2020版高考数学一轮复习课时作业71《 坐标系》(含解析) 练习
展开课时作业71 坐标系
1.在极坐标系中,已知圆C经过点P,圆心为直线ρsin=-与极轴的交点,求圆C的极坐标方程.
解:在ρsin=-中,令θ=0,得ρ=1,所以圆C的圆心坐标为(1,0).因为圆C经过点P,
所以圆C的半径
|PC|==1,于是圆C过极点,所以圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ.
2.设M,N分别是曲线ρ+2sinθ=0和ρsin=上的动点,求M,N的最小距离.
解:因为M,N分别是曲线ρ+2sinθ=0和ρsin=上的动点,即M,N分别是圆x2+y2+2y=0和直线x+y-1=0上的动点,要求M,N两点间的最小距离,即在直线x+y-1=0上找一点到圆x2+y2+2y=0的距离最小,即圆心(0,-1)到直线x+y-1=0的距离减去半径,故最小值为-1=-1.
3.(2019·广东华南师大附中检测)已知直线l的参数方程为(t为参数).以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=ρcosθ+2.
(1)写出直线l经过的定点的直角坐标,并求曲线C的普通方程;
(2)若α=,求直线l的极坐标方程,以及直线l与曲线C的交点的极坐标.
解:(1)直线l经过定点(-1,1),
由ρ=ρcosθ+2得ρ2=(ρcosθ+2)2,
得曲线C的普通方程为x2+y2=(x+2)2,化简得y2=4x+4.
(2)若α=,得的普通方程为y=x+2,
则直线l的极坐标方程为ρsinθ=ρcosθ+2,
联立曲线C:ρ=ρcosθ+2.
因为ρ≠0得sinθ=1,取θ=,得ρ=2,
所以直线l与曲线C的交点为.
4.(2018·江苏卷)在极坐标系中,直线l的方程为ρsin(-θ)=2,曲线C的方程为ρ=4cosθ,求直线l被曲线C截得的弦长.
解:因为曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ,所以曲线C是圆心为(2,0),直径为4的圆.
因为直线l的极坐标方程为ρsin(-θ)=2,
则直线l过A(4,0),倾斜角为,
所以A为直线l与圆C的一个交点.设另一个交点为B,则∠OAB=.连接OB.如图.
因为OA为直径,从而∠OBA=,
所以AB=4cos=2.
因此,直线l被曲线C截得的弦长为2.
5.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1:(x-1)2+y2=1,曲线C2的参数方程为(θ为参数),以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求C1,C2的极坐标方程;
(2)射线y=x(x≥0)与C1异于原点的交点为A,与C2的交点为B,求|AB|.
解:(1)将代入曲线C1的方程:(x-1)2+y2=1,可得曲线C1的极坐标方程为ρ=2cosθ,曲线C2的普通方程为+y2=1,将代入,得到C2的极坐标方程为ρ2(1+sin2θ)=2.
(2)射线的极坐标方程为θ=(ρ≥0),与曲线C1的交点的极径为ρ1=2cos=,射线θ=(ρ≥0)与曲线C2的交点的极径满足ρ=2,
解得ρ2=,所以|AB|=|ρ1-ρ2|=-.
6.(2019·河南八市测评)在平面直角坐标系xOy中,直线l:y=x,圆C的参数方程为(α为参数),以坐标原点为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系.
(1)求直线l和圆C的极坐标方程;
(2)若直线l与圆C交于A,B两点,且△ABC的面积是,求实数a的值.
解:(1)由得ρcosθ=ρsinθ,
所以θ=.将
化为直角坐标方程为(x-3)2+(y-a)2=3,
所以x2+y2-6x-2ay+a2+6=0.
将代入上式得ρ2-6ρcosθ-2aρsinθ+a2+6=0.
圆C的极坐标方程为ρ2-6ρcosθ-2aρsinθ+a2+6=0.
(2)因为S△ABC=AC·BCsin∠ACB=××sin∠ACB=,得∠ACB=或π,当∠ACB=时,|AB|=.
由(1)知直线l的极坐标方程为θ=,代入圆C的极坐标方程得ρ2-(3+a)ρ+a2+6=0.
所以|ρ1-ρ2|2=(ρ1+ρ2)2-4ρ1ρ2=(3+a)2-4(a2+6)=3,
化简得a2-6a+18=0,
解得a=3+3或a=3-3.
当∠ACB=π时,|AB|=3,同理计算可得a=4或a=2.
综上:a的取值为3±3或2或4.