2020版高考数学一轮复习课时作业72《 参数方程》(含解析) 练习

课时作业72　参数方程

1.已知P为半圆C：(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧AP的长度均为.

(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点M的极坐标；

(2)求直线AM的参数方程.

解：(1)由已知，点M的极角为，

且点M的极径等于，

故点M的极坐标为.

(2)由(1)知点M的直角坐标为，A(1,0).

故直线AM的参数方程为

(t为参数).

2.(2019·贵阳模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.

(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

(2)若A，B分别为曲线C1，C2上的动点，求当AB取最小值时△AOB的面积.

解：(1)由(t为参数)得C1的普通方程为(x－4)2＋(y－5)2＝9，

由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，

将x2＋y2＝ρ2，y＝ρsinθ代入上式，

得C2的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1.

(2)如图，当A，B，C1，C2四点共线，且A，B在线段C1，C2上时，|AB|取得最小值，由(1)得C1(4,5)，C2(0,1)，则kC1C2＝＝1，

∴直线C1C2的方程为x－y＋1＝0，

∴点O到直线C1C2的距离d＝＝，

又|AB|＝|C1C2|－1－3

＝－4＝4－4，

∴S△AOB＝d|AB|＝××(4－4)＝2－.

3.(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数).

(1)求C和l的直角坐标方程；

(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率.

解：(1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1.

当cosα≠0时，l的直角坐标方程为

y＝tanα·x＋2－tanα，

当cosα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.

(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0.　①

因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，

设为t1，t2，则t1＋t2＝0.

又由①得t1＋t2＝－，故2cosα＋sinα＝0，于是直线l的斜率k＝tanα＝－2.

4.(2019·昆明调研测试)在直角坐标系xOy中，已知倾斜角为α的直线l过点A(2,1).以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，直线l与曲线C分别交于P，Q两点.

(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)若|PQ|2＝|AP|·|AQ|，求直线l的斜率k.

解：(1)直线l的参数方程为(t为参数).

曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y.

(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得t2＋(4cosα)t＋3＝0，

由Δ＝(4cosα)2－4×3>0，得cos2α>，

由根与系数的关系，得t1＋t2＝－4cosα，t1·t2＝3，

由参数的几何意义知，|AP|＝|t1|，

|AQ|＝|t2|，|PQ|＝|t1－t2|，

由题意知，(t1－t2)2＝t1·t2，则(t1＋t2)2＝5t1·t2，

得(－4cosα)2＝5×3，

解得cos2α＝，满足cos2α>，

所以sin2α＝，tan2α＝，

所以直线l的斜率k＝tanα＝±.

5.(2019·洛阳市联考)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝，且直线l经过曲线C的左焦点F.

(1)求直线l的普通方程；

(2)设曲线C的内接矩形的周长为L，求L的最大值.

解：(1)曲线C的极坐标方程为

ρ2＝，即ρ2＋ρ2sin2θ＝4，

将ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y代入上式并化简得＋＝1，

所以曲线C的直角坐标方程为＋＝1，

于是c2＝a2－b2＝2，F(－，0).

直线l的普通方程为x－y＝m，将F(－，0)代入直线方程得m＝－，所以直线l的普通方程为x－y＋＝0.

(2)设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点为(2cosθ，sinθ)(0<θ<)，所以椭圆C的内接矩形的周长为L＝2(4cosθ＋2sinθ)＝4sin(θ＋φ)(其中tanφ＝)，所以椭圆C的内接矩形的周长的最大值为4.

6.(2019·唐山市摸底考试)极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系的长度单位相同.已知圆C1的极坐标方程为ρ＝4(cosθ＋sinθ)，P是C1上一动点，点Q在射线OP上且满足|OQ|＝|OP|，点Q的轨迹为C2.

(1)求曲线C2的极坐标方程，并化为直角坐标方程.

(2)已知直线l的参数方程为(t为参数，0≤φ<π)，l与曲线C2有且只有一个公共点，求φ的值.

解：(1)设点P，Q的极坐标分别为(ρ0，θ)，(ρ，θ)，则ρ＝ρ0＝·4(cosθ＋sinθ)＝2(cosθ＋sinθ)，点Q的轨迹C2的极坐标方程为ρ＝2(cosθ＋sinθ)，

两边同乘以ρ，得ρ2＝2(ρcosθ＋ρsinθ)，

C2的直角坐标方程为x2＋y2＝2x＋2y，

即(x－1)2＋(y－1)2＝2.

(2)将l的参数方程代入曲线C2的直角坐标方程，得(tcosφ＋1)2＋(tsinφ－1)2＝2，

即t2＋2(cosφ－sinφ)t＝0，t1＝0，t2＝2sinφ－2cosφ，

由直线l与曲线C2有且只有一个公共点，

得sinφ－cosφ＝0，

因为0≤φ<π，所以φ＝.