2020版新高考数学一轮（鲁京津琼）精练：第2章 阶段自测卷（一） (含解析)

阶段自测卷(一)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．(2019·太原期中)函数y＝ln x＋的定义域是(　　)
A．(0,1) B．[0,1) C．(0,1] D．[0,1]
答案　C
解析　由 解得0＜x≤1，所以函数f(x)的定义域为(0,1]．故选C.
2．(2019·凉山诊断)下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,1)上递减的函数是(　　)
A．y＝cos x B．y＝|x|
C．y＝tan x D．y＝x－3
答案　D
解析　由于y＝cos x是偶函数，故A不是正确选项．由于y＝|x|是偶函数，故B不是正确选项．由于y＝tan x在(0,1)上为增函数，故C不是正确选项．D选项中y＝x－3既是奇函数，又在(0,1)上递减，符合题意．故选D.
3．(2019·晋江四校期中)设函数y＝log3x与y＝3－x的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是(　　)
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
答案　C
解析　因为方程log3x＝－x＋3的解，就是m(x)＝log3x＋x－3的零点，
因为m(x)＝log3x＋x－3单调递增且连续，
m(x)＝log3x＋x－3在(1,2)上满足m(1)m(2)>0，
m(x)＝log3x＋x－3在(2,3)上满足m(2)m(3)<0，
所以m(x)＝log3x＋x－3的零点在(2,3)内，
可得方程log3x＋x－3＝0的解所在的区间是(2,3)，
即则x0所在的区间是(2,3)，故选C.
4．(2019·福建闽侯五校期中联考)若a＝，b＝b，c＝log2，则(　　)
A．b>c>a B．a>b>c
C．c>a>b D．b>a>c
答案　B
解析　a＝＞20＝1，
∵0<<1，b＝b>0，∴0 c＝log2＝log2＜log21＝0, ∴a>b>c.
故选B.
5．(2019·山师大附中模拟)函数f(x)＝ 的值域为R，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1) B.
C. D.
答案　C
解析　因为函数f(x)＝的值域为R，所以解得－1≤a<，故选C.
6．函数y＝的图象大致为(　　)


答案　B
解析　采用排除法，函数定义域为{x|x≠0且x≠±1}，排除A；当x>1时，ln|x|>0，y＝>0，排除D；
当x<－1时，ln|x|>0，y＝<0，排除C，故选B.
7．(2019·山师大附中模拟)函数f(x)是R上的偶函数，且f(x＋1)＝－f(x)，若f(x)在[－1,0]上单调递减，则函数f(x)在[3,5]上是(　　)
A．增函数 B．减函数
C．先增后减的函数 D．先减后增的函数
答案　D
解析　已知f(x＋1)＝－f(x)，则函数周期T＝2，因为函数f(x)是R上的偶函数，在[－1,0]上单调递减，所以函数f(x)在[0,1]上单调递增，即函数在[3,5]上是先减后增的函数．故选D.
8．(2019·新乡模拟)设函数f(x)＝e－x－ex－5x，则不等式f(x2)＋f(－x－6)<0的解集为(　　)
A．(－3,2) B．(－∞，－3)∪(2，＋∞)
C．(－2,3) D．(－∞，－2)∪(3，＋∞)
答案　D
解析　由f(x)＝e－x－ex－5x，
得f(－x)＝ex－e－x＋5x＝－f(x)，
则f(x)是奇函数，故f(x2)＋f(－x－6)<0⇔f(x2)<－f(－x－6)＝f(x＋6)．
又f(x)是减函数，所以f(x2)x＋6，解得x<－2或x>3，故不等式f(x2)＋f(－x－6)<0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，故选D.
9．(2019·广东六校模拟)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)，若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)等于(　　)
A．－2 018 B．2 C．0 D．50
答案　C
解析　f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，
可得f(－x)＝－f(x)，
f(1－x)＝f(1＋x)即有f(x＋2)＝f(－x)，
即f(x＋2)＝－f(x)，
进而得到f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
f(x)为周期为4的函数，
若f(1)＝2，可得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，
f(2)＝f(0)＝0，f(4)＝f(0)＝0，
则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，
可得f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)
＝504×0＋2＋0－2＝0.
故选C.
10．(2019·衡水中学摸底)已知函数f(x)＝(e为自然对数的底数)，若关于x的方程f(x)＋a＝0有两个不相等的实根，则a的取值范围是(　　)
A．a>－1 B．－1＜a＜1
C．0＜a≤1 D．a＜1
答案　C
解析　画出函数f(x)的图象如图所示，若关于x的方程f(x)＋a＝0有两个不相等的实根，则函数f(x)与直线y＝－a 有两个不同交点，由图可知－1≤－a<0，所以0
11．(2019·新疆昌吉教育共同体月考)若关于x的不等式1＋acos x≥sin在R上恒成立，则实数a的最大值为(　　)
A．－ B. C. D．1
答案　B
解析　1＋acos x≥sin＝cos 2x＝(2cos2x－1)，令cos x＝t∈[－1,1]，并代入不等式，则问题转化为不等式4t2－3at－5≤0在t∈[－1,1]上恒成立，即所以－≤a≤.
所以实数a的最大值为.
12．(2019·沈阳东北育才学校模拟)设函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1 A. B.
C．(－1，＋∞) D.
答案　A
解析　画出函数f(x)的图象如图所示，根据对称性可知，x1和x2关于x＝－1对称，故x1＋x2＝－2.由于|log4x|＝，故＝x4，x3·x4＝1.令log4＝1，解得x＝，所以x3∈.x3(x1＋x2)＋＝－2x3＋，由于函数y＝－2x＋在区间上为减函数，故－2x3＋∈，故选A.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．函数f(x)＝的定义域为________．
答案　[e2，＋∞)
解析　∵函数f(x)＝，∴ln x－2≥0，
即ln x≥ln e2，∴x≥e2，
∴函数f(x)＝的定义域为[e2，＋∞)．
14．(2019·浏阳六校联考)f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，当0 答案　－2
解析　由题意得f＝f＝f
＝－f＝－＝－2，
又f(6)＝f(0)＝0，
∴f＋f(6)＝－2.
15．(2019·青岛调研)已知函数f(x)＝ f(m)>1，则m的取值范围是____________．
答案　(－∞，0)∪(2，＋∞)
解析　若f(m)＞1，则
或即或
解得m＞2或m＜0.
16．已知函数f(x)＝(a>0且a≠1)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|＝2－x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是________．
答案　∪
解析　画出函数y＝|f(x)|的图象如图，由函数y＝f(x)是单调递减函数可知，0＋3a≥loga(0＋1)＋1，即a≥，由loga(x0＋1)＋1＝0得，x0＝－1≤2，所以当x≥0时，y＝2－x与y＝|f(x)|图象有且仅且一个交点．所以当2≥3a，即≤a≤时，函数y＝|f(x)|与函数y＝2－x图象恰有两个不同的交点，即方程|f(x)|＝2－x恰好有两个不相等的实数解，结合图象可知当直线y＝2－x与函数y＝x2＋3a相切时，得x2＋x＋3a－2＝0.
由Δ＝1－4(3a－2)＝0，解得a＝，此时也满足题意．
综上，所求实数a的取值范围是∪.

三、解答题(本大题共70分)
17．(10分)(2019·酒泉敦煌中学诊断)求下列函数的解析式：
(1)已知2f(x－1)－f(1－x)＝2x2－1，求二次函数f(x)的解析式；
(2)已知f(－1)＝x，求f(x)的解析式．
解　(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f(x－1)＝a(x－1)2＋b(x－1)＋c，
f(1－x)＝a(1－x)2＋b(1－x)＋c，
所以2f(x－1)－f(1－x)＝2ax2－4ax＋2a＋2bx－2b＋2c－(ax2－2ax＋a＋b－bx＋c)
＝ax2－(2a－3b)x＋a－3b＋c＝2x2－1，
所以解得
所以f(x)＝2x2＋x＋1.
(2)令t＝－1，t≥－1，则x＝(t＋1)2，
∴f(t)＝(t＋1)2 (t≥－1)．
∴f(x)的解析式为f(x)＝(x＋1)2，x≥－1.
18．(12分)(2019·廊坊省级示范高中联考)已知函数f(x)＝log3(ax2－x＋3)．
(1)若函数f(x)的定义域为R，求a的取值范围；
(2)已知集合M＝[1,3]，方程f(x)＝2的解集为N，若M∩N≠∅，求a的取值范围．
解　(1)因为函数的定义域为R，所以ax2－x＋3>0恒成立，
当a＝0时，－x＋3>0不恒成立，不符合题意；
当a≠0时，解得a>.
综上所述a>.
(2)由题意可知，ax2－x＋3＝9在[1,3]上有解．
即a＝＋在[1,3]上有解，
设t＝，t∈，则a＝6t2＋t，
因为y＝6t2＋t在上单调递增，所以y∈[1,7]．
所以a∈[1,7]．
19．(12分)函数f(x)对任意的a，b∈R都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x＞0时，f(x)>1 .
(1)判断函数f(x)是否为奇函数；
(2)证明：f(x)在R上是增函数；
(3)解不等式f(3m2－m－2)＜1.
(1)解　当a＝b＝0时，解得f(0)＝1，显然函数不可能是奇函数．
(2)证明　任取x1，x2∈R，且x1 则f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)
＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)
＝f(x2－x1)－1，
∵x2－x1>0, ∴f(x2－x1)>1，
∴f(x2)－f(x1)>0，∴f(x)在R上是增函数．
(3)∵f(0)＝1，∴f(3m2－m－2)<1＝f(0)，
又f(x)在R上递增，所以3m2－m－2<0，
解得－ 20．(12分)已知定义在R上的函数f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x＋1.
(1)求函数f(x)在R上的解析式；
(2)若方程m＝f(x)有4个根x1，x2，x3，x4，求m的取值范围及x1＋x2＋x3＋x4的值．
解　(1)设x<0⇒－x>0⇒f(－x)＝(－x)2－4(－x)＋1＝x2＋4x＋1，
由函数f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝x2＋4x＋1，
综上f(x)＝或f(x)＝x2－4|x|＋1.
(2)作出函数f(x)的图象如图所示，

由图可知，
当－3 令x1 得x1＋x2＝－4，x3＋x4＝4，
则x1＋x2＋x3＋x4＝0.
21．(12分)(2019·荆州质检)为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小李同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为5万元，每年生产x万件，需另投入流动成本为C(x)万元，且C(x)＝ 每件产品售价为10元．经市场分析，生产的产品当年能全部售完．
(1)写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；
(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
解　(1)因为每件产品售价为10元，则x万件产品销售收入为10x万元，
依题意得，
当0 ＝－x2＋6x－5，
当x≥8时，
P(x)＝10x－－5＝30－，
所以P(x)＝
(2)当0 当x＝6时，P(x)取得最大值P(6)＝13，
当x≥8时，P′(x)＝－1＋<0，所以P(x)为减函数，
当x＝8时，P(x)取得最大值P(8)＝，因为13<，
故当年产量为8万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润为万元．
22．(12分)(2019·佛山禅城区调研)已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，当x∈(0,1)时，f(x)＝.
(1)求f(x)在(－1,1)上的解析式；
(2)若g(x)是周期为2的函数，且x∈(－1,1)时g(x)＝f(x)，求x∈(2n，2n＋1)，n∈N时函数g(x)的解析式．
解　(1)当x∈(－1,0)时，－x∈(0,1),
因为函数f(x)为奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－＝－.
因为f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，所以f(0)＝0，
故当x∈(－1,1)时，f(x)的解析式为
f(x)＝
(2)设x∈(2n，2n＋1)，则x－2n∈(0,1) ，
g(x－2n)＝.因为g(x)周期为2，n∈N，
所以2n也是周期， g(x－2n)＝g(x)，
所以x∈(2n,2n＋1)时， g(x)＝.