2020版高考数学一轮复习课时作业36《 一元二次不等式及其解法》(含解析) 练习

课时作业36　一元二次不等式及其解法

一、选择题

1.设集合A＝{x|x2＋x－6≤0}，集合B为函数y＝的定义域，则A∩B等于(　D　)

A.(1,2)   B.[1,2]

C.[1,2)   D.(1,2]

解析：A＝{x|x2＋x－6≤0}＝{x|－3≤x≤2}，由x－1>0得x>1，即B＝{x|x>1}，所以A∩B＝{x|1<x≤2}.

2.不等式≥1的解集为(　B　)

A.

B.

C.(－∞，－2)∪

D.(－∞，－2]∪

解析：≥1⇔－1≥0⇔≥0⇔≥0⇔≤0⇔

⇔－2<x≤－.故选B.

3.使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件是(　C　)

A.x≥0   B.x<0或x>2

C.x∈{－1,3,5}   D.x≤－或x≥3

解析：不等式2x2－5x－3≥0的解集是，由题意，选项中x的范围应该是上述解集的真子集，只有C满足.故选C.

4.关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是(　C　)

A.(－∞，－1)∪(3，＋∞)   B.(1,3)

C.(－1,3)   D.(－∞，1)∪(3，＋∞)

解析：关于x的不等式ax－b<0即ax<b的解集是(1，＋∞)，∴a＝b<0，

∴不等式(ax＋b)(x－3)>0可化为(x＋1)(x－3)<0，解得－1<x<3，

∴所求不等式的解集是(－1，3).

5.已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1,1]时，f(x)>0恒成立，则b的取值范围是(　C　)

A.(－1,0)

B.(2，＋∞)

C.(－∞，－1)∪(2，＋∞)

D.不能确定

解析：由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)的图象关于直线x＝1对称，即＝1，解得a＝2.

又因为f(x)开口向下，

所以当x∈[－1,1]时，f(x)为增函数，

所以f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，f(x)>0恒成立，即b2－b－2>0恒成立，解得b<－1或b>2.

6.(2019·安徽阜阳质检)已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是(　B　)

A.(－∞，－1)   B.(－∞，2－1)

C.(－1,2－1)   D.(－2－1,2－1)

解析：由32x－(k＋1)3x＋2>0恒成立，

得k＋1<3x＋.

∵3x＋≥2，当且仅当3x＝，即x＝log32时，等号成立，∴k＋1<2，即k<2－1，故选B.

二、填空题

7.已知函数f(x)＝则不等式f(x)>3的解集为{x|x>1}.

解析：由题意知或

解得x>1.故原不等式的解集为{x|x>1}.

8.若0<a<1，则不等式(a－x)>0的解集是.

解析：原不等式为(x－a)<0，由0<a<1得a<，∴a<x<.

9.已知关于x的不等式ax2＋2x＋c>0的解集为，则不等式－cx2＋2x－a>0的解集为(－2,3).

解析：依题意知，

∴解得a＝－12，c＝2，∴不等式－cx2＋2x－a>0，

即为－2x2＋2x＋12>0，即x2－x－6<0，

解得－2<x<3.

所以不等式的解集为(－2,3).

10.已知函数f(x)＝为奇函数，则不等式f(x)<4的解集为(－∞，4).

解析：若x>0，则－x<0，则f(－x)＝bx2＋3x.因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即bx2＋3x＝－x2－ax，可得a＝－3，b＝－1，所以f(x)＝

当x≥0时，由x2－3x<4解得0≤x<4；当x<0时，由－x2－3x<4解得x<0，所以不等式f(x)<4的解集为(－∞，4).

三、解答题

11.已知f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0,5).

(1)求f(x)的解析式；

(2)若对于任意的x∈[－1,1]，不等式f(x)＋t≤2恒成立，求t的取值范围.

解：(1)∵f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0,5)，

∴0和5是方程2x2＋bx＋c＝0的两个根，由根与系数的关系知，－＝5，＝0，

∴b＝－10，c＝0，f(x)＝2x2－10x.

(2)f(x)＋t≤2恒成立等价于2x2－10x＋t－2≤0恒成立，

∴2x2－10x＋t－2的最大值小于或等于0.

设g(x)＝2x2－10x＋t－2，

则由二次函数的图象可知g(x)＝2x2－10x＋t－2在区间[－1,1]上为减函数，

∴g(x)max＝g(－1)＝10＋t，

∴10＋t≤0，即t≤－10.

∴t的取值范围为(－∞，－10].

12.已知函数f(x)＝的定义域为R.

(1)求a的取值范围；

(2)若函数f(x)的最小值为，解关于x的不等式x2－x－a2－a<0.

解：(1)∵函数f(x)＝的定义域为R，∴ax2＋2ax＋1≥0恒成立，

当a＝0时，1≥0恒成立.当a≠0时，需满足题意，

则需

解得0<a≤1，

综上可知，a的取值范围是[0,1].

(2)f(x)＝＝，

由题意及(1)可知0<a≤1，

∴当x＝－1时，f(x)min＝，

由题意得，＝，∴a＝，

∴不等式x2－x－a2－a<0可化为x2－x－<0.解得－<x<，

∴不等式的解集为.

13.若不存在整数x满足不等式(kx－k2－4)(x－4)<0，则实数k的取值范围是[1,4].

解析：容易判断k＝0或k<0时，均不符合题意，所以k>0.所以原不等式即为kx－(x－4)<0，等价于(x－4)<0，依题意应有4≤≤5且k>0，所以1≤k≤4.

14.(2019·江西八校联考)已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.

(1)若a＝2，试求函数y＝(x>0)的最小值；

(2)对于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立，试求a的取值范围.

解：(1)依题意得y＝＝＝x＋－4.

因为x>0，所以x＋≥2.

当且仅当x＝时，即x＝1时，等号成立.

所以y≥－2.

所以当x＝1时，y＝的最小值为－2.

(2)因为f(x)－a＝x2－2ax－1，所以要使得“∀x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立”，

只要“x2－2ax－1≤0在[0,2]恒成立”.

不妨设g(x)＝x2－2ax－1，

则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可.

所以即解得a≥.

则a的取值范围为.

15.关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是(　D　)

A.(4,5)   B.(－3，－2)∪(4,5)

C.(4,5]   D.[－3，－2)∪(4,5]

解析：∵关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0，∴不等式可化为(x－1)(x－a)<0.

①当a>1时，得1<x<a，此时解集中的整数为2,3,4，则4<a≤5；

②当a<1时，得a<x<1，

则－3≤a<－2；

③当a＝1时，(x－1)(x－1)<0，无解.

综上可得，a的取值范围是[－3，－2)∪(4,5].故选D.

16.(2019·山东潍坊质检)若关于x的不等式x2＋x－n≥0对任意n∈N*在x∈(－∞，λ]上恒成立，则实数λ的取值范围是(－∞，－1].

解析：原不等式可化为x2＋x≥n，y＝x为减函数，即n≤，故x2＋x≥在区间(－∞，λ]上恒成立，即x2＋x－≥0在区间(－∞，λ]上恒成立，画出二次函数y＝x2＋x－的图象如图所示，由图可知λ≤－1.