2020版高考数学一轮复习课时作业07《 二次函数与幂函数》(含解析) 练习

课时作业7　二次函数与幂函数

一、选择题

1.幂函数y＝f(x)经过点(3，)，则f(x)是(　D　)

A.偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数

B.偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数

C.奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数

D.非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数

解析：设幂函数的解析式为y＝xα，将(3，)代入解析式得3α＝，解得α＝，∴y＝x，其是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是

增函数.

2.函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时，f(x)是增函数，当x∈(－∞，－2]时，f(x)是减函数，则f(1)的值为(　B　)

A.－3   B.13

C.7   D.5

解析：函数f(x)＝2x2－mx＋3图象的对称轴为x＝，

由函数f(x)的增减区间可知＝－2，

所以m＝－8，即f(x)＝2x2＋8x＋3，

所以f(1)＝2＋8＋3＝13.

3.(2019·宁夏银川一中模拟)已知点(m,8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，设a＝f，b＝f(lnπ)，c＝f，则a，b，c的大小关系为(　A　)

A.a<c<b   B.a<b<c

C.b<c<a   D.b<a<c

解析：∵点(m,8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，∴解得

∴f(x)＝x3，且f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，

又<<1<lnπ，

∴a<c<b，故选A.

4.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：

①b2>4ac；

②2a－b＝1；

③a－b＋c＝0；

④5a<b.

其中正确的是(　B　)

A.②④   B.①④

C.②③   D.①③

解析：因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确.

对称轴为x＝－1，即－＝－1,2a－b＝0，②错误.

结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误.

由对称轴为x＝－1知，b＝2a.

又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a<b，④正确.

5.(2019·陕西西安联考)已知函数f(x)＝－x2＋4x，x∈[m,5]的值域是[－5,4]，则实数m的取值范围是(　C　)

A.(－∞，－1)   B.(－1,2]

C.[－1,2]   D.[2,5]

解析：∵f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，∴当x＝2时，f(2)＝4，由f(x)＝－x2＋4x＝－5，解得x＝5或x＝－1，∴要使函数在[m,5]的值域是[－5,4]，则－1≤m≤2，故选C.

6.函数f(x)＝(x－2)(ax＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f(2－x)>0的解集为(　D　)

A.{x|－2<x<2}

B.{x|x>2，或x<－2}

C.{x|0<x<4}

D.{x|x>4，或x<0}

解析：函数f(x)＝ax2＋(b－2a)x－2b为偶函数，则b－2a＝0，故f(x)＝ax2－4a＝a(x－2)(x＋2)，因为在(0，＋∞)单调递增，所以a>0.根据二次函数的性质可知，不等式f(2－x)>0的解集为{x|2－x>2，或2－x<－2}＝{x|x<0，或x>4}，故选D.

7.(2019·河南南阳模拟)设函数f(x)＝mx2－mx－1，若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋4恒成立，则实数m的取值范围为(　D　)

A.(－∞，0]   B.

C.(－∞，0)∪   D.

解析：由题意，f(x)<－m＋4对于x∈[1,3]恒成立即m(x2－x＋1)<5对于x∈[1,3]恒成立.∵当x∈[1,3]时，x2－x＋1∈[1,7]，∴不等式f(x)<－m＋4等价于m<.∵当x＝3时，取最小值，∴若要不等式m<对于x∈[1,3]恒成立，则必须满足m<，因此，实数m的取值范围为，故选D.

二、填空题

8.已知函数f(x)＝x2－m是定义在区间[－3－m，m2－m]上的奇函数，则f(m)＝－1.

解析：由题意得m2－m＝3＋m，

即m2－2m－3＝0，∴m＝3或m＝－1.

当m＝3时，f(x)＝x－1，[－3－m，m2－m]为[－6,6]，f(x)在x＝0处无意义，故舍去.

当m＝－1时，f(x)＝x3，[－3－m，m2－m]为[－2,2]，满足题意，∴f(m)＝f(－1)＝(－1)3＝－1.

9.已知二次函数y＝x2＋2kx＋3－2k，则顶点位置最高时函数的解析式为y＝x2－2x＋5.

解析：由题意可知y＝x2＋2kx＋3－2k＝(x＋k)2－k2－2k＋3，所以该函数的顶点坐标为(－k，－k2－2k＋3).

设顶点的纵坐标为y＝－k2－2k＋3＝－(k＋1)2＋4，所以当k＝－1时，顶点位置最高，此时函数的解析式为y＝x2－2x＋5.

10.(2019·福建莆田一中模拟)已知函数f(x)＝x2＋bx＋1满足f(－x)＝f(x＋1)，若存在实数t，使得对任意实数x∈[1，m]，都有f(x＋t)≤x成立，则实数m的最大值为3.

解析：函数f(x)＝x2＋bx＋1满足f(－x)＝f(x＋1)，则f(x)图象的对称轴为x＝，则－＝，解得b＝－1，∴f(x)＝x2－x＋1，由f(x＋t)≤x得(x＋t)2－(x＋t)＋1≤x，即(x＋t－1)2≤－t(t≤0)，∴1－t－≤x≤1－t＋，由题意可得1－t－≤1，解得－1≤t≤0，令y＝1－t＋＝2＋，可得1≤y≤3，∴m≤3，可得m的最大值为3.

三、解答题

11.已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5].

(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；

(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数.

解：(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]，所以当x＝1时，f(x)取得最小值1；

当x＝－5时，f(x)取得最大值37.

(2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的图象的对称轴为直线x＝－a，

因为y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数，

所以－a≤－5或－a≥5，即a≤－5或a≥5.

故实数a的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞).

12.(2019·宁夏育才中学月考)已知函数f(x)＝x2－4x＋a＋3，a∈R.

(1)若函数f(x)在(－∞，＋∞)上至少有一个零点，求实数a的取值范围；

(2)若函数f(x)在[a，a＋1]上的最大值为3，求a的值.

解：(1)由Δ＝16－4(a＋3)≥0，得a≤1.

故实数a的取值范围是(－∞，1].

(2)f(x)＝(x－2)2＋a－1.

当a＋1<2，即a<1时，f(x)max＝f(a)＝a2－3a＋3＝3，解得a＝0，a＝3(舍去)；

当a＋1≥2，≤2，即1≤a≤时，f(x)max＝f(a)＝3，解得a＝0或3(均舍)；当a≤2，>2，即<a≤2时，f(x)max＝f(a＋1)＝a2－a＝3，解得a＝(均舍).当a>2时，f(x)max＝f(a＋1)＝a2－a＝3，解得a＝，a＝(舍去).

综上，a＝0或a＝.

13.(2019·河南南阳模拟)已知函数f(x)＝(m2－m－1)·

x是幂函数，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，若a，b∈R，且a＋b>0，ab<0，则f(a)＋f(b)的值(　A　)

A.恒大于0   B.恒小于0

C.等于0   D.无法判断

解析：根据题意，得f(x)＝(m2－m－1)x是幂函数，∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1；又f(x)在第一象限是增函数，且当m＝2时，指数为4×29－25－1＝2 015>0，满足题意；当m＝－1时，指数为4×(－1)9－(－1)5－1＝－4<0，不满足题意；∴幂函数f(x)＝x2 015是定义域R上的奇函数，且是增函数；又∵a，b∈R，且a＋b>0，∴a>－b，又ab<0，不妨设b<0，即a>－b>0，∴f(a)>f(－b)>0，f(－b)＝－f(b)，∴f(a)>－f(b)，∴f(a)＋f(b)>0，故选A.

14.设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导函数为f′(x)，若对任意x∈R，不等式f(x)≥f′(x)恒成立，求的最大值.

解：∵f(x)＝ax2＋bx＋c，

∴f′(x)＝2ax＋b，

∵对任意x∈R，不等式f(x)≥f′(x)恒成立，

∴ax2＋bx＋c≥2ax＋b，化简可得ax2＋(b－2a)x＋c－b≥0，

∴Δ＝(b－2a)2－4a(c－b)＝b2＋4a2－4ac≤0且a>0，即b2≤4ac－4a2，

∴4ac－4a2≥0，∴c≥a>0，

∴－1≥0.

∴≤

＝＝.

令t＝－1，则t≥0，∴当t>0时，＝≤＝－2，当且仅当t＝时取等号.

当t＝0时，≤0，综上，当t＝时，max＝－2.

15.(2018·天津卷)已知a>0，函数f(x)＝

若关于x的方程f(x)＝ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是(4,8).

解析：解法1：当x≤0时，由x2＋2ax＋a＝ax，得a＝－x2－ax；当x>0时，由－x2＋2ax－2a＝ax，得2a＝－x2＋ax.令g(x)＝

作出直线y＝a，y＝2a，函数g(x)的图象如图所示，

g(x)的最大值为－＋＝，由图象可知，若f(x)＝ax恰有2个互异的实数解，

则a<<2a，得4<a<8.

解法2：由f(x)＝ax，可得

当x≤0时，x2＋2ax＋a＝ax，即x2＋ax＋a＝0，可得a＝－.

由a>0，可得x<－1.

可设函数g(x)＝－，其中x∈(－∞，－1).

当x>0时，－x2＋2ax－2a＝ax，

即x2－ax＋2a＝0，可得a＝.

由a>0，可得x>2.

可设函数h(x)＝，其中x∈(2，＋∞).

对g(x)求异，可得g′(x)＝－.

令g′(x)<0，可得x<－2；

令g′(x)>0，可得－2<x<－1，则g(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，－1)上单调递增.

同理可得h(x)在(2,4)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增.

画出g(x)和h(x)的大致图象如图所示.

由图可知，满足题意的a的取值范围是(4,8).