2020版高考数学一轮复习课时作业25《 解三角形的应用》(含解析) 练习

课时作业25　解三角形的应用

第一次作业　基础巩固练

一、选择题

1.如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　D　)

A.北偏东10°  B.北偏西10°

C.南偏东80°  D.南偏西80°

解析：由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.

2.一名学生在河岸上紧靠河边笔直行走，某时刻测得河对岸靠近河边处的参照物与学生前进方向成30°角，前进200 m后，测得该参照物与前进方向成75°角，则河的宽度为(　A　)

A.50(＋1) m   B.100(＋1) m

C.50 m   D.100 m

解析：如图所示，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，AB＝200 m，由正弦定理，得BC＝＝100(m)，所以河的宽度为BCsin75°＝100×＝50(＋1)(m).

3.为测出所住小区的面积，某人进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积是(　D　)

A. km2

B. km2

C. km2

D. km2

解析：连接AC，根据余弦定理可得AC＝ km，故△ABC为直角三角形.且∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，故△ADC为等腰三角形，设AD＝DC＝x km，根据余弦定理得x2＋x2＋x2＝3，即x2＝＝3×(2－)，所以所求的面积为×1×＋×3×(2－)×＝＝(km2).

4.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝bcosC＋csinB，且△ABC的面积为1＋，则b的最小值为(　A　)

A.2  B.3

C.  D.

解析：由a＝bcosC＋csinB及正弦定理，得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB，即sin(B＋C)＝sinBcosC＋sinCsinB，得sinCcosB＝sinCsinB，又sinC≠0，所以tanB＝1.因为B∈(0，π)，所以B＝.由S△ABC＝acsinB＝1＋，得ac＝2＋4.又b2＝a2＋c2－2accosB≥2ac－ac＝(2－)(4＋2)＝4，当且仅当a＝c时等号成立，所以b≥2，b的最小值为2.故选A.

5.(2019·郑州质量预测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB＝2a＋b，若△ABC的面积S＝c，则ab的最小值为(　C　)

A.28  B.36

C.48  D.56

解析：在△ABC中，2ccosB＝2a＋b，由正弦定理，得2sinCcosB＝2sinA＋sinB.又A＝π－(B＋C)，所以sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)，所以2sinCcosB＝2sin(B＋C)＋sinB＝2sinBcosC＋2cosBsinC＋sinB，得2sinBcosC＋sinB＝0，因为sinB≠0，所以cosC＝－，又0<C<π，所以C＝.由S＝c＝absinC＝ab×，得c＝.由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2＋ab≥2ab＋ab＝3ab(当且仅当a＝b时取等号)，所以()2≥3ab，得ab≥48，所以ab的最小值为48，故选C.

6. (2019·山东日照二模)如图所示，在平面四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，△ACD为正三角形，则△BCD面积的最大值为(　D　)

A.2＋2

B.

C.＋2

D.＋1

解析：在△ABC中，设∠ABC＝α，∠ACB＝β，由余弦定理得：AC2＝12＋22－2×1×2cosα，∵△ACD为正三角形，∴CD2＝AC2＝5－4cosα，S△BCD＝·2·CD·sin＝CD·sin＝CD·cosβ＋CD·sinβ，在△ABC中，由正弦定理得：＝，∴AC·sinβ＝sinα，∴CD·sinβ＝sinα，∴(CD·cosβ)2＝CD2(1－sin2β)＝CD2－sin2α＝5－4cosα－sin2α＝(2－cosα)2，∵β<∠BAC，∴β为锐角，CD·cosβ＝2－cosα，∴S△BCD＝CD·cosβ＋CD·sinβ＝·(2－cosα)＋sinα＝＋sin，当α＝时，(S△BCD)max＝＋1.

二、填空题

7.如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于15.

解析：在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.

由正弦定理得＝，

所以BC＝15.

在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15.

8.如图所示，在△ABC中，C＝，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂足，若DE＝2，则cosA＝.

解析：∵AD＝DB，∴∠A＝∠ABD，∠BDC＝2∠A.设AD＝BD＝x，∴在△BCD中，＝，可得＝.①

在△AED中，＝，可得＝.②

∴联立①②可得＝，解得cosA＝.

9.在△ABC中，已知BC＝2，·＝2，则△ABC面积的最大值是.

解析：由＝－，得2＝(－)2，设||＝c，||＝b，则b2＋c2＝8，又因为·＝bc·cosA＝2，所以cosA＝，所以sin2A＝1－，设△ABC的面积为S，则S2＝(bc)2sin2A＝(b2c2－4)，因为bc≤＝4，所以S2≤3，所以S≤.所以△ABC面积的最大值是.

10.(2019·武汉市调研测试)在钝角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，b＝3，则c的取值范围是(1，)∪(5,7).

解析：三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此可得1<c<7，①

若∠C为钝角，则cosC＝＝<0，解得c>5，②

若∠A为钝角，则cosA＝＝<0，解得0<c<，③

结合①②③可得c的取值范围是(1，)∪(5,7).

三、解答题

11.(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.

(1)求cos∠ADB；

(2)若DC＝2，求BC.

解：(1)在△ABD中，由正弦定理得＝.

由题设知，＝，

所以sin∠ADB＝.由题设知，∠ADB<90°，

所以cos∠ADB＝＝.

(2)由题设及(1)知，

cos∠BDC＝sin∠ADB＝.

在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×2×＝25.

所以BC＝5.

12.(2019·潮州二模)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝sinC.

(1)求C的值；

(2)若＝2，求△ABC的面积S的最大值.

解：(1)∵＝sinC，

由正弦定理可得sinAcosB＋sinBcosA＝sin2C，

∴sin(A＋B)＝sin2C，∴sinC＝sin2C.

∵sinC>0，∴sinC＝，∵C为锐角，∴C＝60°.

(2)由C＝60°及＝＝2，

可得c＝.

由余弦定理得3＝b2＋a2－ab≥ab(当且仅当a＝b时取等号)，

∴S＝absinC≤×3×＝，

∴△ABC的面积S的最大值为.

第二次作业　高考·模拟解答题体验

1.(2018·北京卷)在△ABC中，a＝7，b＝8，cosB＝－.

(1)求∠A；

(2)求AC边上的高.

解：(1)在△ABC中，因为cosB＝－，

所以sinB＝＝.

由正弦定理得sinA＝＝.

由题设知<∠B<π，所以0<∠A<.所以∠A＝.

(2)在△ABC中，因为sinC＝sin(A＋B)

＝sinAcosB＋cosAsinB＝，

所以AC边上的高为asinC＝7×＝.

2.(2019·益阳·湘潭调研考试)已知锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝.

(1)求角C的大小；

(2)求函数y＝sinA＋sinB的值域.

解：(1)由＝，利用正弦定理可得2sinAcosC－sinBcosC＝sinCcosB，

可化为2sinAcosC＝sin(C＋B)＝sinA，

∵sinA≠0，∴cosC＝，∵C∈(0，)，∴C＝.

(2)y＝sinA＋sinB＝sinA＋sin(π－－A)＝sinA＋cosA＋sinA＝sin(A＋)，

∵A＋B＝，0<A<，0<B<，

∴<A<，∴<A＋<，

∴sin(A＋)∈(，1]，∴y∈(，].

3.已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cos2B－cos2C－sin2A＝－sinAsinB，sin(A－B)＝cos(A＋B).

(1)求角A，B，C；

(2)若a＝，求三角形ABC的边长b的值及三角形ABC的面积.

解：(1)∵cos2B－cos2C－sin2A＝－sinAsinB，

∴sin2C＋sinAsinB＝sin2A＋sin2B，

∴由正弦定理得c2＋ab＝a2＋b2，

∴cosC＝＝＝，

∵0<C<π，∴C＝.

∵sin(A－B)＝cos(A＋B)，

∴sinAcosB－cosAsinB＝cosAcosB－sinAsinB，

∴sinA(sinB＋cosB)＝cosA(sinB＋cosB)，∴sinA＝cosA，

∴由A为锐角，可得A＝，B＝π－A－C＝.

(2)∵a＝，A＝，B＝，

∴由正弦定理可得b＝＝，

∴三角形ABC的面积S＝absinC＝×××＝.

4.(2019·武汉市调研测试)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足cos2A－cos2B＋2cos(－B)cos(＋B)＝0.

(1)求角A的值；

(2)若b＝且b≤a，求a的取值范围.

解：(1)由cos2A－cos2B＋2cos(－B)cos(＋B)＝0，

得2sin2B－2sin2A＋2(cos2B－sin2B)＝0，化简得sinA＝，又△ABC为锐角三角形，故A＝.

(2)∵b＝≤a，∴c≥a，

∴≤C<，<B≤，∴<sinB≤.

由正弦定理＝，得＝，∴a＝，

由sinB∈(，]得a∈[，3).

5.如图所示，在△ABC中，C＝，·＝48，点D在BC边上，且AD＝5，cos∠ADB＝.

(1)求AC，CD的长；

(2)求cos∠BAD的值.

解：(1)在△ABD中，∵cos∠ADB＝，∴sin∠ADB＝.

∴sin∠CAD＝sin(∠ADB－∠ACD)

＝sin∠ADBcos－cos∠ADBsin

＝×－×＝.

在△ADC中，由正弦定理得＝＝，即＝＝，解得AC＝8，CD＝.

(2)∵·＝48，∴8·CB·＝48，

解得CB＝6，∴BD＝CB－CD＝5.

在△ABC中，

AB＝＝2.

在△ABD中，

cos∠BAD＝＝.

6.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＋c2－a2＝bc.

(1)求角A的大小；

(2)若a＝，求BC边上的中线AM的最大值.

解：(1)∵b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝＝.

又0<A<π，∴A＝.

(2)在△ABC中，A＝，a＝，

由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA得b2＋c2＝bc＋3.

则b2＋c2＝bc＋3≥2bc，得bc≤3(当且仅当b＝c时取等号).在△ABC中，

由余弦定理，得cosB＝.

在△ABM中，由余弦定理，得

AM2＝AB2＋BM2－2·AB·BM·cosB

＝c2＋－2·c·a·

＝＝≤，

∴AM≤.∴AM的最大值是.