2020版高考数学一轮复习课时作业74《 不等式的证明》(含解析) 练习

课时作业74　不等式的证明

1.已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1.

(1)求证：a2＋b2＋c2≥；

(2)求证：＋＋≥1.

证明：(1)∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，

∵(a＋b＋c)2＝1，∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，

∴3(a2＋b2＋c2)≥1，即a2＋b2＋c2≥.

(2)∵＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，∴＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c，

∵a＋b＋c＝1，∴＋＋≥1.

2.(2019·南宁、柳州联考)已知函数f(x)＝|x－1|.

(1)求不等式f(x)≥3－2|x|的解集；

(2)若函数g(x)＝f(x)＋|x＋3|的最小值为m，正数a，b满足a＋b＝m，求证：＋≥4.

解：(1)当x≥1时，x－1≥3－2x，

解得x≥，∴x≥；

当0<x<1时，1－x≥3－2x，解得x≥2，无解；

当x≤0时，1－x≥3＋2x⇒x≤－，∴x≤－.

∴原不等式的解集为{x|x≥或x≤－}.

(2)证法1：∵g(x)＝|x－1|＋|x＋3|

≥|(x－1)－(x＋3)|＝4，

∴m＝4，即a＋b＝4.

又＋b≥2a，＋a≥2b，

∴两式相加得(＋b)＋(＋a)≥2a＋2b，

∴＋≥a＋b＝4，

当且仅当a＝b＝2时等号成立.

证法2：∵g(x)＝|x－1|＋|x＋3|

≥|(x－1)－(x＋3)|＝4，∴m＝4，即a＋b＝4，

由柯西不等式得(＋)(b＋a)≥(a＋b)2，∴＋≥a＋b＝4，当且仅当＝，即a＝b＝2时等号成立.

3.(2019·贵阳市监测考试)已知不等式|2x－3|<x与不等式x2－mx＋n<0(m，n∈R)的解集相同.

(1)求m－n；

(2)若a，b，c∈(0,1)，且ab＋bc＋ac＝m－n，求a2＋b2＋c2的最小值.

解：(1)当x≤0时，不等式的解集为空集；

当x>0时，|2x－3|<x⇒－x<2x－3<x⇒1<x<3，

∴1,3是x2－mx＋n＝0的两根，

∴∴∴m－n＝1.

(2)由(1)得ab＋bc＋ac＝1，

∵≥ab，≥bc，≥ac，

∴a2＋b2＋c2＝＋＋≥ab＋bc＋ac＝1(当且仅当a＝b＝c＝时取等号).

∴a2＋b2＋c2的最小值是1.

4.(2019·陕西质量检测)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|.

(1)解不等式f(x)≤3；

(2)记函数g(x)＝f(x)＋|x＋1|的值域为M，若t∈M，证明：t2＋1≥＋3t.

解：(1)依题意，得f(x)＝

∴f(x)≤3⇔或

或解得－1≤x≤1，

即不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤1}.

(2)证明：g(x)＝f(x)＋|x＋1|＝|2x－1|＋|2x＋2|≥|2x－1－2x－2|＝3，

当且仅当(2x－1)(2x＋2)≤0时取等号，∴M＝[3，＋∞).

t2＋1－3t－＝＝，

∵t∈M，∴t－3≥0，t2＋1>0，

∴≥0，∴t2＋1≥＋3t.

5.(2019·广东中山二模)已知函数f(x)＝x＋1＋|3－x|，x≥－1.

(1)求不等式f(x)≤6的解集；

(2)若f(x)的最小值为n，正数a，b满足2nab＝a＋2b，求证：2a＋b≥.

解：(1)根据题意，若f(x)≤6，则有

或解得－1≤x≤4，

故原不等式的解集为{x|－1≤x≤4}.

(2)证明：函数f(x)＝x＋1＋|3－x|

＝

分析可得f(x)的最小值为4，即n＝4，

则正数a，b满足8ab＝a＋2b，即＋＝8，

∴2a＋b＝(2a＋b)＝≥＝，原不等式得证.

6.(2019·山西晋中二模)已知函数f(x)＝|x＋1|.

(1)若∃x0∈R，使不等式f(x0－2)－f(x0－3)≥u成立，求满足条件的实数u的集合M；

(2)已知t为集合M中的最大正整数，若a>1，b>1，c>1，且(a－1)(b－1)(c－1)＝t，求证：abc≥8.

解：(1)由已知得f(x－2)－f(x－3)＝|x－1|－|x－2|＝则－1≤f(x)≤1，

由于∃x0∈R，使不等式|x0－1|－|x0－2|≥u成立，所以u≤1，即M＝{u|u≤1}.

(2)证明：由(1)知t＝1，则(a－1)(b－1)(c－1)＝1，

因为a>1，b>1，c>1，

所以a－1>0，b－1>0，c－1>0，

则a＝(a－1)＋1≥2>0(当且仅当a＝2时等号成立)，

b＝(b－1)＋1≥2>0(当且仅当b＝2时等号成立)，

c＝(c－1)＋1≥2>0(当且仅当c＝2时等号成立)，

则abc≥8＝8(当且仅当a＝b＝c＝2时等号成立).