2020版高考数学一轮复习课时作业12《 函数模型及应用》(含解析) 练习

课时作业12函数模型及应用

一、选择题

1.下表显示出函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是(　A　)

A.一次函数模型   B.二次函数模型

C.指数函数模型   D.对数函数模型

解析：由表中数据知x，y满足关系y＝13＋2(x－3).故为一次函数模型.

2.某文具店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价20元，羽毛球每个定价5元，该店制定了两种优惠方法：①买一副球拍赠送一个羽毛球；②按总价的92%付款.现某人计划购买4副球拍和30个羽毛球，两种方法中，更省钱的一种是(　D　)

A.不能确定   B.①②同样省钱

C.②省钱   D.①省钱

解析：方法①用款为4×20＋26×5＝80＋130＝210(元)，

方法②用款为(4×20＋30×5)×92%＝211.6(元)，

因为210<211.6，故方法①省钱.

3.一个人以6 m/s的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25 m时，交通灯由红变绿，汽车以1 m/s2的加速度匀加速开走，那么(　D　)

A.人可在7 s内追上汽车

B.人可在10 s内追上汽车

C.人追不上汽车，其间距最少为5 m

D.人追不上汽车，其间距最少为7 m

解析：设汽车经过t秒行驶的路程为s米，则s＝t2，车与人的间距d＝(s＋25)－6t＝t2－6t＋25＝(t－6)2＋7，当t＝6时，d取得最小值为7.

4.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为(　D　)

A.   B.

C.   D.－1

解析：设第一年年初生产总值为1，则这两年的生产总值为(p＋1)(q＋1).设这两年生产总值的年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(p＋1)(q＋1)，解得x＝－1.故选D.

5.李冶(1192—1279)，真定栾城(今河北省石家庄市)人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等.其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算)(　B　)

A.10步，50步   B.20步，60步

C.30步，70步   D.40步，80步

解析：设圆池的半径为r步，则方田的边长为(2r＋40)步，由题意，得(2r＋40)2－3r2＝13.75×240，解得r＝10或r＝－170(舍)，所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步.故选B.

6.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M02，其中M0为t＝0时铯137的含量.已知t＝30时，铯137含量的变化率是－10ln2(太贝克/年)，则M(60)＝(　D　)

A.5太贝克   B.75ln 2太贝克

C.150ln 2太贝克   D.150太贝克

解析：由题意M′(t)＝M02ln2，M′(30)＝M02－1×ln2＝－10ln2，∴M0＝600，∴M(60)＝600×2－2＝150.故选D.

二、填空题

7.某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是108元.

解析：设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.

8.某人根据经验绘制了2017年春节前后，从1月21日至2月8日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象，如图所示，则此人在1月26日大约卖出了西红柿千克.

解析：前10天满足一次函数关系，设为y＝kx＋b，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得解得k＝，b＝，所以y＝x＋，则当x＝6时，y＝.

9.已知某驾驶员喝了m升酒后，血液中酒精的含量f(x)(毫克/毫升)随时间x(小时)变化的规律近似满足表达式f(x)＝

《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量应不超过0.02毫克/毫升.则此驾驶员至少要过4小时后才能开车.(精确到1小时)

解析：驾驶员醉酒1小时血液中酒精含量为5－1＝0.2，要使酒精含量≤0.02毫克/毫升，则x≤0.02，∴x≥log330＝1＋log310>1＋log39＝3，故至少要4个小时后才能开车.

三、解答题

10.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨.

(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；

(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

解：(1)每吨平均成本为(万元).

则＝＋－48≥2－48＝32，当且仅当＝，即x＝200时取等号.

所以年产量为200吨时，每吨产品的平均成本最低，为32万元.

(2)设年获得总利润为R(x)万元，

则R(x)＝40x－y＝40x－＋48x－8 000

＝－＋88x－8 000

＝－(x－220)2＋1 680(0≤x≤210).

因为R(x)在[0,210]上是增函数，所以x＝210时，R(x)有最大值，为－(210－220)2＋1 680＝1 660.

所以年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元.

11.某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了“阶梯水价”计费方法，具体方法：每户每月用水量不超过4吨的每吨2元；超过4吨而不超过6吨的，超过4吨的部分每吨4元；超过6吨的，超出6吨的部分每吨6元.

(1)写出每户每月用水量x(吨)与支付费用y(元)的函数关系；

(2)该地一家庭记录了去年12个月的月用水量(x∈N*)如下表：

请你计算该家庭去年支付水费的月平均费用(精确到1元)；

(3)今年干旱形势仍然严峻，该地政府号召市民节约用水，如果每个月水费不超过12元的家庭称为“节约用水家庭”，随机抽取了该地100户的月用水量作出如下统计表：

据此估计该地“节约用水家庭”的比例.

解：(1)y关于x的函数关系式为y＝

(2)由(1)知：当x＝3时，y＝6；

当x＝4时，y＝8；当x＝5时，y＝12；

当x＝6时，y＝16；当x＝7时，y＝22.

所以该家庭去年支付水费的月平均费用为

×(6×1＋8×3＋12×3＋16×3＋22×2)≈13(元).

(3)由(1)和题意知：当y≤12时，x≤5，所以“节约用水家庭”的频率为＝77%，据此估计该地“节约用水家庭”的比例为77%.

12.(2017·北京卷)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i＝1,2,3.

①记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是Q1；

②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是p2.

解析：①设线段AiBi的中点为Ci(xi，yi)，则Qi＝2yi(i＝1,2,3).因此只需比较C1，C2，C3三个点纵坐标的大小即可.不难发现y1最大，所以Q1最大.②由题意，知pi＝(i＝1,2,3).故只需比较三条直线OC1，OC2，OC3的斜率即可，发现p2最大.

13.牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同.假定保鲜时间y(单位：h)与储藏温度x(单位：℃)间的关系为指数型函数y＝k·ax(k≠0).若牛奶在0 ℃的冰箱中，保鲜时间约是192 h，而在22 ℃的厨房中，保鲜时间约是42 h.

(1)写出保鲜时间y关于储藏温度x的函数解析式.

(2)如果把牛奶分别储藏在10 ℃和5 ℃的两台冰箱中，哪一台冰箱储藏牛奶保鲜时间较长？为什么？(参考数据：≈0.93)

解：(1)保鲜时间y与储藏温度x间的关系符合指数型函数y＝k·ax(k≠0)，

则解得

故所求函数解析式为y＝192×0.93x.

(2)设f(x)＝192×0.93x，因为f(x)是减函数，且10>5，所以f(10)<f(5)，

所以把牛奶储藏在5 ℃的冰箱中，牛奶保鲜时间较长.

14.我们定义函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)为“下整函数”；定义y＝{x}({x}表示不小于x的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4，[5]＝5；{4.3}＝5，{5}＝5.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过一小时，不超过2小时(包括2小时)收费4元，以此类推.若李刚停车时间为x小时，则李刚应付费为(单位：元)(　C　)

A.2[x＋1]   B.2([x]＋1)

C.2{x}   D.{2x}

解析：如x＝1时，应付费2元，此时2[x＋1]＝4,2([x]＋1)＝4，排除A、B；当x＝0.5时，付费为2元，此时{2x}＝1，排除D，故选C.

15.某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：

根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系.

Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.

利用你选取的函数，求得：

(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是120；

(2)最低种植成本是80(元/100 kg).

解析：根据表中数据可知函数不单调，所以Q＝at2＋bt＋c，且开口向上，对称轴t＝－＝＝120，

代入数据解得

所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120，最低种植成本是14 400a＋120b＋c＝14 400×0.01＋120×(－2.4)＋224＝80.