2020版高考数学一轮复习课时作业27《 平面向量基本定理及坐标表示》(含解析) 练习

课时作业27　平面向量基本定理及坐标表示

一、选择题

1.下列各组向量中，可以作为基底的是(　B　)

A.e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)

B.e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)

C.e1＝(3,5)，e2＝(6,10)

D.e1＝(2，－3)，e2＝

解析：两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B.

2.已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝(　A　)

A.(－23，－12)   B.(23,12)

C.(7,0)   D.(－7,0)

解析：3a－2b＋c＝(23＋x,12＋y)＝0，

故x＝－23，y＝－12，故选A.

3.在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　D　)

A.1   B.

C.   D.

解析：∵＝＋＝＋，

∴2＝＋，即＝＋.

故λ＋μ＝＋＝.

4.已知点A(－1,5)和向量a＝(2,3)，若＝3a，则点B的坐标为(　D　)

A.(7,4)   B.(7,14)

C.(5,4)   D.(5,14)

解析：设点B的坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－5).由＝3a，得解得即B(5,14).

5.已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的(　A　)

A.充分必要条件   B.充分不必要条件

C.必要不充分条件   D.既不充分也不必要条件

解析：由题意得a＋b＝(2,2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6.当m＝－6时，a∥(a＋b)，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充分必要条件.

6.如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且＝2，则(　A　)

A.x＝，y＝

B.x＝，y＝

C.x＝，y＝

D.x＝，y＝

解析：由题意知＝＋，又因为＝2，所以＝＋＝＋(－)＝＋，所以x＝，y＝.

7.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(a，b)与n＝(cosA，sinB)平行，则A＝(　B　)

A.   B.

C.   D.

解析：因为m∥n，所以asinB－bcosA＝0，由正弦定理，得sinAsinB－sinBcosA＝0，又sinB≠0，从而tanA＝，由于0<A<π，所以A＝.

二、填空题

8.已知O为坐标原点，A(1,1)，C(2,3)且2＝，则的坐标是(4,7).

解析：由2＝，得2(－)＝－，得＝3－2＝3(2,3)－2(1,1)＝(4,7).

9.设0<θ<，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，若a∥b，则tanθ＝.

解析：∵a∥b，∴sin2θ×1－cos2θ＝0，

∴2sinθcosθ－cos2θ＝0，

∵0<θ<，∴cosθ>0，∴2sinθ＝cosθ，∴tanθ＝.

10.已知向量，和在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ＋μ，则λμ＝－3.

解析：建立如图所示的平面直角坐标系xAy，则＝(2，－2)，＝(1,2)，＝(1,0)，由题意可知(2，－2)＝λ(1,2)＋μ(1,0)，即解得所以λμ＝－3.

11.已知向量a＝(x,2)，b＝(4，y)，c＝(x，y)(x>0，y>0)，若a∥b，则|c|的最小值为4.

解析：a∥b⇒xy＝8，所以|c|＝≥＝4(当且仅当x＝y＝2时取等号).

12.已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(1,2)，b＝(m,3m－2)，且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则实数m的取值范围是(　D　)

A.(－∞，2)   B.(2，＋∞)

C.(－∞，＋∞)   D.(－∞，2)∪(2，＋∞)

解析：由题意知向量a，b不共线，故2m≠3m－2，即m≠2.

13.已知G为△ADE的重心，点P为△DEG内一点(含边界)，B，C分别为AD，AE上的三等分点(B，C均靠近点A)，若＝α＋β(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是(　D　)

A.[1,2]   B.

C.   D.

解析：由题意可知，点P位于D，E，G三点时，α＋β取得最值.当点P在点D处时，α＝3，β＝0，则α＋β＝3；当点P在点E处时，α＝0，β＝3，则α＋β＝；当点P在点G处时，α＝1，β＝1，则α＋β＝.故选D.

14.在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD＝DC＝1，AB＝2，E，F分别为AB，BC的中点，以A为圆心，AD为半径的圆弧DE的中点为P(如图所示)，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值是.

解析：建立如图所示直角坐标系xAy，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)，E(1,0)，F，所以＝(－1,1)，＝，，则＝λ＋μ＝－λ＋μ，λ＋μ，又因为以A为圆心，AD为半径的圆弧DE的中点为P，所以点P的坐标为P，＝，所以－λ＋μ＝，λ＋μ＝，所以λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝.

15.已知向量，满足||＝||＝1，⊥，＝λ＋μ(λ，μ∈R).若M为AB的中点，并且||＝1，则λ＋μ的最大值是(　B　)

A.1－   B.1＋

C.   D.1＋

解析：因为向量，满足||＝||＝1，⊥，所以可以分别以，所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，则A(1,0)，B(0,1).又因为M为AB的中点，所以M，.因为＝λ＋μ(λ，μ∈R)，所以＝λ＋μ＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，即点C(λ，μ).所以＝.因为||＝1，所以2＋2＝1，即点C(λ，μ)在以为圆心，1为半径的圆上.令t＝λ＋μ，则直线λ＋μ－t＝0与此圆有公共点，所以d＝≤1，解得－＋1≤t≤＋1，即λ＋μ的最大值是1＋.故选B.

16.如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近点A的四等分点，若＝＋，则m＝.

解析：由已知，得＝，＝－＝4－，因为＝＋，

所以＝＋(4－)＝m＋.

因为B，P，N三点共线，

所以m＋＝1，m＝.