2020届高考数学一轮复习：课时作业3《简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词》(含解析) 练习

课时作业3　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

1．命题“函数y＝f(x)(x∈M)是偶函数”的否定可表示为(　A　)

A．∃x0∈M，f(－x0)≠f(x0)

B．∀x∈M，f(－x)≠f(x)

C．∀x∈M，f(－x)＝f(x)

D．∃x0∈M，f(－x0)＝f(x0)

解析：命题“函数y＝f(x)(x∈M)是偶函数”即“∀x∈M，f(－x)＝f(x)”，该命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题，即“∃x0∈M，f(－x0)≠f(x0)”．

2．(2019·清华大学自主招生能力测试)“∀x∈R，x2－πx≥0”的否定是(　D　)

A．∀x∈R，x2－πx＜0 B．∀x∈R，x2－πx≤0

C．∃x0∈R，x－πx0≤0 D．∃x0∈R，x－πx0＜0

解析：全称命题的否定是特称命题，所以“∀x∈R，x2－πx≥0”的否定是“∃x0∈R，x－πx0＜0”，故选D.

3．(2019·衡水二调)已知命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则綈p是(　B　)

A．∃x1，x2∉R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0

B．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0

C．∀x1，x2∉R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0

D．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0

解析：根据全称命题与特称命题互为否定的关系可知綈p：∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0.

4．(2019·安徽安庆模拟)设命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋＞3；命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2＞2x，则下列命题为真的是(　A　)

A．p∧(綈q) B．(綈p)∧q

C．p∧q D．(綈p)∨q

解析：对于命题p，当x0＝4时，x0＋＝＞3，故命题p为真命题；对于命题q，当x＝4时，24＝42＝16，即∃x0∈(2，＋∞)，使得2x0＝x成立，故命题q为假命题，所以p∧(綈q)为真命题，故选A.

5．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(　A　)

A．綈p∨綈q B．p∨綈q

C．綈p∧綈q D．p∨q

解析：命题p是“甲降落在指定范围”，则綈p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则綈q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”．所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为綈p∨綈q.故选A.

6．(2019·河南郑州外国语中学模拟)已知命题p：若复数z满足(z－i)·(－i)＝5，则z＝6i；命题q：复数的虚部为－i，则下列命题中为真命题的是(　C　)

A．(綈p)∧(綈q) B．(綈p)∧q

C．p∧(綈q) D．p∧q

解析：复数z满足(z－i)·(－i)＝5，

则z＝－＋i＝6i，故命题p为真命题，

则綈p为假命题；

复数＝＝－i，则z的虚部为－，故命题q为假命题，则綈q为真命题．由复合命题真假判断的真值表可知(綈p)∧(綈q)为假命题，(綈p)∧q为假命题，p∧(綈q)为真命题，p∧q为假命题．故选C.

7．(2019·山东泰安联考)下列命题正确的是(　D　)

A．命题“∃x∈[0,1]，使x2－1≥0”的否定为“∀x∈[0,1]，都有x2－1≤0”

B．若命题p为假命题，命题q是真命题，则(綈p)∨(綈q)为假命题

C．命题“若a与b的夹角为锐角，则a·b＞0”及它的逆命题均为真命题

D．命题“若x2＋x＝0，则x＝0或x＝－1”的逆否命题为“若x≠0且x≠－1，则x2＋x≠0”

解析：对于选项A，命题“∃x∈[0,1]，使x2－1≥0”的否定为“∀x∈[0,1]，都有x2－1＜0”，故A项错误；对于选项B，p为假命题，则綈p为真命题；q为真命题，则綈q为假命题，所以(綈p)∨(綈q)为真命题，故B项错误；对于选项C，原命题为真命题，若a·b＞0，则a与b的夹角可能为锐角或零角，所以原命题的逆命题为假命题，故C项错误；对于选项D，命题“若x2＋x＝0，则x＝0或x＝－1”的逆否命题为“若x≠0且x≠－1，则x2＋x≠0”，故选项D正确，因此选D.

8．(2019·江西七校联考)已知函数f(x)＝给出下列两个命题：命题p：∃m∈(－∞，0)，方程f(x)＝0有解，命题q：若m＝，则f(f(－1))＝0，那么，下列命题为真命题的是(　B　)

A．p∧q B．(綈p)∧q

C．p∧(綈q) D．(綈p)∧(綈q)

解析：因为3x＞0，当m＜0时，m－x2＜0，

所以命题p为假命题；

当m＝时，因为f(－1)＝3－1＝，

所以f(f(－1))＝f＝－2＝0，

所以命题q为真命题，

逐项检验可知，只有(綈p)∧q为真命题，故选B.

9．已知命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1＞0，命题q：∃x0∈R，x－x0＋a＝0.若p∧q为真命题，则实数a的取值范围是(　D　)

A．(－∞，4] B．[0,4)

C.   D.

解析：当a＝0时，命题p为真；当a≠0时，若命题p为真，则a＞0且Δ＝a2－4a＜0，即0＜a＜4.故命题p为真时，0≤a＜4.命题q为真时，Δ＝1－4a≥0，即a≤.命题p∧q为真命题时，p，q均为真命题，则实数a的取值范围是.

10．(2019·聊城模拟)已知函数f(x)在R上单调递增，若∃x0∈R，f(|x0＋1|)≤f(log2a－|x0＋2|)，则实数a的取值范围是(　A　)

A．[2，＋∞) B．[4，＋∞)

C．[8，＋∞) D．(0,2]

解析：∵函数f(x)在R上单调递增，

∴∃x0∈R，f(|x0＋1|)≤f(log2a－|x0＋2|)，

等价为∃x0∈R，|x0＋1|≤log2a－|x0＋2|成立，

即|x＋1|＋|x＋2|≤log2a有解，

∵|x＋1|＋|x＋2|≥|x＋2－x－1|＝1，

∴log2a≥1，即a≥2.

11．已知命题p：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q：在空间中，对于三条不同的直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，有以下命题：

①p∧q为真；②p∨q为假；③p∨q为真；④(綈p)∨(綈q)为假．

其中，正确的是②__.(填序号)

解析：命题p是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．

12．(2019·郑州质量预测)已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈，∃x2∈[2,3]，使得f(x1)≤g(x2)，则实数a的取值范围是　.

解析：依题意知f(x)max≤g(x)max.

∵f(x)＝x＋在上是减函数，

∴f(x)max＝f＝.

又g(x)＝2x＋a在[2,3]上是增函数，

∴g(x)max＝8＋a，因此≤8＋a，则a≥.

13．已知命题p：∀x∈R，不等式ax2＋2x＋1＜0解集为空集，命题q：f(x)＝(2a－5)x在R上满足f′(x)＜0，若命题p∧(綈q)是真命题，则实数a的取值范围是(　D　)

A. B．[3，＋∞)

C．[2,3]   D.∪[3，＋∞)

解析：命题p：∀x∈R，不等式ax2＋2x＋1＜0解集为空集，a＝0时，不满足题意．当a≠0时，必须满足：

解得a≥2.

命题q：f(x)＝(2a－5)x在R上满足f′(x)＜0，

可得函数f(x)在R上单调递减，

∴0＜2a－5＜1，解得＜a＜3.

∵命题p∧(綈q)是真命题，

∴p为真命题，q为假命题．

∴解得2≤a≤或a≥3，

则实数a的取值范围是[3，＋∞)∪.故选D.

14．(2019·河北衡水中学联考)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，其中|MN|＝，记命题p：f(x)＝2sin，命题q：将f(x)的图象向右平移个单位，得到函数y＝2sin的图象，则以下判断正确的是(　D　)

A．p∧q为真 B．p∨q为假

C．(綈p)∨q为真 D．p∧(綈q)为真

解析：由|MN|＝，可得  ＝，

解得ω＝，因为f(0)＝1，

所以sinφ＝.

又φ∈，所以φ＝，

所以f(x)＝2sin.

故p为真命题．

将f(x)图象上所有的点向右平移个单位，得到

f＝2sin的图象，

故q为假命题．

所以p∧q为假，p∨q为真，(綈p)∨q为假，p∧(綈q)为真，故选D.

15．(2019·沈阳模拟)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，给出以下四个命题：

①∀x∈(－1,1)，有f(－x)＝－f(x)；

②∀x1，x2∈(－1,1)且x1≠x2，有＞0；

③∀x1，x2∈(0,1)，有f≤；

④∀x∈(－1,1)，|f(x)|≥2|x|.

其中所有真命题的序号是(　D　)

A．①② B．③④

C．①②③ D．①②③④

解析：对于①，∵f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，且其定义域为(－1,1)，∴f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－[ln(1＋x)－ln(1－x)]＝－f(x)，即∀x∈(－1,1)，有f(－x)＝－f(x)，故①是真命题；

对于②，∵x∈(－1,1)，由f′(x)＝＋＝≥2＞0，可知f(x)在区间(－1,1)上单调递增，即∀x1，x2∈(－1,1)且x1≠x2，有＞0，故②是真命题；

对于③，∵f′(x)＝在(0,1)上单调递增，

∴∀x1，x2∈(0,1)，有f≤，

故③是真命题；

对于④，设g(x)＝f(x)－2x，

则当x∈(0,1)时，g′(x)＝f′(x)－2≥0，

∴g(x)在(0,1)上单调递增，

∴当x∈(0,1)时，g(x)＞g(0)，即f(x)＞2x，由奇函数性质可知，∀x∈(－1,1)，|f(x)|≥2|x|，故④是真命题，故选D.

16．已知命题p：∃x0∈R，ex0－mx0＝0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1≥0，若p∨(綈q)为假命题，则实数m的取值范围是[0,2]__．

解析：若p∨(綈q)为假命题，则p假q真．

由ex－mx＝0，可得m＝，x≠0，

设f(x)＝，x≠0，则f′(x)＝＝，

当x＞1时，f′(x)＞0，函数f(x)＝在(1，＋∞)上是单调递增函数；

当0＜x＜1或x＜0时，f′(x)＜0，函数f(x)＝在(0,1)和(－∞，0)上是单调递减函数，所以当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝e，所以函数f(x)＝的值域是(－∞，0)∪[e，＋∞)，由p是假命题，可得0≤m＜e.

当命题q为真命题时，有Δ＝m2－4≤0，即－2≤m≤2.

所以当p∨(綈q)为假命题时，m的取值范围是0≤m≤2.