2020版新高考数学一轮（鲁京津琼）精练：阶段强化练（五） (含解析)

阶段强化练(五)

一、选择题

1．(2019·淄博期中)下列说法正确的是(　　)

A．若a>b，c>d，则a－c>b－d

B．若ac>bc，则a>b

C．若a>b>0，则a＋>b＋

D．若a，b∈R，则≥ab

答案　C

解析　对于A，a＝8，b＝2，c＝7，d＝－1，此时a－c＝1，b－d＝3，显然不成立；

对于B，当c＜0时，a＜b，显然不成立；

对于C，∵a＞b＞0，∴a＋－b－＝(a－b)＋

＝(a－b)＞0，∴a＋＞b＋，显然成立；

对于D，当a＝b＝－1时，显然不成立，

故选C.

2．(2019·内蒙古包头四中期中)不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a＋b等于(　　)

A．14  B．－14  C．－10  D．10

答案　B

解析　由题意可得，不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为

，

所以方程ax2＋bx＋2＝0的解为－或，

所以－＝－，＝－.

所以a＝－12，b＝－2，所以a＋b＝－14.

故选B.

3．已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为(　　)

A．9  B．12  C．18  D．24

答案　B

解析　由＋≥，

得m≤(a＋3b)＝＋＋6.

又＋＋6≥2＋6＝12

，

∴m≤12，∴m的最大值为12.

4．不等式<2的解集为(　　)

A．{x|x≠－2}   B．R

C．∅   D．{x|x<－2或x>2}

答案　A

解析　∵x2＋x＋1>0恒成立，

∴原不等式⇔x2－2x－2<2x2＋2x＋2⇔x2＋4x＋4>0⇔(x＋2)2>0，

∴x≠－2.∴不等式的解集为{x|x≠－2}．

5．(2019·重庆朝阳中学期中)关于x的不等式x2－(m＋1)x＋(m＋1)≥0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围为(　　)

A．[－3，1]  B．[－3，3]  C．[－1，1]  D．[－1，3]

答案　D

解析　∵关于x的不等式x2－(m＋1)x＋(m＋1)≥0对一切x∈R恒成立，

∴Δ＝(m＋1)2－4(m＋1)＝(m＋1)(m－3)≤0，

解得－1≤m≤3，

∴实数m的取值范围为[－1，3]．故选D.

6．(2019·湖北重点高中联考)设a>0，b>0，若a＋b＝1，则＋的最小值是(　　)

A．4  B．8  C．2  D.

答案　A

解析　由题意＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即a＝b＝时取等号．故选A.

7．(2019·新疆昌吉教育共同体月考)在1和17之间插入n－2个数，使这n个数成等差数列，若这n－2个数中第一个为a，第n－2个为b，当＋取最小值时，n的值为(　　)

A．6  B．7  C．8  D．9

答案　D

解析　由已知得a＋b＝18，则＋＝×＝≥(26＋10)＝2，所以当且仅当b＝5a时取等号，此时a＝3，b＝15，可得n＝9.故选D.

8．若对任意x>0，≤a恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．a≥   B．a>

C．a<   D．a≤

答案　A

解析　因为对任意x>0，≤a恒成立，

所以对任意x∈(0，＋∞)，a≥max，

而对任意x∈(0，＋∞)，

＝≤＝，

当且仅当x＝，即x＝1时等号成立，∴a≥.

9．已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是(　　)

A．9  B．8  C．4  D．2

答案　A

解析　圆x2＋y2－2y－5＝0化成标准方程为

x2＋(y－1)2＝6，所以圆心为C(0，1)．

因为直线ax＋by＋c－1＝0经过圆心C，

所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1.

因此＋＝(b＋c)＝＋＋5.

因为b，c>0，

所以＋≥2＝4.

当且仅当＝时等号成立．

由此可得b＝2c，且b＋c＝1，

即当b＝，c＝时，＋取得最小值9.

10．若不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集为R，则实数a的取值范围是________．

答案　

解析　①当a2－1＝0时，a＝1或a＝－1.

若a＝1，则原不等式为－1<0，恒成立，满足题意．

若a＝－1，则原不等式为2x－1<0，

即x<，不合题意，舍去．

②当a2－1≠0，即a≠±1时，

原不等式的解集为R的条件是

解得－<a<1.

综上，a的取值范围是.

11．(2019·湖南五市十校联考)已知正实数a，b，c满足a2－2ab＋9b2－c＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为(　　)

A．3  B.  C．1  D．0

答案　C

解析　由正实数a，b，c满足a2－2ab＋9b2－c＝0，

得－＋＝1≥，

当且仅当＝，即a＝3b时，取最大值，

又因为a2－2ab＋9b2－c＝0，

所以此时c＝12b2，所以＋－＝，

最大值为1.

12．(2019·湖北黄冈中学、华师附中等八校联考)已知直线x＝t分别与函数f(x)＝log2(x＋1)和g(x)＝2log2(x＋2)的图象交于P，Q两点，则P，Q两点间的最小距离为(　　)

A．4  B．1  C.  D．2

答案　D

解析　根据题意得，P，Q两点间的距离即两点的纵坐标差值的绝对值，

|PQ|＝2log2(t＋2)－log2(t＋1)＝log2，

设t＋1＝u，t＝u－1>－1，即u>0，

原式＝log2＝log2，

根据基本不等式得到u＋＋2≥4，

故log2≥2.

当且仅当u＝1，t＝0时取得最值．故选D.

二、填空题

13．若方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两个正实根，则m的取值范围是________．

答案　(0，1]

解析　由题意得解得0<m≤1.

14．(2019·凉山诊断)函数y＝(x>0)的值域是____________．

答案　[2，＋∞)

解析　依题意知y＝2x＋≥2＝2，

当且仅当2x＝，x＝时等号成立，

故函数的值域为[2，＋∞)．

15．若关于x的不等式4x－2x＋1－a≥0在[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为__________．

答案　(－∞，0]

解析　因为不等式4x－2x＋1－a≥0在[1，2]上恒成立，

所以4x－2x＋1≥a在[1，2]上恒成立．

令y＝4x－2x＋1＝(2x)2－2×2x＋1－1＝(2x－1)2－1.

因为1≤x≤2，所以2≤2x≤4.

由二次函数的性质可知，当2x＝2，即x＝1时，y取得最小值0，所以实数a的取值范围为(－∞，0]．

16．(2019·成都诊断)已知直线l：y＝kx与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相交于A，B两点，点M(0，b)，且MA⊥MB，若b∈，则实数k的取值范围是________．

答案　(1，6－)∪(6＋，＋∞)

解析　由

消去y得(k2＋1)x2－(2k＋2)x＋1＝0，①

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

∴x1＋x2＝，x1x2＝，

∵MA⊥MB，∴·＝0，

(x1，y1－b)·(x2，y2－b)＝0，

即x1·x2＋(y1－b)(y2－b)＝0，

∵y1＝kx1，y2＝kx2，

∴(1＋k2)x1·x2－kb(x1＋x2)＋b2＝0，

∴(1＋k2)·－kb·＋b2＝0，

即＝2＋＝＝b＋，

∵b∈，

设f(b)＝b＋，在区间上单调递增，

求得f(b)∈，可得∈，

解得1＜k＜6－或k＞6＋.

∴k的取值范围为(1，6－)∪(6＋，＋∞)．

三、解答题

17．(2019·浏阳六校联考)已知定义域为R的单调函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围．

解　(1)当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝－2－x，

又函数f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，

∴f(x)＝＋2－x.又f(0)＝0.

综上所述，f(x)＝

(2)∵f(x)为R上的单调函数，且f(－1)＝>f(0)＝0，

∴函数f(x)在R上单调递减．

∵f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0，

∴f(t2－2t)<－f(2t2－k)，

∵函数f(x)是奇函数，

∴f(t2－2t)<f(k－2t2)．

又f(x)在R上单调递减，

∴t2－2t>k－2t2对任意t∈R恒成立，

∴3t2－2t－k>0对任意t∈R恒成立，

∴Δ＝4＋12k<0，解得k<－.

∴实数k的取值范围为.

18．(2019·湖北黄冈中学、华师附中等八校联考)首届中国国际进口博览会于2018年11月5日至10日在上海的国家会展中心举办．国家展、企业展、经贸论坛、高新产品汇集…首届进博会高点纷呈．一个更加开放和自信的中国，正用实际行动为世界构筑共同发展平台，展现推动全球贸易与合作的中国方案．某跨国公司带来了高端智能家居产品参展，供购商洽谈采购，并决定大量投放中国市场．已知该产品年固定研发成本30万美元，每生产一台需另投入90美元．设该公司一年内生产该产品x万台且全部售完，每万台的销售收入为G(x)万美元，G(x)＝

(1)写出年利润S(万美元)关于年产量x(万台)的函数解析式；(利润＝销售收入－成本)

(2)当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润．

解　(1)当0<x≤20时，S＝xG(x)－(90x＋30)

＝－3x2＋150x－30；

当x>20时，S＝xG(x)－(90x＋30)

＝－10x＋－30.

函数解析式为S＝

(2)当0<x≤20时，因为S＝－3(x－25)2＋1 845，

S在(0，20]上单调递增，

所以当x＝20时，Smax＝S(20)＝1 770.

当x>20时，S＝－10x＋－30

＝－10x－＋2 970

＝－10(x＋1)－＋2 980

≤－2＋2 980＝2 380.

当且仅当＝10(x＋1)，即x＝29时等号成立．

因为2 380>1 770，所以当x＝29时，S的最大值为2 380万美元．

答　当年产量为29万台时，该公司在该产品中获得的利润最大，最大利润为2 380万美元．