2020版高考数学一轮复习课时作业52《 椭圆》(含解析) 练习

课时作业52　椭圆

一、选择题

1.设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为(　A　)

A.4    B.3

C.2    D.5

解析：由题意知|OM|＝|PF2|＝3，

∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.

2.(2019·开封模拟)曲线C1：＋＝1与曲线C2：＋＝1(k<9)的(　D　)

A.长轴长相等    B.短轴长相等

C.离心率相等    D.焦距相等

解析：因为c＝25－9＝16，c＝(25－k)－(9－k)＝16，所以c1＝c2，所以两个曲线的焦距相等.

3.已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线＋y2＝1的离心率为(　C　)

A.   B.

C.或   D.或

解析：由题意知m2＝36，解得m＝±6.当m＝6时，该圆锥曲线表示椭圆，此时a＝，b＝1，c＝，则e＝；当m＝－6时，该圆锥曲线表示双曲线，此时a＝1，b＝，c＝，则e＝.故选C.

4.(2019·贵州六盘水模拟)已知点F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，若点P在椭圆C上，且∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝(　A　)

A.4    B.6

C.8    D.12

解析：由|PF1|＋|PF2|＝4，

|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°

＝|F1F2|2，得3|PF1|·|PF2|＝12，

所以|PF1|·|PF2|＝4，故选A.

5.焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为(　C　)

A.   B.

C.   D.

解析：由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得×2c·b＝(2a＋2c)·，得a＝2c，即e＝＝，故选C.

6.正方形ABCD的四个顶点都在椭圆＋＝1(a>b>0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是(　B　)

A.   B.

C.   D.

解析：设正方形的边长为2m，∵椭圆的焦点在正方形的内部，∴m>c.又正方形ABCD的四个顶点都在椭圆＋＝1(a>b>0)上，∴＋＝1>＋＝e2＋，整理得e4－3e2＋1>0，e2<＝，∴0<e<.故选B.

二、填空题

7.(2019·河北保定一模)与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为＋＝1.

解析：设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有|PC1|＝r＋1，|PC2|＝9－r.所以|PC1|＋|PC2|＝10>|C1C2|＝6，即P在以C1(－3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P的轨迹方程为＋＝1.

8.(2019·四川南充模拟)已知椭圆＋＝1(0<b<2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是.

解析：由椭圆的方程可知a＝2，由椭圆的定义可知，|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3.由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则＝3，所以b2＝3，即b＝.

9.(2019·云南昆明质检)椭圆＋＝1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标是(－3,0)或(3,0).

解析：记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，

有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.

则m＝|PF1|·|PF2|≤2＝25，

当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25.所以点P的坐标为(－3,0)或(3,0).

10.(2019·南宁市摸底联考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4,1)，则椭圆的离心率是.

解析：设直线x－y＋5＝0与椭圆＋＝1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，因为AB的中点M(－4,1)，所以x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2.易知直线AB的斜率k＝＝1.由两式相减得，

＋＝0，

所以＝－·，所以－＝，

于是椭圆的离心率e＝＝＝.

三、解答题

11.(2019·云南曲靖模拟)已知椭圆C的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，且椭圆C过点P.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若与直线OP(O为坐标原点)平行的直线交椭圆C于A，B两点，当OA⊥OB时，求△AOB的面积.

解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，由题意可得解得

故椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)直线OP的方程为y＝x，设直线AB的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2).

将直线AB的方程代入椭圆C的方程并整理得x2＋mx＋m2－1＝0，

由Δ＝3m2－4(m2－1)>0，

得m2<4，

由OA⊥OB，得·＝0，·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋x2＋mx1＋m＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝(m2－1)＋m·(－m)＋m2＝m2－＝0，得m2＝.

又|AB|＝

＝·，O到直线AB的距离d＝＝.

所以S△AOB＝|AB|·d＝×××＝.

12.已知椭圆C：＋＝1，直线l：x＋y－2＝0与椭圆C相交于两点P，Q，与x轴交于点B，点P，Q与点B不重合.

(1)求椭圆C的离心率；

(2)当S△OPQ＝2时，求椭圆C的方程；

(3)过原点O作直线l的垂线，垂足为N.若|PN|＝λ|BQ|，求λ的值.

解：(1)a2＝3m，b2＝m，c2＝2m，e2＝＝，

故e＝.

(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将x＋y－2＝0代入椭圆C的方程并整理得4x2－12x＋12－3m＝0，依题意，由Δ＝(－12)2－4×4×(12－3m)>0得m>1.

且有

|PQ|＝|x1－x2|

＝·＝，

原点到直线l的距离d＝，

所以S△OPQ＝|PQ|·d＝×·×＝2，解得m＝>1，故椭圆方程为＋＝1.

(3)直线l的垂线为ON：y＝x，

由解得交点N(1,1).

因为|PN|＝λ|BQ|，又x1＋x2＝3，

所以λ＝＝＝＝1，故λ的值为1.

13.(2019·合肥市质量检测)如图，椭圆＋＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，交y轴于点H.若F1，H是线段MN的三等分点，则△F2MN的周长为(　D　)

A.20    B.10

C.2    D.4

解析：由F1，H是线段MN的三等分点，得H是F1N的中点，又F1(－c,0)，∴点N的横坐标为c，联立方程，得得N(c，)，∴H(0，)，M(－2c，－).把点M的坐标代入椭圆方程得＋＝1，化简得c2＝，又c2＝a2－4，∴＝a2－4，解得a2＝5，∴a＝.由椭圆的定义知|NF2|＋|NF1|＝|MF2|＋|MF1|＝2a，∴△F2MN的周长为|NF2|＋|MF2|＋|MN|＝|NF2|＋|MF2|＋|NF1|＋|MF1|＝4a＝4，故选D.

14.(2019·南昌摸底调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为2.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若kOM·kON＝，求原点O到直线l的距离的取值范围.

解：(1)由题知e＝＝，2b＝2，又a2＝b2＋c2，

∴b＝1，a＝2，

∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.

(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程，

得得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，

依题意，Δ＝(8km)2－4(4k2＋1)(4m2－4)>0，化简得m2<4k2＋1，①

x1＋x2＝－，x1x2＝，

y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，

若kOM·kON＝，则＝，

即4y1y2＝5x1x2，

∴4k2x1x2＋4km(x1＋x2)＋4m2＝5x1x2，

∴(4k2－5)·＋4km·(－)＋4m2＝0，即(4k2－5)(m2－1)－8k2m2＋m2(4k2＋1)＝0，

化简得m2＋k2＝，②

由①②得0≤m2<，<k2≤，

∵原点O到直线l的距离d＝，

∴d2＝＝＝－1＋，

又<k2≤，∴0≤d2<，

∴原点O到直线l的距离的取值范围是[0，).

15.(2019·郑州市第一次质量预测)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点和上顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的平方为(　B　)

A.   B.

C.   D.

解析：如图，由题意得，A(－a,0)，B(0，b)，由在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，得点P是以点O为圆心，线段F1F2为直径的圆x2＋y2＝c2与线段AB的切点，连接OP，则OP⊥AB，且OP＝c，即点O到直线AB的距离为c.

又直线AB的方程为y＝x＋b，整理得bx－ay＋ab＝0，点O到直线AB的距离d＝＝c，两边同时平方整理得，a2b2＝c2(a2＋b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)＝a4－b4，可得b4＋a2b2－a4＝0，两边同时除以a4，得()2＋－1＝0，可得＝，则e2＝＝＝1－＝1－＝，故选B.

16.(2019·重庆六校联考)如图，记椭圆＋＝1，＋＝1内部重叠区域的边界为曲线C，P是曲线C上的任意一点，给出下列四个命题：

①P到F1(－4,0)，F2(4,0)，E1(0，－4)，E2(0,4)四点的距离之和为定值；

②曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称；

③曲线C所围区域的面积必小于36；

④曲线C的总长度不大于6π.

其中正确命题的序号是②③.

解析：对于①，若点P在椭圆＋＝1上，P到F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和为定值，到E1(0，－4)，E2(0,4)两点的距离之和不为定值，故①错；对于②，联立两个椭圆的方程，得得y2＝x2，结合椭圆的对称性知，曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称，故②正确；对于③，曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，所以其面积必小于36，故③正确；对于④，曲线C所围区域的内切圆为半径为3的圆，所以曲线C的总长度必大于圆的周长6π，故④错.故答案为②③.