2020版高考数学一轮复习课时作业67《 几何概型》(含解析) 练习
展开课时作业67 几何概型
一、选择题
1.(2019·合肥市质量检测)某广播电台只在每小时的整点和半点开始播放新闻，时长均为5分钟，则一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台，能听到新闻的概率是( D )
A. B. C. D.
解析：由题意可知，该广播电台在一天内播放新闻的时长为24×2×5＝240分钟，即4个小时，所以所求的概率为＝，故选D.
2.(2019·福州四校联考)如图，在圆心角为90°的扇形AOB中，以圆心O为起点在上任取一点C作射线OC，则使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率是( A )
A. B.
C. D.
解析：记事件T是“作射线OC，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°”，如图，记的三等分点为M，N，连接OM，ON，则∠AON＝∠BOM＝∠MON＝30°，则符合条件的射线OC应落在扇形MON中，所以P(T)＝＝＝，故选A.
3.已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝150°，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离均大于1的概率为( D )
A. B.1－ C. D.1－
解析：P＝＝1－.
4.已知正棱锥SABC的底面边长为4，高为3，在正棱锥内任取一点P，使得VPABC<VSABC的概率是( B )
A. B.
C. D.
解析：
如图，由题意知，当点P在三棱锥的中截面以下时，满足VPABC<VSABC，故使得VPABC<VSABC的概率P＝＝1－3＝.
5.(2019·潍坊市统一考试)如图，六边形ABCDEF是一个正六边形，若在正六边形内任取一点，则该点恰好在图中阴影部分的概率是( C )
A. B.
C. D.
解析：设正六边形的中心为点O，BD与AC交于点G，BC＝1，则BG＝CG，∠BGC＝120°，在△BCG中，由余弦定理得1＝BG2＋BG2－2BG2cos120°，得BG＝，所以S△BCG＝×BG×BG×sin120°＝×××＝，因为S六边形ABCDEF＝S△BOC×6＝×1×1×sin60°×6＝，所以该点恰好在图中阴影部分的概率是1－＝.
6. (2019·湖北八校联考)2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年纪念日，中国人民银行发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示的是一枚8 g圆形金质纪念币，直径22 mm，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现向硬币内随机投掷100粒芝麻，已知恰有30粒芝麻落在军旗内，据此可估计军旗的面积是( B )
A. mm2 B. mm2
C. mm2 D. mm2
解析：设军旗的面积为a mm2，则有＝，解得a＝，故选B.
7.中国古代三国时期的数学家赵爽，创作了一幅“勾股弦方图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明.如图所示，在“勾股弦方图”中，以弦为边长得到的正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成，这一图形被称作“赵爽弦图”.若cos2∠BAE＝，则在正方形ABCD内随机取一点，该点恰好在正方形EFGH内的概率为( D )
A. B. C. D.
解析：如题图所示，正方形EFGH的边长为AE－AH＝a－b，正方形ABCD的边长为.由题意知cos2∠BAE＝2cos2∠BAE－1＝2×－1＝，解得9a2＝16b2，即a＝b，则该点恰好在正方形EFGH内的概率为＝＝.故选D.
二、填空题
8.已知函数y＝cosx，x∈[－，]，则cosx≤的概率是.
解析：由cosx≤得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，又x∈[－，]，所以满足条件的x∈[－，－]∪[，]，故所求概率P＝＝.
9.已知圆C：(x－2)2＋y2＝2，直线l：y＝kx，其中k为[－，]上的任意一个数，则事件“直线l与圆C相离”发生的概率为1－.
解析：当直线l与圆C相离时，圆心C到直线l的距离d＝>，解得k>1或k<－1，又k∈[－，]，所以－≤k<－1或1<k≤，故事件“直线l与圆C相离”发生的概率P＝＝.
10.平面区域A1＝{(x，y)|x2＋y2<4，x，y∈R}，A2＝{(x，y)||x|＋|y|≤3，x，y∈R}.在A2内随机取一点，则该点
不在A1内的概率为1－.
解析：分别画出区域A1，A2，如图中圆内部分和正方形及其内部所示，
根据几何概型可知，所求概率为＝1－.
11.如图，正四棱锥SABCD的顶点都在球面上，球心O在平面ABCD上，在球O内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为.
解析：设球的半径为R，则所求的概率为
P＝＝＝.
12.在区间上随机取一个数x，则sinx＋cosx∈[1，]的概率是( B )
A. B. C. D.
解析：因为x∈，所以x＋∈，由sinx＋cosx＝sinx＋∈[1，]，得≤sin≤1，所以x∈，故要求的概率为
＝.
13.(2019·辽宁五校联考)若a∈[1,6]，则函数y＝在区间[2，＋∞)上单调递增的概率是( C )
A. B. C. D.
解析：∵函数y＝＝x＋在区间(0，)上单调递减，在区间(，＋∞)上单调递增，而1≤a≤6，∴1≤≤.要使函数y＝在区间[2，＋∞)上单调递增，则≤2，得1≤a≤4，∴P(1≤a≤4)＝＝，故选C.
14.(2019·南宁、柳州联考)老师计划在晚自习19：00～20：00解答同学甲、乙的问题，预计解答完一个学生的问题需要20分钟.若甲、乙两人在晚自习的任意时刻去问问题是互不影响的，则两人独自去时不需要等待的概率为( B )
A. B. C. D.
解析：设甲、乙两人分别在晚上19：00过x，y分钟后去问问题，则依题意知，x，y应满足作出该不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，则所求概率P＝＝.故选B.
15.(2019·常州八校联考)已知函数f(x)＝x2＋tx＋t，∀x∈R，f(x)>0，函数g(x)＝3x2－2(t＋1)x＋t，则“∃a，b∈(0,1)，使得g(a)＝g(b)＝0”为真命题的概率是( C )
A. B. C. D.
解析：∵函数f(x)＝x2＋tx＋t，∀x∈R，f(x)>0，∴对于x2＋tx＋t＝0，Δ＝t2－4t<0，∴0<t<4.
由“∃a，b∈(0,1)，使得g(a)＝g(b)＝0”为真命题，
则
解得0<t<1，∴“∃a，b∈(0,1)，使得g(a)＝g(b)＝0”为真命题的概率是＝.
16.已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则＝.
解析：
记“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”为事件M，试验的全部结果构成线段CD，由对称性，可取CD的中点为E，研究PB与AB的长度关系.记PB＝AB时，P点位置为P0，因为“△APB的最大边是AB”发生的概率为，所以＝，设AD＝y，AB＝x，则DE＝x，P0E＝DE＝x，P0C＝x＋x＝x，因为P0C2＋BC2＝P0B2＝AB2，所以2＋y2＝x2，即x2＋y2＝x2，所以y2＝x2，y＝x，所以＝，即＝.
