2020届高考数学一轮复习：课时作业6《函数的奇偶性与周期性》(含解析) 练习

课时作业6　函数的奇偶性与周期性

1．(2019·长春质检)下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是(　D　)
A．y＝ex＋e－x B．y＝ln(|x|＋1)
C．y＝ D．y＝x－
解析：选项A，B显然是偶函数，排除；选项C是奇函数，但在(0，＋∞)上不是单调递增函数，不符合题意；选项D中，y＝x－是奇函数，且y＝x和y＝－在(0，＋∞)上均为增函数，故y＝x－在(0，＋∞)上为增函数，所以选项D正确．
2．(2019·商丘模拟)已知函数f(x)＝ln(e＋x)＋ln(e－x)，则f(x)是(　D　)
A．奇函数，且在(0，e)上是增函数
B．奇函数，且在(0，e)上是减函数
C．偶函数，且在(0，e)上是增函数
D．偶函数，且在(0，e)上是减函数
解析：f(x)的定义域为(－e，e)，且f(x)＝ln(e2－x2)．
又t＝e2－x2是偶函数，且在(0，e)上是减函数，∴f(x)是偶函数，且在(0，e)上是减函数．
3．(2019·南昌模拟)若定义域为R的函数f(x)在(4，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋4)为偶函数，则(　D　)
A．f(2)＞f(3) B．f(2)＞f(5)
C．f(3)＞f(5) D．f(3)＞f(6)
解析：∵y＝f(x＋4)为偶函数，
∴f(－x＋4)＝f(x＋4)，
因此y＝f(x)的图象关于直线x＝4对称，
∴f(2)＝f(6)，f(3)＝f(5)．
又y＝f(x)在(4，＋∞)上为减函数，
∴f(5)＞f(6)，所以f(3)＞f(6)．
4．(2019·安徽蚌埠模拟)已知单调函数f(x)，对任意的x∈R都有f[f(x)－2x]＝6，则f(2)＝(　C　)
A．2　　　　B．4 C．6　　　　D．8
解析：设t＝f(x)－2x，
则f(t)＝6，且f(x)＝2x＋t，
令x＝t，则f(t)＝2t＋t＝6，
∵f(x)是单调函数，f(2)＝22＋2＝6，
∴t＝2，即f(x)＝2x＋2，
则f(2)＝4＋2＝6，故选C.
5．(2019·河北石家庄一模)已知奇函数f(x)在x＞0时单调递增，且f(1)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值范围为(　A　)
A．{x|0＜x＜1或x＞2} B．{x|x＜0或x＞2}
C．{x|x＜0或x＞3} D．{x|x＜－1或x＞1}
解析：∵奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，∴函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，且f(－1)＝0，则－1＜x＜0或x＞1时，f(x)＞0；x＜－1或0＜x＜1时，f(x)＜0.∴不等式f(x－1)＞0即－1＜x－1＜0或x－1＞1，解得0＜x＜1或x＞2，故选A.
6．(2019·惠州调研)已知定义域为R的偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f(1)＝2，则不等式f(log2x)＞2的解集为(　B　)
A．(2，＋∞) B.∪(2，＋∞)
C.∪(，＋∞) D．(，＋∞)
解析：f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，所以f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以f(log2x)＞2＝f(1)⇔f(|log2x|)＞f(1)⇔|log2x|＞1⇔log2x＞1或log2x＜－1⇔x＞2或0＜x＜.
7．(2019·河南郑州一模)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2e)＝－f(x)(其中e＝2.718 2…)，且在区间[e,2e]上是减函数，令a＝，b＝，c＝，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系(用不等号连接)为(　A　)
A．f(b)＞f(a)＞f(c) B．f(b)＞f(c)＞f(a)
C．f(a)＞f(b)＞f(c) D．f(a)＞f(c)＞f(b)
解析：∵f(x)是R上的奇函数，
满足f(x＋2e)＝－f(x)，
∴f(x＋2e)＝f(－x)，
∴函数f(x)的图象关于直线x＝e对称，
∵f(x)在区间[e,2e]上为减函数，
∴f(x)在区间[0，e]上为增函数，
又易知0＜c＜a＜b＜e，
∴f(c)＜f(a)＜f(b)，故选A.
8．(2019·四川师大附中模拟)设函数f(x)的定义域为D，若f(x)满足条件：存在[a，b]⊆D(a＜b)，使f(x)在[a，b]上的值域也是[a，b]，则称为“优美函数”．若函数f(x)＝log2(4x＋t)为“优美函数”，则t的取值范围是(　D　)
A. B．(0,1)
C. D.
解析：∵函数f(x)＝log2(4x＋t)是定义域上的增函数，
∴由题意得，若函数为“优美函数”，
则f(x)＝x有两个不相等的实根，
即log2(4x＋t)＝x，整理得4x＋t＝2x，
∴(2x)2－2x＋t＝0有两个不相等的实根．
∵2x＞0，令λ＝2x(λ＞0)，
∴λ2－λ＋t＝0有两个不相等的正实根，
∴解得0＜t＜，
即t∈，故选D.
9．(2016·江苏卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f(x)＝其中a∈R.若f＝f，则f(5a)的值是－　.
解析：因为f(x)的周期为2，
所以f＝f＝－＋a，
f＝f＝，即－＋a＝，所以a＝，
故f(5a)＝f(3)＝f(－1)＝－.
10．(2019·泰安模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(x＋2)＝－f(x)且f(x)在[－1,0]上是增函数，给出下列几个命题：①f(x)是周期函数；②f(x)的图象关于直线x＝1对称；③f(x)在[1,2]上是减函数；④f(2)＝f(0)，其中正确命题的序号是①②③④__(请把正确命题的序号全部写出来)．
解析：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)对任意x，y∈R恒成立．
令x＝y＝0，所以f(0)＝0.
令x＋y＝0，所以y＝－x，
所以f(0)＝f(x)＋f(－x)．
所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
因为f(x)在x∈[－1,0]上为增函数，
又f(x)为奇函数，所以f(x)在[0,1]上为增函数．
由f(x＋2)＝－f(x)⇒f(x＋4)＝－f(x＋2)⇒f(x＋4)＝f(x)，
所以周期T＝4，即f(x)为周期函数．
f(x＋2)＝－f(x)⇒f(－x＋2)＝－f(－x)．
又因为f(x)为奇函数，所以f(2－x)＝f(x)，
所以函数关于直线x＝1对称．
由f(x)在[0,1]上为增函数，又关于直线x＝1对称，
所以f(x)在[1,2]上为减函数．
由f(x＋2)＝－f(x)，
令x＝0得f(2)＝－f(0)＝f(0)．
11．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解：(1)设x＜0，则－x＞0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．
于是x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象知
所以1＜a≤3，
故实数a的取值范围是(1,3]．
12．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)＜2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．
解：(1)∵对于任意x1，x2∈D，
有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.
(2)f(x)为偶函数．
证明：令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
∴f(－1)＝f(1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，
由(2)知，f(x)是偶函数，
∴f(x－1)＜2等价于f(|x－1|)＜f(16)．
又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴0＜|x－1|＜16，解之得－15＜x＜17且x≠1，∴x的取值范围是{x|－15＜x＜17且x≠1}．

13．(2019·太原模拟)已知函数f(x)是偶函数，f(x＋1)是奇函数，且对于任意x1，x2∈[0,1]，x1≠x2，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＜0，设a＝f，b＝－f，c＝f，则下列结论正确的是(　B　)
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．b＞c＞a D．c＞a＞b
解析：由函数f(x)是偶函数，f(x＋1)是奇函数，可知函数的周期为4，则a＝f＝f，b＝－f＝f，c＝f＝f.由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0，可知函数是区间[0,1]上的减函数，据此可得b＞a＞c.
14．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为(　B　)
A．6　　　　B．7 C．8　　　　D．9
解析：因为f(x)是最小正周期为2的周期函数，且0≤x＜2时，f(x)＝x3－x＝x(x－1)(x＋1)，
所以当0≤x＜2时，f(x)＝0有两个根，即x1＝0，x2＝1.
由周期函数的性质知，当2≤x＜4时，f(x)＝0有两个根，即x3＝2，x4＝3；
当4≤x≤6时，f(x)＝0有三个根，即x5＝4，x6＝5，x7＝6.
故函数f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴交点的个数为7.
15．(2019·河南林州一中调研)已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，满足f(x＋2)＝f(x－2)＋f(2)，且当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－4，令函数g(x)＝f(x)－m，若g(x)在区间[－10,2]上有6个零点，分别记为x1，x2，x3，x4，x5，x6，则x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝－24__.
解析：∵函数y＝f(x)是R上的偶函数，
∴f(－2)＝f(2)，
由f(x＋2)＝f(x－2)＋f(2)，令x＝0，可得f(2)＝0，
∵f(x＋2)＝f(x－2)，即f(x＋4)＝f(x)，∴周期T＝4.
作出函数f(x)在[－10,2]上的图象及直线y＝m如图所示．

由图象可知f(x)的图象在[－10,2]上有3条对称轴，分别为x＝－8，x＝－4，x＝0，
∴6个零点之和为2×(－8)＋2×(－4)＋2×0＝－24.
16．已知函数y＝f(x)在定义域[－1,1]上既是奇函数，又是减函数．
(1)求证：对任意x1，x2∈[－1,1]，有[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)≤0；
(2)若f(1－a)＋f(1－a2)＜0，求实数a的取值范围．
解：(1)证明：若x1＋x2＝0，显然原不等式成立．
若x1＋x2＜0，则－1≤x1＜－x2≤1，
因为f(x)在[－1,1]上是减函数且为奇函数，
所以f(x1)＞f(－x2)＝－f(x2)，
所以f(x1)＋f(x2)＞0.
所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立．
若x1＋x2＞0，则－1≤－x2＜x1≤1，
同理可证f(x1)＋f(x2)＜0.
所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立．
综上所述，对任意x1，x2∈[－1,1]，
有[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)≤0恒成立．
(2)因为f(1－a)＋f(1－a2)＜0⇔f(1－a2)＜－f(1－a)＝f(a－1)，所以由f(x)在定义域[－1,1]上是减函数，得
即解得0≤a＜1.
故所求实数a的取值范围是[0,1)．