2020版高考数学一轮复习课时作业55《 曲线与方程》(含解析) 练习
展开课时作业55 曲线与方程
一、选择题
1.方程(x2－y2－1)＝0表示的曲线的大致形状是(图中实线部分)( B )
解析：原方程等价于或x－y－1＝0，前者表示等轴双曲线x2－y2＝1位于直线x－y－1＝0下方的部分，后者为直线x－y－1＝0，这两部分合起来即为所求.
2.动点P(x，y)满足5＝|3x＋4y－11|，则点P的轨迹是( D )
A.椭圆 B.双曲线
C.抛物线 D.直线
解析：设定点F(1,2)，定直线l：3x＋4y－11＝0，则|PF|＝，点P到直线l的距离d＝.由已知得＝1，但注意到点F(1,2)恰在直线l上，所以点P的轨迹是直线.选D.
3.方程(x2＋y2－2x)＝0表示的曲线是( D )
A.一个圆和一条直线 B.一个圆和一条射线
C.一个圆 D.一条直线
解析：依题意，题中的方程等价于①x＋y－3＝0或②注意到圆x2＋y2－2x＝0上的点均位于直线x＋y－3＝0的左下方区域，即圆x2＋y2－2x＝0上的点均不满足x＋y－3≥0，②不表示任何图形，因此题中的方程表示的曲线是直线x＋y－3＝0.
4.平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足＝λ1＋λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是( A )
A.直线 B.椭圆
C.圆 D.双曲线
解析：设C(x，y)，则＝(x，y)，＝(3,1)，＝(－1,3).∵＝λ1＋λ2，
∴得
又λ1＋λ2＝1，
∴x＋2y－5＝0，表示一条直线.
5.已知点M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为( A )
A.x2－＝1(x>1) B.x2－＝1(x<－1)
C.x2＋＝1(x>0) D.x2－＝1(x>1)
解析：设另外两个切点为E，F，如图所示，则|PE|＝|PF|，|ME|＝|MB|，|NF|＝|NB|.从而|PM|－|PN|＝|ME|－|NF|＝|MB|－|NB|＝4－2＝2<|MN|，∴P点的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支.又∵a＝1，c＝3，∴b2＝8.故P点的轨迹方程为x2－＝1(x>1).
6.过抛物线x2＝4y的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，分别过A，B作抛物线的切线l1，l2，则l1与l2的交点P的轨迹方程是( A )
A.y＝－1 B.y＝－2
C.y＝x－1 D.y＝－x－1
解析：抛物线的焦点为F(0,1)，设l：y＝kx＋1，代入x2＝4y得x2＝4kx＋4，即x2－4kx－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.将y＝x2求导得y′＝x，所以由x2＝4y得两方程相除得＝，变形整理得y＝＝＝－1，所以交点P的轨迹方程是y＝－1.
二、填空题
7.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1,0)，B(2,2)，若点C满足＝＋t(－)，其中t∈R，则点C的轨迹方程是y＝2x－2.
解析：设C(x，y)，则＝(x，y)，＋t(－)＝(1＋t,2t)，所以消去参数t得点C的轨迹方程为y＝2x－2.
8. 如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AM＝AB，点P在平面ABCD上，且动点P到直线A1D1的距离的平方与P到点M的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy中，动点P的轨迹方程是y2＝x－.
解析：如图，过P作PQ⊥AD于Q，再过Q作QH⊥A1D1于H，连接PH，PM，易证得PH⊥A1D1.设P(x，y)，由|PH|2－|PM|2＝1，得x2＋1－＝1，化简得y2＝x－.
9.P是椭圆＋＝1上的任意一点，F1、F2是它的两个焦点，O为坐标原点，＝＋，则动点Q的轨迹方程是＋＝1.
解析：如图，由＝＋，又＋＝＝2＝－2，
设Q(x，y)，则＝－＝－(x，y)＝，
即P点坐标为，又P在椭圆上，
则有＋＝1，即＋＝1.
三、解答题
10. 如图所示，已知C为圆(x＋)2＋y2＝4的圆心，点A(，0)，P是圆上的动点，点Q在直线CP上，且·＝0，＝2.当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程.
解：圆(x＋)2＋y2＝4的圆心为C(－，0)，半径r＝2，∵·＝0，＝2，∴MQ⊥AP，点M是线段AP的中点，即MQ是AP的垂直平分线，连接AQ，则|AQ|＝|QP|，∴||QC|－|QA||＝||QC|－|QP||＝|CP|＝r＝2，又|AC|＝2>2，根据双曲线的定义，知点Q的轨迹是以C(－，0)，A(，0)为焦点，实轴长为2的双曲线，由c＝，a＝1，得b2＝1，因此点Q的轨迹方程为x2－y2＝1.
11.在△ABC中，A为动点，B，C为定点，B，C(a>0)，且满足条件sinC－sinB＝sinA，则动点A的轨迹方程是－＝1.
解析：由正弦定理得－＝×，
即|AB|－|AC|＝|BC|，
故动点A是以B，C为焦点，为实轴长的双曲线右支.即动点A的轨迹方程为－＝1.
12.如图，P是圆x2＋y2＝4上的动点，P点在x轴上的射影是D，点M满足＝.
(1)求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形；
(2)过点N(3,0)的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程.
解：(1)设M(x，y)，则D(x,0)，
由＝，知P(x,2y)，
∵点P在圆x2＋y2＝4上，
∴x2＋4y2＝4，故动点M的轨迹C的方程为＋y2＝1，且轨迹C是以(－，0)，(，0)为焦点，长轴长为4的椭圆.
(2)设E(x，y)，由题意知l的斜率存在，
设l：y＝k(x－3)，代入＋y2＝1，
得(1＋4k2)x2－24k2x＋36k2－4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，
∴y1＋y2＝k(x1－3)＋k(x2－3)
＝k(x1＋x2)－6k＝－6k＝.
∵四边形OAEB为平行四边形，
∴＝＋
＝(x1＋x2，y1＋y2)＝，
又＝(x，y)，∴
消去k得，x2＋4y2－6x＝0，
由Δ＝(－24k2)2－4(1＋4k2)(36k2－4)>0，得k2<，∴0<x<.
∴顶点E的轨迹方程为x2＋4y2－6x＝0.
13.(2019·昆明调研测试)已知直线l1：ax－y＋1＝0，直线l2：x＋5ay＋5a＝0，直线l1与l2的交点为M，点M的轨迹为曲线C.
(1)当a变化时，求曲线C的方程；
(2)已知点D(2,0)，过点E(－2,0)的直线l与C交于A，B两点，求△ABD面积的最大值.
解：(1)由消去a，得曲线C的方程为＋y2＝1.(y≠－1，即点(0，－1)不在曲线C上，此步对考生不作要求)
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my－2，
由得(m2＋5)y2－4my－1＝0，
则y1＋y2＝，y1y2＝－，
△ABD的面积S＝2|y2－y1|
＝2
＝2＝，
设t＝，t∈[1，＋∞)，
则S＝＝≤，
当t＝(t∈[1，＋∞))，即t＝2，m＝±时，△ABD的面积取得最大值.
