2020版高考数学一轮复习课时作业49《 直线的交点与距离公式》(含解析) 练习

课时作业49　直线的交点与距离公式

一、选择题

1.过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0垂直的直线方程是(　C　)

A.x－2y－1＝0  B.x－2y＋1＝0

C.2x＋y－2＝0  D.x＋2y－1＝0

解析：因为直线x－2y－2＝0的斜率为，所以所求直线的斜率k＝－2.所以所求直线的方程为y－0＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0.

2.已知直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，则直线l1与l2的距离为(　B　)

A.   B.

C.4   D.8

解析：因为直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，即3x＋4y＋＝0，所以直线l1与l2的距离为＝.

3.当0<k<时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在(　B　)

A.第一象限  B.第二象限

C.第三象限  D.第四象限

解析：由且0<k<，得两直线的交点坐标为.因为0<k<，所以<0，>0，故两直线的交点在第二象限.

4.已知b>0，直线x－b2y－1＝0与直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0互相垂直，则ab的最小值等于(　B　)

A.1   B.2

C.2   D.2

解析：因为直线x－b2y－1＝0与直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0互相垂直，所以(b2＋1)－b2a＝0，即a＝，所以ab＝b＝＝b＋≥2(当且仅当b＝1时取等号)，即ab的最小值等于2.

5.若点P在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为(　C　)

A.(1,2)   B.(2,1)

C.(1,2)或(2，－1)   D.(2,1)或(－1,2)

解析：设P(x,5－3x)，

则d＝＝，化简得|4x－6|＝2，

即4x－6＝±2，解得x＝1或x＝2，

故P(1,2)或(2，－1).

6.(2019·西安一中检测)若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2过定点(　B　)

A.(0,4)   B.(0,2)

C.(－2,4)   D.(4，－2)

解析：由题知直线l1过定点(4,0)，则由条件可知，直线l2所过定点关于(2,1)对称的点为(4,0)，故可知直线l2所过定点为(0,2)，故选B.

7.已知点P(－2,0)和直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)＝0(λ∈R)，则点P到直线l的距离d的最大值为(　B　)

A.2   B.

C.   D.2

解析：由(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)＝0，得(x＋y－2)＋λ(3x＋2y－5)＝0，此方程是过直线x＋y－2＝0和3x＋2y－5＝0交点的直线系方程.解方程组

可知两直线的交点为Q(1,1)，故直线l恒过定点Q(1,1)，如图所示，可知d＝|PH|≤|PQ|＝，

即d的最大值为.

二、填空题

8.直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1，1)且与y轴交于点P，则P点坐标为(0,3).

解析：因为l1∥l2，且l1的斜率为2，则直线l2的斜率k＝2，又直线l2过点(－1,1)，所以直线l2的方程为y－1＝2(x＋1)，整理得y＝2x＋3，令x＝0，得y＝3，所以P点坐标为(0,3).

9.与直线l1：3x＋2y－6＝0和直线l2：6x＋4y－3＝0等距离的直线方程是12x＋8y－15＝0.

解析：l2：6x＋4y－3＝0化为3x＋2y－＝0，所以l1与l2平行，设与l1，l2等距离的直线l的方程为3x＋2y＋c＝0，则|c＋6|＝，解得c＝－，所以l的方程为12x＋8y－15＝0.

10.已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为6x－y－6＝0.

解析：设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′.

所以

解得a＝1，b＝0.

又反射光线经过点N(2,6)，

∴NM′的斜率为＝6，

∴反射光线所在直线的方程是y＝6x－6.

三、解答题

11.已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值.

(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；

(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等.

解：(1)由已知可得l2的斜率存在，

∴k2＝1－a.若k2＝0，则1－a＝0，a＝1.

∵l1⊥l2，直线l1的斜率k1必不存在，

∴b＝0.

又∵l1过点(－3，－1)，

∴－3a＋4＝0，即a＝(矛盾)，

∴此种情况不存在，∴k2≠0，

即k1，k2都存在.

∵k2＝1－a，k1＝，l1⊥l2，

∴k1k2＝－1，即(1－a)＝－1.　①

又∵l1过点(－3，－1)，

∴－3a＋b＋4＝0.　②

由①②联立，解得a＝2，b＝2.

(2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，

∴直线l1的斜率存在，k1＝k2，

即＝1－a.　③

又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1∥l2，

∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，

即＝b.　④

联立③④，解得或

∴a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.

12.已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2,2).

(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；

(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4.

解：(1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线.

∵方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，

∴解得

故直线经过的定点为M(2，－2).

(2)证明：过P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|，当且仅当Q与M重合时，

|PQ|＝|PM|，

此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.

但直线系方程唯独不能表示直线x－y－4＝0，

∴M与Q不可能重合，而|PM|＝4，

∴|PQ|<4，故所证成立.

13.已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C的坐标为(　C　)

A.(－2,4)   B.(－2，－4)

C.(2,4)   D.(2，－4)

解析：设A(－4,2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则

解得

∴BC所在直线方程为y－1＝(x－3)，

即3x＋y－10＝0.

同理可得点B(3,1)关于直线y＝2x的对称点为(－1,3)，∴AC所在直线方程为y－2＝(x＋4)，

即x－3y＋10＝0.

联立解得

则C(2,4).故选C.

14.设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是5.

解析：易知A(0,0)，B(1,3)且两直线互相垂直，即△APB为直角三角形，

∴|PA|·|PB|≤

＝＝＝5.

当且仅当|PA|＝|PB|时，等号成立.

15.已知直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)，两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0，且|Ax1＋By1＋C|>|Ax2＋By2＋C|，则(　C　)

A.直线l与直线P1P2不相交

B.直线l与线段P2P1的延长线相交

C.直线l与线段P1P2的延长线相交

D.直线l与线段P1P2相交

解析：由题可知，(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0表示两点在直线的同侧.

因为|Ax1＋By1＋C|>|Ax2＋By2＋C|，

所以>，

所以P1到直线的距离大于P2到直线的距离，

所以直线l与线段P1P2的延长线相交，故选C.

16.已知x，y为实数，则代数式＋＋的最小值是.

解析：如图所示，由代数式的结构可构造点P(0，y)，A(1,2)，Q(x,0)，B(3,3)，

则＋＋

＝|PA|＋|BQ|＋|PQ|.

分别作点A关于y轴的对称点A′(－1,2)，

点B关于x轴的对称点B′(3，－3)，

则＋＋

≥|A′B′|＝，

当且仅当P，Q为A′B′与坐标轴的交点时，等号成立，故最小值为.