.

三、解答题

17．(2019·云南曲靖一中质检)已知函数f(x)＝为R上的奇函数．

(1)求m的值；

(2)求使不等式f(1－a)＋f(1－2a)>0成立的a的取值范围．

解　(1)由题意知f(x)为奇函数，

∴f(0)＝＝0，即1＋m＝0，m＝－1.

经检验，m＝－1符合题意．

(2)由(1)知f(x)＝＝＝1－，

∴函数f(x)在R上为增函数．

∵f(1－a)＋f(1－2a)>0，

∴f(1－a)>－f(1－2a)，

又f(x)为奇函数，

∴f(1－a)>f(2a－1)，

∴ 1－a>2a－1，

解得a<.

∴实数a的取值范围为.

18．已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋ f(y)＝f(x＋y)，且x>0时，f(x)<0.

(1)求证：f(x)在R上是奇函数；

(2)求证：f(x)在R上是减函数；

(3)若f(1)＝－，求f(x)在区间[－3,3] 上的最大值和最小值．

(1)证明　∵函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，

令x＝y＝0得f(0)＝0，

令y＝－x得f(－x)＝－f(x)，

∴f(x)在R上是奇函数．

(2)证明　在R上任取x1>x2，

则x1－x2>0，f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)

＝f(x1－x2)，

∵x>0时，f(x)<0，∴f(x1－x2)<0，

∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上是减函数．

(3)解　∵f(x)是R上的减函数，

∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，

∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)和f(3)，

而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2，

∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.