2020版高考数学一轮复习课时作业13《 变化率与导数、导数的计算》(含解析) 练习

课时作业13　变化率与导数、导数的计算　　

一、选择题

1.(2019·泰安一模)给出下列结论：

①若y＝log2x，则y′＝；②若y＝－，则y′＝；

③若f(x)＝，则f′(3)＝－；④若y＝ax(a>0)，则y′＝axlna.其中正确的个数是(　D　)

A.1   B.2

C.3   D.4

2.已知函数f(x)＝(e是自然对数的底数)，则其导函数f′(x)＝(　B　)

A.   B.

C.1＋x   D.1－x

解析：函数f(x)＝，则其导函数f′(x)＝＝，故选B.

3.若函数f(x)＝x3－x＋3的图象在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则点P的坐标为(　C　)

A.(1,3)   B.(－1,3)

C.(1,3)或(－1,3)   D.(1，－3)

解析：f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，即3x2－1＝2⇒x＝1或－1，又f(1)＝3，f(－1)＝3，所以P(1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x－1上，故点P的坐标为(1,3)或(－1,3).

4.(2019·合肥市质量检测)已知直线2x－y＋1＝0与曲线y＝aex＋x相切(其中e为自然对数的底数)，则实数a的值是(　B　)

A.   B.1

C.2   D.e

解析：由题意知y′＝aex＋1＝2，则a>0，x＝－lna，代入曲线方程得y＝1－lna，所以切线方程为y－(1－lna)＝2(x＋lna)，即y＝2x＋lna＋1＝2x＋1⇒a＝1.

5.曲线y＝2lnx上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为(　A　)

A.   B.2

C.3   D.2

解析：设与直线2x－y＋3＝0平行且与曲线y＝2lnx相切的直线方程为2x－y＋m＝0.设切点为P(x0，y0)，∵y′＝，∴斜率k＝＝2，解得x0＝1，因此y0＝2ln1＝0，∴切点为P(1,0)，则点P到直线2x－y＋3＝0的距离d＝＝，∴曲线y＝2lnx上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是.

6.(2019·福州质检)过点(－1,1)与曲线f(x)＝x3－x2－2x＋1相切的直线有(　C　)

A.0条   B.1条

C.2条   D.3条

解析：设切点P(a，a3－a2－2a＋1)，由f′(x)＝3x2－2x－2，当a≠－1时，可得切线的斜率k＝3a2－2a－2＝，所以(3a2－2a－2)(a＋1)＝a3－a2－2a，即(3a2－2a－2)(a＋1)＝a(a－2)(a＋1)，所以a＝1，此时k＝－1.又(－1,1)是曲线上的点且f′(－1)＝3≠－1，故切线有2条.

7.已知函数f(x)＝ex－mx＋1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y＝ex垂直的切线，则实数m的取值范围是(　B　)

A.   B.

C.   D.(e，＋∞)

解析：由题意知，方程f′(x)＝－有解，即ex－m＝－有解，即ex＝m－有解，故只要m－>0，即m>即可，故选B.

8.给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，f″(x)是函数f′(x)的导函数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”.已知函数f(x)＝3x＋4sinx－cosx的拐点是M(x0，f(x0))，则点M(　B　)

A.在直线y＝－3x上   B.在直线y＝3x上

C.在直线y＝－4x上   D.在直线y＝4x上

解析：f′(x)＝3＋4cosx＋sinx，f″(x)＝－4sinx＋cosx，结合题意知4sinx0－cosx0＝0，所以f(x0)＝3x0，故M(x0，f(x0))在直线y＝3x上.故选B.

二、填空题

9.(2018·全国卷Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a＝－3.

解析：y′＝(ax＋1＋a)ex，由曲线在点(0,1)处的切线的斜率为－2，得y′|x＝0＝(ax＋1＋a)ex|x＝0＝1＋a＝－2，所以a＝－3.

10.已知函数f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝(2x－1)lnx，则曲线y＝f(x)在点(－1，f(－1))处切线的斜率为－1.

解析：当x>0时，f′(x)＝2lnx＋，则f′(1)＝1，

∵函数f(x)是偶函数，∴f′(－1)＝－1.

11.若函数y＝2x3＋1与y＝3x2－b的图象在一个公共点处的切线相同，则实数b＝0或－1.

解析：设公共切点的横坐标为x0，函数y＝2x3＋1的导函数为y′＝6x2，y＝3x2－b的导函数为y′＝6x.由图象在一个公共点处的切线相同，可得6x＝6x0且1＋2x＝3x－b，解得x0＝0，b＝－1或x0＝1，b＝0.故实数b＝0或－1.

三、解答题

12.已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.

(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程.

(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程.

解：(1)因为f′(x)＝3x2－8x＋5，所以f′(2)＝1，又f(2)＝－2，所以曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.

(2)设曲线与经过点A(2，－2)的切线相切于点P(x0，x－4x＋5x0－4)，因为f′(x0)＝3x－8x0＋5，所以切线方程为y－(－2)＝(3x－8x0＋5)(x－2)，又切线过点P(x0，x－4x＋5x0－4)，所以x－4x＋5x0－2＝(3x－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或1，所以经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.

13.已知函数f(x)＝e2x－2ex＋ax－1，曲线y＝f(x)上存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围为(　B　)

A.(3，＋∞)   B.

C.   D.(0,3)

解析：f(x)＝e2x－2ex＋ax－1的导函数为f′(x)＝2e2x－2ex＋a，由题意可得2e2x－2ex＋a＝3的解有两个，即有2＝，即为ex＝＋或ex＝－，即有7－2a>0且7－2a<1，解得3<a<.

14.已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.

(1)求曲线C上任意一点处的切线斜率的取值范围；

(2)若曲线C存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围.

解：(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，即曲线C上任意一点处的切线斜率的取值范围是[－1，＋∞).

(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k(k≠0)，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知解得－1≤k<0或k≥1，

故由－1≤x2－4x＋3<0或x2－4x＋3≥1，

得x∈(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞).

15.(2019·安徽江南十校联考)若曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝(a>0)存在公共切线，则a的取值范围为(　D　)

A.(0,1)   B.

C.   D.

解析：曲线y＝x2在点(m，m2)的切线斜率为2m，曲线y＝(a>0)在点的切线斜率为en，如果两条曲线存在公共切线，那么2m＝en.又由直线的斜率公式得到2m＝，则有m＝2n－2，则由题意知4n－4＝en有解，即y＝4x－4，y＝ex的图象有交点.若直线y＝4x－4与曲线y＝ex相切，设切点为(s，t)，则es＝4，且t＝4s－4＝es，可得切点为(2,4)，此时＝，故要使满足题意，需≤，则a≥，故a的取值范围是a≥.故选D.

16.(2019·安徽淮南一模)已知函数f(x)＝x2－lnx.

(1)求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)在函数f(x)＝x2－lnx的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间上？若存在，求出这两点的坐标，若不存在，请说明理由.

解：(1)由题意可得f(1)＝1，且f′(x)＝2x－，f′(1)＝2－1＝1，则所求切线方程为y－1＝1×(x－1)，即y＝x.

(2)假设存在两点满足题意，且设切点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1，x2∈，不妨设x1<x2，结合题意和(1)中求得的导函数解析式可得(2x1－)(2x2－)＝－1，又函数f′(x)＝2x－在区间上单调递增，函数的值域为[－1，1]，故－1≤2x1－<2x2－≤1，

据此有

解得x1＝，x2＝1(x1＝－1，x2＝－)舍去，故存在两点，(1,1)满足题意.