2020版新高考数学一轮（鲁京津琼）精练：第7讲　离散型随机变量及其分布列 (含解析)

第7讲　离散型随机变量及其分布列

一、选择题

1.某射手射击所得环数X的分布列为

则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为(　　)

A.0.28   B.0.88   C.0.79   D.0.51

解析　P(X＞7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)

＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.

答案　C

2.设X是一个离散型随机变量，其分布列为：

则q的值为(　　)

A.1  B.±

C.－    D.＋

解析　由分布列的性质知

解得q＝－.

答案　C

3.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于(　　)

A.0   B.   C.   D.

解析　由已知得X的所有可能取值为0，1，

且P(X＝1)＝2P(X＝0)，由P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，

得P(X＝0)＝.

答案　C

4.袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是(　　)

A.ξ＝4    B.ξ＝5

C.ξ＝6    D.ξ≤5

解析　“放回五个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6.

答案　C

5.从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P＝＝.

答案　C

二、填空题

6.设离散型随机变量X的分布列为

若随机变量Y＝|X－2|，则P(Y＝2)＝________.

解析　由分布列的性质，知

0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.

由Y＝2，即|X－2|＝2，得X＝4或X＝0，

∴P(Y＝2)＝P(X＝4或X＝0)

＝P(X＝4)＋P(X＝0)

＝0.3＋0.2＝0.5.

答案　0.5

7.袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X，则P(X≤6)＝________.

解析　P(X≤6)＝P(取到3只红球1只黑球)＋P(取到4只红球)＝＋＝.

答案　

8.在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为________.

解析　η的所有可能值为0，1，2.

P(η＝0)＝＝，

P(η＝1)＝＝，

P(η＝2)＝＝.

∴η的分布列为

答案　

三、解答题

9.(2017·成都诊断)某高校一专业在一次自主招生中，对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如下表：

由于部分数据丢失，只知道从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为.

(1)从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率；

(2)从参加测试的20名学生中任意抽取2名，设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为X，求随机变量X的分布列.

解　(1)用A表示“从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生”，

∵语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有(6＋n)名，

∴P(A)＝＝，解得n＝2，∴m＝4，

用B表示“从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生”，

∴P(B)＝1－＝.

(2)随机变量X的可能取值为0，1，2.

∵20名学生中，语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数共有8名，

∴P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，

∴X的分布列为

10.某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：

奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球.顾客不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励.

(1)求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；

(2)记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，随机变量X的分布列.

解　(1)设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A，

则P(A)＝＝，

故1名顾客摸球3次停止摸球的概率为.

(2)随机变量X的所有取值为0，5，10，15，20.

P(X＝0)＝，P(X＝5)＝＝，P(X＝10)＝＋＝，P(X＝15)＝＝，

P(X＝20)＝＝.

所以，随机变量X的分布列为

11.随机变量X的分布列如下：

其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)等于(　　)

A.   B. C.   D.

解析　∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，∴b＝，∴P(|X|＝1)＝a＋c＝.

答案　D

12.若随机变量X的分布列为

则当P(X<a)＝0.8时，实数a的取值范围是(　　)

A.(－∞，2]    B.[1，2]

C.(1，2]    D.(1，2)

解析　由随机变量X的分布列知：P(X<－1)＝0.1，P(X<0)＝0.3，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，则当P(X<a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1，2].

答案　C

13.(2017·石家庄调研)为检测某产品的质量，现抽取5件产品，测量产品中微量元素x，y的含量(单位：毫克)，测量数据如下：

 如果产品中的微量元素x，y满足x≥175且y≥75时，该产品为优等品.

现从上述5件产品中，随机抽取2件，则抽取的2件产品中优等品数X的分布列为________.

解析　5件抽测品中有2件优等品，则X的可能取值为0，1，2.P(X＝0)＝＝0.3，

P(X＝1)＝＝0.6，

P(X＝2)＝＝0.1.

∴优等品数X的分布列为

答案　

14.盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球.规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分.现从盒内任取3个球.

(1)求取出的3个球中至少有1个红球的概率；

(2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；

(3)设X为取出的3个球中白色球的个数，求X的分布列.

解　(1)P＝1－＝.

(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，则P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝＋＝.

(3)X可能的取值为0，1，2，3，X服从超几何分布，所以

P(X＝k)＝，k＝0，1，2，3.

故P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.

所以X的分布列为