2020版新高考数学一轮（鲁京津琼）精练：第2章 阶段强化练（二） (含解析)

阶段强化练(二)

一、选择题

1．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(　　)

A．y＝cos x   B．y＝sin x

C．y＝ln x   D．y＝x2＋1

答案　A

解析　y＝cos x是偶函数且有无数多个零点，y＝sin x为奇函数，y＝ln x既不是奇函数也不是偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点．故选A.

2．方程log3x＋2x＝6的解所在区间是(　　)

A．(1,2)  B．(3,4)  C．(2,3)  D．(5,6)

答案　C

解析　令f(x)＝log3x＋2x－6，

则函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，

且函数在(0，＋∞)上连续，

因为f(2)<0，f(3)>0，故有f(2)·f(3)<0，

所以函数f(x)＝log3x＋2x－6的零点所在的区间为(2,3)，

即方程log3x＋2x＝6的解所在区间是(2,3)．故选C.

3．(2018·咸阳模拟)函数f＝2x－零点的个数为(　　)

A．0  B．1  C．2  D．3

答案　B

解析　在同一平面直角坐标系下，作出函数y＝2x和y＝的图象，如图所示．

函数f(x)＝2x－的零点个数等价于方程2x＝的根的个数，等价于函数y＝2x和y＝的交点个数．由图可知，有一个交点，所以有一个零点．故选B.

4．若函数f(x)＝x2＋mx＋1有两个不同零点，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－1,1)   B．(－2,2)

C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)   D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

答案　C

解析　依题意，知Δ＝m2－4＞0，∴m＞2或m＜－2.

5．若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点有(　　)

A．多于4个   B．4个

C．3个   D．2个

答案　B

解析　因为偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，故函数的周期为2.当x∈[0,1]时，f(x)＝x，故当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x.函数y＝f(x)－log3|x|的零点的个数等于函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象，如图所示．

显然函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象有4个交点，故选B.

6．(2019·山西大学附中诊断)函数f(x)＝的零点个数为(　　)

A．0  B．1  C．2  D．3

答案　D

解析　对于求函数f(x)＝ln x－x2＋2x的零点个数，可以转化为方程ln x＝x2－2x的根的个数问题，分别画出y＝ln x，y＝x2－2x的图象如图．由图象可得两个函数有两个交点．

又方程2x＋1＝0的根为x＝－<0，个数是1.

故函数f(x)＝的零点个数为3.

故选D.

7．(2019·珠海摸底)函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－x＋a只有一个零点，则a的取值范围是(　　)

A．(－∞， 0]∪{2}   B．[0, ＋∞)∪{－2}

C．(－∞， 0]   D．[0, ＋∞)

答案　A

解析　因为g(x)＝f(x)－x＋a只有一个零点，

所以y＝f(x)与y＝x－a只有一个交点，

作出函数y＝f(x)与y＝x－a的图象，

y＝x－a与y＝ex－1(x≤1)只有一个交点，则－a≥0，即a≤0，y＝ln(x－1)，x>1与y＝x－a只有一个交点，

则它们相切，因为y′＝，令＝1，则x＝2，

故切点为(2,0)，所以0＝2－a，即a＝2，

综上所述，a的取值范围为(－∞ , 0]∪{2}．

故选A.

8．(2019·淄博期中)已知函数f(x)＝(a>0)，若存在实数b使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则实数a的取值范围是(　　)

A．(0,1)   B．(1，＋∞)

C．(1,2 019)   D．[1，＋∞)

答案　B

解析　由题设有f(x)为(－∞，a]上的增函数，

也是(a，＋∞)上的增函数，

当a3>a2时，f(x)不是R上的增函数，故必定存在b，使得直线y＝b与f(x)的图象有两个交点，

即g(x)＝f(x)－b有两个零点，此时a>1.故选B.

9．已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[0,2]时，f(x)＝(x－1)2，如果g(x)＝f(x)－log5|x－1|，则方程g(x)＝0的所有根之和为(　　)

A．2  B．4  C．6  D．8

答案　D

解析　在平面直角坐标系中画出函数y＝f(x)及y＝log5|x－1|的图象，结合函数的图象可以看出函数共有8个零点，且关于x＝1对称，故所有零点的和为2×4＝8，故选D.

10．(2019·长春质检)已知函数f(x)＝与g(x)＝1－sin πx，则函数 F(x)＝f(x)－g(x)在区间[－2,6]上所有零点的和为(　　)

A．4  B．8  C．12  D．16

答案　D

解析　F(x)＝f(x)－g(x)在区间[－2,6]上所有零点的和，等价于函数g(x)，f(x)的图象交点横坐标的和，

画出函数g(x)，f(x)在区间[－2,6]上的图象，

函数g(x)，f(x)的图象关于点(2,1)对称，则F(x)＝0在区间[－2,6]上共有8个零点，其和为16.故选D.

11．(2019·河北衡水中学模拟)对于函数y＝f(x)，若存在x0，使f(x0)＋f(－x0)＝0，则称点(x0，f(x0))是曲线f(x)的“优美点”．已知f(x)＝则曲线f(x)的“优美点”的个数为(　　)

A．1  B．2  C．4  D．6

答案　B

解析　曲线f(x)的“优美点”个数，

就是x<0的函数f(x)关于原点对称的函数图象，

与y＝2－x(x≥0)的图象的交点个数，

由当x<0时，f(x)＝x2＋2x，

得关于原点对称的函数y＝－x2＋2x，x>0，

联立y＝－x＋2和y＝－x2＋2x，解得x＝1或x＝2，

则存在点(1,1)和(2,0)为“优美点”，

曲线f(x)的“优美点”个数为2，故选B.

12．(2019·惠州调研)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)＝若函数F(x)＝f(x)－m有 6 个零点，则实数m的取值范围是(　　)

A.   B.∪

C.   D.

答案　C

解析　函数f(x)是定义在R上的偶函数，

函数F(x)＝f(x)－m有六个零点，

则当x≥0时，函数F(x)＝f(x)－m有三个零点，

令F(x)＝f(x)－m＝0，

即m＝f(x)，

①当0≤x＜2时，f(x)＝x－x2＝－2＋，

当x＝时有最大值，即为f＝，

且f(x)＞2－4＝－2，

故f(x)在[0,2)上的值域为.

②当x≥2时，f(x)＝≤0，

且当x→＋∞时，f(x)→0，

∵f′(x)＝，

令f′(x)＝＝0，解得x＝3，

当2≤x＜3时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，

当x≥3时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，

∴f(x)min＝f(3)＝－，

故f(x)在[2，＋∞)上的值域为，

∵－＞－2，

∴当－＜m≤0，x≥0时，函数F(x)＝f(x)－m有三个零点，

故当－＜m≤0时，函数F(x)＝f(x)－m有六个零点，

故选C.

二、填空题

13．(2019·西安一中月考)已知函数f(x)＝则f(x)零点的个数是________．

答案　3

解析　令2x－1＝0，解得x＝0，

令x2－3x＋1＝0，解得x＝，

所以函数零点的个数为3.

14．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是______________．

答案　(1,2]

解析　函数g(x)＝f(x)－a有三个不同的零点等价于y＝f(x)的图象与直线y＝a有三个不同交点，

作出函数y＝f(x)的图象：

由图易得a∈(1,2]．

15．(2019·山东胶州一中模拟)已知函数f(x)满足f(1－x)＝f(x＋1)＝f(x－1)(x∈R)，且当0≤x≤1时f(x)＝2x－1，则方程|cos πx|－f(x)＝0在[－1,3]上的所有根之和为________．

答案　11

解析　由题意知，函数满足f(1－x)＝f(x＋1)，

可得函数f(x)的图象关于x＝1对称，又f(x＋1)＝f(x－1)，所以函数f(x)是以2为周期的周期函数，

方程|cos πx|－f(x)＝0在[－1,3]上的零点个数，

即函数y＝|cos πx|和y＝f(x)在[－1,3]上图象的交点的个数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x－1，

在同一坐标系内，作出两个函数在[－1,3]的图象的草图，如图所示，

结合图象可知，两个函数共有11个交点，

即方程|cos πx|－f(x)＝0在[－1,3]上有11个根，所有根的和为2×5＋1＝11.

16．已知函数f(x)＝若f(x)在区间[0，＋∞)上有且只有2个零点，则实数m的取值范围是________．

答案　

解析　当0≤x≤1时，2x2＋2mx－1＝0，

易知x＝0不是方程2x2＋2mx－1＝0的解，

故m＝－x.又g(x)＝－x在(0,1]上是减函数，

故m≥－1＝－.

即m≥－时，方程f(x)＝0在[0,1]上有且只有一个解，

当x>1时，令mx＋2＝0得，m＝－，

故－2<m<0，

即当－2<m<0时，方程f(x)＝0在(1，＋∞)上有且只有一个解，

综上所述，若f(x)在区间[0，＋∞)上有且只有2个零点，

则实数m的取值范围是－≤m<0.

三、解答题

17．(2019·湖南岳阳一中质检)已知f(x)＝|2x－3|＋ax－6(a是常数，a∈R)．

(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；

(2)如果函数y＝f(x)恰有两个不同的零点，求a的取值范围．

解　(1)当a＝1时，f(x)＝|2x－3|＋x－6

＝

则原不等式等价于或

解得x≥3或x≤－3，

则原不等式的解集为{x|x≥3或x≤－3}．

(2)由f(x)＝0，得|2x－3|＝－ax＋6，

令y＝|2x－3|，y＝－ax＋6，作出它们的图象(图略)，

可以知道，当－2<a<2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，

所以函数y＝f(x)恰有两个不同的零点时，

a的取值范围是(－2,2)．

18．已知函数f(x)＝若存在实数x1，x2，x3，且x1<x2<x3，使f(x1)＝f(x2)＝f(x3)．

(1)画出函数f(x)的图象；

(2)求x1f(x2)的取值范围．

解　(1)由函数f(x)＝

可得函数f(x)的图象如图所示．

(2)由存在实数x1，x2，x3，且x1<x2<x3，

设f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝m，m∈(0,2]，

且x1∈(－2,0]，x2∈(0,1)，

则f(x1)＝m，即x1＋2＝m，解得x1＝m－2，

所以x1f(x2)＝(m－2)×m＝m2－2m＝(m－1)2－1，

m∈(0,2]，

当m＝1时，x1f(x2)取得最小值－1，

当m＝2时，x1f(x2)取得最大值0，

所以x1f(x2)的取值范围是[－1,0]．