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2020版新高考数学一轮（鲁京津琼）精练：第12章 阶段自测卷（八） (含解析)
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阶段自测卷(八)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．(2019·陕西四校联考)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为大于8的偶数的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 将先后两次的点数记为有序实数对(x，y)，则共有6×6＝36(个)基本事件，其中点数之和为大于8的偶数有(4,6)，(6,4)，(5,5)，(6,6)，共4种，则满足条件的概率为＝.故选B.
2．(2019·成都七中诊断)若随机变量X～N(3，σ2)，且P(X≥5)＝0.2，则P(1
答案 A
解析 ∵随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，
∴对称轴是x＝3.
∵P(X≥5)＝0.2，
∴P(1＜X＜5)＝1－2P(X≥5)＝1－0.4＝0.6.
故选A.
3．(2019·四省联考诊断)2018年国际山地旅游大会于10月14日在贵州召开，据统计有来自全世界的4 000名女性和6 000名男性徒步爱好者参与徒步运动，其中抵达终点的女性与男性徒步爱好者分别为1 000名和2 000名，抵达终点的徒步爱好者可获得纪念品一份．若记者随机电话采访参与本次徒步运动的1名女性和1名男性徒步爱好者，其中恰好有1名徒步爱好者获得纪念品的概率是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 “男性获得纪念品，女性没有获得纪念品”的概率为×＝，“男性没有获得纪念品，女性获得纪念品” 的概率为×＝，故“恰好有1名徒步爱好者获得纪念品” 的概率为＋＝.故选C.
4．(2019·新乡模拟)从区间[0，π]内任取一个实数x，则sin x＋cos x>1的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由sin x＋cos x>1，得sin>，
因为x∈[0，π]，所以x∈，
由几何概型可知所求概率P＝＝，故选B.
5．设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b，又X的均值为E(X)＝3，则a＋b等于( )
A. B．0 C．－ D.
答案 A
解析 依题意可得X的分布列为
X
1
2
3
4
P
a＋b
2a＋b
3a＋b
4a＋b
依题意得
解得a＝，b＝0，故a＋b＝.故选A.
6．某班级在2018年国庆节晚会上安排了迎国庆演讲节目，共有6名选手依次演讲，则选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的概率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 6名选手依次演讲有A种方法，选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的安排方法有4A，所以6名选手依次演讲，则选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的概率为＝.
7．(2019·长春外国语学校月考)从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率是( )
A. B. C. D．1
答案 C
解析 从甲、乙、丙三人中任选两名代表的选法数为C＝3，再确定甲被选中的选法数为2，所以概率为，故选C.
8．(2019·青岛调研)已知某运动员每次投篮命中的概率是40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下10组随机数：907 966 191 925 271 431 932 458 569 683.则该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了10组随机数，在10组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191,932,271，共3组随机数，故所求概率为.故选C.
9．(2019·湖南五市十校联考)一只蚂蚁在三边长分别为6,8,10的三角形内自由爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过1的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 因为三角形三边长分别为6,8,10，由勾股定理，该三角形为直角三角形，且面积为×6×8＝24，距离三角形的任意一个顶点的距离不超过1的部分是以三角形三个角分别为圆心角，1为半径的扇形区域，因为三个圆心角之和为180°，所以三个扇形面积之和为×π×12＝，所以某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过1的概率为＝，故选B.
10．(2019·长春质检)要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A，B，C三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A班的分法种数为( )
A．6 B．12 C．24 D．36
答案 B
解析 甲和另一个人一起分到A班有CA＝6(种)分法，甲一个人分到 A班的方法有CA＝6(种)分法，共有12种分法．故选B.
11.(2019·河北衡水中学模拟)如图是希腊著名数学家欧几里德在证明勾股定理时所绘制的一个图形，该图形由三个边长分别为a，b，c的正方形和一个直角三角形围成．现已知a＝3，b＝4，若从该图形中随机取一点，则该点取自其中的直角三角形区域的概率为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 ∵a＝3，b＝4，∴c＝5，
∴S＝a2＋b2＋c2＋ab＝9＋16＋25＋6＝56，
其中S△＝6，∴该点取自其中的直角三角形区域的概率为＝，故选A.
12.(2019·衡水中学摸拟)赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF＝2AF＝2，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 在△ABD中，AD＝3，BD＝1，∠ADB＝120°，
由余弦定理，得AB＝
＝，
所以＝.
所以所求概率为＝2＝.故选A.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．从1,2,3,4这四个数中一次性随机地取出2个数，则所取2个数的乘积为奇数的概率是________．
答案
解析 从1,2,3,4这4个数中随机地取2个数有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种情形，其中满足所取2个数的乘积为奇数的有(1,3)共1种情形，∴所求概率为.
14．一个不透明袋中装有大小、质地完全相同的四个球，四个球上分别标有数字2,3,4,6.现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是________．
答案
解析 因为从四个球中随机选三个共有C＝4(种)不同的选法，其中能构成等差数列的三个数分别为(2,3,4)，(2,4,6)，共2种不同的选法，所以根据古典概型概率计算公式，得P＝＝.
15．(2019·衡水中学模拟)由数字0,1组成的一串数字代码，其中恰好有7个1,3个0，则这样的不同数字代码共有________个．
答案 120
解析 依题意得，一串数字代码一共有10个数字，则取7个位置排1，剩下的位置排0，则不同数字的代码有C＝120(个)．
16.(2019·广州执信中学测试)大正方形的面积为13，四个全等的直角三角形围成中间的小正方形，较短的直角边长为2，向大正方形内投掷飞镖，则飞镖落在中间小正方形内的概率是________．
答案
解析 大正方形的面积是13 ，则大正方形的边长是，
又直角三角形的较短边长为2，
所以另一边为＝3，
得出四个全等的直角三角形的直角边分别是3和2，
则小正方形的边长为3－2＝1，面积为1.
又大正方形的面积为13，
故飞镖扎在小正方形内的概率为.
三、解答题(本大题共70分)
17．(10分)(2019·凉山诊断)从某市统考的学生数学考试试卷中随机抽查100份数学试卷作为样本，分别统计出这些试卷总分，由总分得到如下的频率分布直方图．
(1)求这100份数学试卷成绩的中位数；
(2)从总分在[55,65)和[135,145)的试卷中随机抽取2份试卷，求抽取的2份试卷中至少有一份总分少于65分的概率．
解 (1)记这100份数学试卷成绩的中位数为x(95
解得x＝100，所以中位数为100.
(2)总分在[55,65)的试卷共有0.002×10×100＝2(份)，记为A，B，
总分在[135,145)的试卷共有0.004×10×100＝4(份)，记为a，b，c，d，
则从上述6份试卷中随机抽取2份的抽取结果为
{A，B}，{A，a}，{A，b}，{A，c}，{A，d}，
{B，a}，{B，b}，{B，c}，{B，d}，
{a，b}，{a，c}，{a，d}，
{b，c}，{b，d}，
{c，d}，
共计15种结果，且每个结果是等可能的．
至少有一份总分少于65分的有：{A，B}，{A，a}，{A，b}，{A，c}，{A，d}，{B，a}，{B，b}，{B，c}，{B，d}，共计9种结果，
所以抽取的2份至少有一份总分少于65分的概率
P＝＝.
18．(12分)将4名大学生随机安排到A，B，C，D四个公司实习．
(1)求4名大学生恰好在四个不同公司的概率；
(2)随机变量X表示分到B公司的学生的人数，求X的分布列和均值E(X)．
解 (1)将4人安排到四个公司中，共有44＝256(种)不同排法．
记“4个人恰好在四个不同的公司”为事件A，
事件A共包含A＝24(个)基本事件，
所以P(A)＝＝，
所以4名大学生恰好在四个不同公司的概率为.
(2)方法一 X的可能取值为0,1,2,3,4，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
所以X的均值E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.
方法二 每个同学分到B公司的概率为
P(B)＝，P()＝1－＝.
根据题意X～B，
所以P(X＝k)＝Ck4－k，k＝0,1,2,3,4，
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
所以X的均值E(X)＝4×＝1.
19．(12分)某市有A，B，C，D四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A的概率为，游览B，C和D的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立．
(1)求该游客至多游览一个景点的概率；
(2)用随机变量X表示该游客游览的景点的个数，求X的分布列和均值E(X)．
解 (1)记“该游客游览i个景点”为事件Ai，i＝0,1，
则P(A0)＝＝，
P(A1)＝3＋C··2
＝.
所以该游客至多游览一个景点的概率为
P(A0)＋P(A1)＝＋＝.
(2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4，
P(X＝0)＝P(A0)＝，
P(X＝1)＝P(A1)＝，
P(X＝2)＝×C××2＋×C×2×＝，
P(X＝3)＝×C×2×＋×C×3＝，
P(X＝4)＝×3＝，
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
故E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
20．(12分)(2019·汉中质检)在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分优秀、合格、尚待改进三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：
表一：男生
男生
等级
优秀
合格
尚待改进
频数
15
x
5
表二：女生
女生
等级
优秀
合格
尚待改进
频数
15
3
y
(1)求x，y的值；
(2)从表一、表二中所有尚待改进的学生中随机抽取3人进行交谈，记其中抽取的女生人数为X，求随机变量X的分布列及均值；
(3)由表中统计数据填写下列2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.
男生
女生
总计
优秀
非优秀
总计
45
参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
参考数据：
P(K2≥k0)
0.01
0.05
0.01
k0
2.706
3.841
6.635
解 (1)设从高一年级男生中抽取m人，
则＝，
解得m＝25，则从女生中抽取20人，
所以x＝25－15－5＝5，y＝20－15－3＝2.
(2)表一、表二中所有尚待改进的学生共7人，其中女生有2人，则X的所有可能的取值为0,1,2.
P(X＝0)＝＝＝，
P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝2)＝＝＝.
则随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
所以X的均值E(X)＝×0＋×1＋×2＝.
(3)2×2列联表如下：
男生
女生
总计
优秀
15
15
30
非优秀
10
5
15
总计
25
20
45
K2＝＝＝＝1.125<2.706，
因为1－0.9＝0.1，P(K2≥2.706)＝0.10，
所以没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．
21．(12分)(2019·长沙长郡中学调研)为了响应全国文明城市建设的号召，某市文明办对本市市民进行了一次文明创建知识的网络问卷调查．每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1 000人的得分(满分：100分)数据，统计结果如下表所示.
组别
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
频数
25
150
200
250
225
100
50
(1)由频数分布表可以认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布N(μ，210)，μ近似为这1 000人得分的平均值(同一组数据用该组区间的中点值作为代表)，请利用正态分布的知识求P(36＜Z≤79.5)；
(2)在(1)的条件下，文明办为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
(i)得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费；
(ii)每次赠送的随机话费及对应的概率为
赠送的随机话费(单位：元)
20
40
概率
现市民小王要参加此次问卷调查，记X(单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列及均值．
附：≈14.5，若X～N(μ，σ2)，则
①P(μ－σ
μ＝35×0.025＋45×0.15＋55×0.2＋65×0.25＋75×0.225＋85×0.1＋95×0.05＝65，
又36≈65－2，79.5≈65＋，
所以P(36＜Z≤79.5)＝×0.954 4＋×0.682 6
＝0.818 5.
(2)根据题意，可以得出所得话费的可能值有20,40,60,80元，
得20元的情况为低于平均值，概率P＝×＝，
得40元的情况为一次机会获40元或2次机会2个20元，概率P＝×＋××＝，
得60元的情况为两次机会，一次40元一次20元，
概率P＝×2××＝，
得80元的情况为两次机会，都是40元，
概率为P＝××＝，
所以X的分布列为
X
20
40
60
80
P
所以均值E(X)＝20×＋40×＋60×＋80×＝.
22．(12分)(2019·佛山禅城区调研)一项研究机构培育一种新型水稻品种，首批培育幼苗2 000株，株长均介于185 mm～235 mm，从中随机抽取100株对株长进行统计分析，得到如下频率分布直方图．
(1)求样本平均株长和样本方差s2(同一组数据用该区间的中点值代替)；
(2)假设幼苗的株长X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2，试估计2 000株幼苗的株长位于区间(201,219)内的株数；
(3)在第(2)问的条件下，选取株长在区间(201,219)内的幼苗进入育种试验阶段，若每株幼苗开花的概率为，开花后结穗的概率为，设最终结穗的幼苗株数为ξ，求ξ的均值．
附：≈9；若X～N(μ，σ2)，
则P(μ－σ
解 (1) ＝190×0.02＋200×0.315＋210×0.35＋220×0.275＋230×0.04＝210，
s2＝202×0.02＋102×0.315＋102×0.275＋202×0.04＝83.
(2)由(1)知， μ＝＝210，σ＝≈9，
∴P(201
∴2 000株幼苗的株长位于区间(201,219)内的株数大约是1 366.
(3)由题意，进入育种试验阶段的幼苗数为1 366，每株幼苗最终结穗的概率P＝×＝，
则ξ～B，
所以E(ξ)＝1 366×＝683.
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．(2019·陕西四校联考)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为大于8的偶数的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 将先后两次的点数记为有序实数对(x，y)，则共有6×6＝36(个)基本事件，其中点数之和为大于8的偶数有(4,6)，(6,4)，(5,5)，(6,6)，共4种，则满足条件的概率为＝.故选B.
2．(2019·成都七中诊断)若随机变量X～N(3，σ2)，且P(X≥5)＝0.2，则P(1
答案 A
解析 ∵随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，
∴对称轴是x＝3.
∵P(X≥5)＝0.2，
∴P(1＜X＜5)＝1－2P(X≥5)＝1－0.4＝0.6.
故选A.
3．(2019·四省联考诊断)2018年国际山地旅游大会于10月14日在贵州召开，据统计有来自全世界的4 000名女性和6 000名男性徒步爱好者参与徒步运动，其中抵达终点的女性与男性徒步爱好者分别为1 000名和2 000名，抵达终点的徒步爱好者可获得纪念品一份．若记者随机电话采访参与本次徒步运动的1名女性和1名男性徒步爱好者，其中恰好有1名徒步爱好者获得纪念品的概率是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 “男性获得纪念品，女性没有获得纪念品”的概率为×＝，“男性没有获得纪念品，女性获得纪念品” 的概率为×＝，故“恰好有1名徒步爱好者获得纪念品” 的概率为＋＝.故选C.
4．(2019·新乡模拟)从区间[0，π]内任取一个实数x，则sin x＋cos x>1的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由sin x＋cos x>1，得sin>，
因为x∈[0，π]，所以x∈，
由几何概型可知所求概率P＝＝，故选B.
5．设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b，又X的均值为E(X)＝3，则a＋b等于( )
A. B．0 C．－ D.
答案 A
解析 依题意可得X的分布列为
X
1
2
3
4
P
a＋b
2a＋b
3a＋b
4a＋b
依题意得
解得a＝，b＝0，故a＋b＝.故选A.
6．某班级在2018年国庆节晚会上安排了迎国庆演讲节目，共有6名选手依次演讲，则选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的概率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 6名选手依次演讲有A种方法，选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的安排方法有4A，所以6名选手依次演讲，则选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的概率为＝.
7．(2019·长春外国语学校月考)从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率是( )
A. B. C. D．1
答案 C
解析 从甲、乙、丙三人中任选两名代表的选法数为C＝3，再确定甲被选中的选法数为2，所以概率为，故选C.
8．(2019·青岛调研)已知某运动员每次投篮命中的概率是40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下10组随机数：907 966 191 925 271 431 932 458 569 683.则该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了10组随机数，在10组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191,932,271，共3组随机数，故所求概率为.故选C.
9．(2019·湖南五市十校联考)一只蚂蚁在三边长分别为6,8,10的三角形内自由爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过1的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 因为三角形三边长分别为6,8,10，由勾股定理，该三角形为直角三角形，且面积为×6×8＝24，距离三角形的任意一个顶点的距离不超过1的部分是以三角形三个角分别为圆心角，1为半径的扇形区域，因为三个圆心角之和为180°，所以三个扇形面积之和为×π×12＝，所以某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过1的概率为＝，故选B.
10．(2019·长春质检)要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A，B，C三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A班的分法种数为( )
A．6 B．12 C．24 D．36
答案 B
解析 甲和另一个人一起分到A班有CA＝6(种)分法，甲一个人分到 A班的方法有CA＝6(种)分法，共有12种分法．故选B.
11.(2019·河北衡水中学模拟)如图是希腊著名数学家欧几里德在证明勾股定理时所绘制的一个图形，该图形由三个边长分别为a，b，c的正方形和一个直角三角形围成．现已知a＝3，b＝4，若从该图形中随机取一点，则该点取自其中的直角三角形区域的概率为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 ∵a＝3，b＝4，∴c＝5，
∴S＝a2＋b2＋c2＋ab＝9＋16＋25＋6＝56，
其中S△＝6，∴该点取自其中的直角三角形区域的概率为＝，故选A.
12.(2019·衡水中学摸拟)赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF＝2AF＝2，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 在△ABD中，AD＝3，BD＝1，∠ADB＝120°，
由余弦定理，得AB＝
＝，
所以＝.
所以所求概率为＝2＝.故选A.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．从1,2,3,4这四个数中一次性随机地取出2个数，则所取2个数的乘积为奇数的概率是________．
答案
解析 从1,2,3,4这4个数中随机地取2个数有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种情形，其中满足所取2个数的乘积为奇数的有(1,3)共1种情形，∴所求概率为.
14．一个不透明袋中装有大小、质地完全相同的四个球，四个球上分别标有数字2,3,4,6.现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是________．
答案
解析 因为从四个球中随机选三个共有C＝4(种)不同的选法，其中能构成等差数列的三个数分别为(2,3,4)，(2,4,6)，共2种不同的选法，所以根据古典概型概率计算公式，得P＝＝.
15．(2019·衡水中学模拟)由数字0,1组成的一串数字代码，其中恰好有7个1,3个0，则这样的不同数字代码共有________个．
答案 120
解析 依题意得，一串数字代码一共有10个数字，则取7个位置排1，剩下的位置排0，则不同数字的代码有C＝120(个)．
16.(2019·广州执信中学测试)大正方形的面积为13，四个全等的直角三角形围成中间的小正方形，较短的直角边长为2，向大正方形内投掷飞镖，则飞镖落在中间小正方形内的概率是________．
答案
解析 大正方形的面积是13 ，则大正方形的边长是，
又直角三角形的较短边长为2，
所以另一边为＝3，
得出四个全等的直角三角形的直角边分别是3和2，
则小正方形的边长为3－2＝1，面积为1.
又大正方形的面积为13，
故飞镖扎在小正方形内的概率为.
三、解答题(本大题共70分)
17．(10分)(2019·凉山诊断)从某市统考的学生数学考试试卷中随机抽查100份数学试卷作为样本，分别统计出这些试卷总分，由总分得到如下的频率分布直方图．
(1)求这100份数学试卷成绩的中位数；
(2)从总分在[55,65)和[135,145)的试卷中随机抽取2份试卷，求抽取的2份试卷中至少有一份总分少于65分的概率．
解 (1)记这100份数学试卷成绩的中位数为x(95
解得x＝100，所以中位数为100.
(2)总分在[55,65)的试卷共有0.002×10×100＝2(份)，记为A，B，
总分在[135,145)的试卷共有0.004×10×100＝4(份)，记为a，b，c，d，
则从上述6份试卷中随机抽取2份的抽取结果为
{A，B}，{A，a}，{A，b}，{A，c}，{A，d}，
{B，a}，{B，b}，{B，c}，{B，d}，
{a，b}，{a，c}，{a，d}，
{b，c}，{b，d}，
{c，d}，
共计15种结果，且每个结果是等可能的．
至少有一份总分少于65分的有：{A，B}，{A，a}，{A，b}，{A，c}，{A，d}，{B，a}，{B，b}，{B，c}，{B，d}，共计9种结果，
所以抽取的2份至少有一份总分少于65分的概率
P＝＝.
18．(12分)将4名大学生随机安排到A，B，C，D四个公司实习．
(1)求4名大学生恰好在四个不同公司的概率；
(2)随机变量X表示分到B公司的学生的人数，求X的分布列和均值E(X)．
解 (1)将4人安排到四个公司中，共有44＝256(种)不同排法．
记“4个人恰好在四个不同的公司”为事件A，
事件A共包含A＝24(个)基本事件，
所以P(A)＝＝，
所以4名大学生恰好在四个不同公司的概率为.
(2)方法一 X的可能取值为0,1,2,3,4，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
所以X的均值E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.
方法二 每个同学分到B公司的概率为
P(B)＝，P()＝1－＝.
根据题意X～B，
所以P(X＝k)＝Ck4－k，k＝0,1,2,3,4，
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
所以X的均值E(X)＝4×＝1.
19．(12分)某市有A，B，C，D四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A的概率为，游览B，C和D的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立．
(1)求该游客至多游览一个景点的概率；
(2)用随机变量X表示该游客游览的景点的个数，求X的分布列和均值E(X)．
解 (1)记“该游客游览i个景点”为事件Ai，i＝0,1，
则P(A0)＝＝，
P(A1)＝3＋C··2
＝.
所以该游客至多游览一个景点的概率为
P(A0)＋P(A1)＝＋＝.
(2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4，
P(X＝0)＝P(A0)＝，
P(X＝1)＝P(A1)＝，
P(X＝2)＝×C××2＋×C×2×＝，
P(X＝3)＝×C×2×＋×C×3＝，
P(X＝4)＝×3＝，
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
故E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
20．(12分)(2019·汉中质检)在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分优秀、合格、尚待改进三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：
表一：男生
男生
等级
优秀
合格
尚待改进
频数
15
x
5
表二：女生
女生
等级
优秀
合格
尚待改进
频数
15
3
y
(1)求x，y的值；
(2)从表一、表二中所有尚待改进的学生中随机抽取3人进行交谈，记其中抽取的女生人数为X，求随机变量X的分布列及均值；
(3)由表中统计数据填写下列2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.
男生
女生
总计
优秀
非优秀
总计
45
参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
参考数据：
P(K2≥k0)
0.01
0.05
0.01
k0
2.706
3.841
6.635
解 (1)设从高一年级男生中抽取m人，
则＝，
解得m＝25，则从女生中抽取20人，
所以x＝25－15－5＝5，y＝20－15－3＝2.
(2)表一、表二中所有尚待改进的学生共7人，其中女生有2人，则X的所有可能的取值为0,1,2.
P(X＝0)＝＝＝，
P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝2)＝＝＝.
则随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
所以X的均值E(X)＝×0＋×1＋×2＝.
(3)2×2列联表如下：
男生
女生
总计
优秀
15
15
30
非优秀
10
5
15
总计
25
20
45
K2＝＝＝＝1.125<2.706，
因为1－0.9＝0.1，P(K2≥2.706)＝0.10，
所以没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．
21．(12分)(2019·长沙长郡中学调研)为了响应全国文明城市建设的号召，某市文明办对本市市民进行了一次文明创建知识的网络问卷调查．每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1 000人的得分(满分：100分)数据，统计结果如下表所示.
组别
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
频数
25
150
200
250
225
100
50
(1)由频数分布表可以认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布N(μ，210)，μ近似为这1 000人得分的平均值(同一组数据用该组区间的中点值作为代表)，请利用正态分布的知识求P(36＜Z≤79.5)；
(2)在(1)的条件下，文明办为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
(i)得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费；
(ii)每次赠送的随机话费及对应的概率为
赠送的随机话费(单位：元)
20
40
概率
现市民小王要参加此次问卷调查，记X(单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列及均值．
附：≈14.5，若X～N(μ，σ2)，则
①P(μ－σ
μ＝35×0.025＋45×0.15＋55×0.2＋65×0.25＋75×0.225＋85×0.1＋95×0.05＝65，
又36≈65－2，79.5≈65＋，
所以P(36＜Z≤79.5)＝×0.954 4＋×0.682 6
＝0.818 5.
(2)根据题意，可以得出所得话费的可能值有20,40,60,80元，
得20元的情况为低于平均值，概率P＝×＝，
得40元的情况为一次机会获40元或2次机会2个20元，概率P＝×＋××＝，
得60元的情况为两次机会，一次40元一次20元，
概率P＝×2××＝，
得80元的情况为两次机会，都是40元，
概率为P＝××＝，
所以X的分布列为
X
20
40
60
80
P
所以均值E(X)＝20×＋40×＋60×＋80×＝.
22．(12分)(2019·佛山禅城区调研)一项研究机构培育一种新型水稻品种，首批培育幼苗2 000株，株长均介于185 mm～235 mm，从中随机抽取100株对株长进行统计分析，得到如下频率分布直方图．
(1)求样本平均株长和样本方差s2(同一组数据用该区间的中点值代替)；
(2)假设幼苗的株长X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2，试估计2 000株幼苗的株长位于区间(201,219)内的株数；
(3)在第(2)问的条件下，选取株长在区间(201,219)内的幼苗进入育种试验阶段，若每株幼苗开花的概率为，开花后结穗的概率为，设最终结穗的幼苗株数为ξ，求ξ的均值．
附：≈9；若X～N(μ，σ2)，
则P(μ－σ
解 (1) ＝190×0.02＋200×0.315＋210×0.35＋220×0.275＋230×0.04＝210，
s2＝202×0.02＋102×0.315＋102×0.275＋202×0.04＝83.
(2)由(1)知， μ＝＝210，σ＝≈9，
∴P(201
∴2 000株幼苗的株长位于区间(201,219)内的株数大约是1 366.
(3)由题意，进入育种试验阶段的幼苗数为1 366，每株幼苗最终结穗的概率P＝×＝，
则ξ～B，
所以E(ξ)＝1 366×＝683.
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