2020届高考数学一轮复习：课时作业7《二次函数与幂函数》(含解析) 练习

课时作业7　二次函数与幂函数

1．幂函数y＝x－1及直线y＝x，y＝1，x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①②③④⑤⑥⑦⑧(如图所示)，则幂函数y＝x的图象经过的“卦限”是(　D　)

A．④⑦ B．④⑧

C．③⑧ D．①⑤

解析：由y＝x＝知其经过“卦限”①⑤，故选D.

2．(2019·郑州模拟)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是(　A　)

解析：当0＜a＜1时，y＝logax为减函数，y＝(a－1)x2－x开口向下，其对称轴为x＝＜0，排除C，D；当a＞1时，y＝logax为增函数，y＝(a－1)x2－x开口向上，其对称轴为x＝＞0，排除B.故选A.

3．(2019·福建模拟)已知a＝0.40.3，b＝0.30.4，c＝0.3－0.2，则(　A　)

A．b＜a＜c B．b＜c＜a

C．c＜b＜a D．a＜b＜c

解析：∵1＞a＝0.40.3＞0.30.3＞b＝0.30.4，c＝0.3－0.2＞1，∴b＜a＜c，故选A.

4．(2019·秦皇岛模拟)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且2是f(x)的一个零点，－1是f(x)的一个极小值点，那么不等式f(x)＞0的解集是(　C　)

A．(－4,2) B．(－2,4)

C．(－∞，－4)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(4，＋∞)

解析：依题意，f(x)图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝－1，方程ax2＋bx＋c＝0的一个根是2，另一个根是－4.因此f(x)＝a(x＋4)(x－2)(a＞0)，于是f(x)＞0，解得x＞2或x＜－4.

5．已知y＝f(x)是偶函数，当x＞0时，f(x)＝(x－1)2，若当x∈时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值为(　D　)

A.   B.

C. D．1

解析：当x＜0时，－x＞0，f(x)＝f(－x)＝(x＋1)2，因为x∈，所以f(x)min＝f(－1)＝0，f(x)max＝f(－2)＝1，所以m≥1，n≤0，m－n≥1，所以m－n的最小值是1.

6．(2019·湖北荆州模拟)二次函数f(x)满足f(x＋2)＝f(－x＋2)，又f(0)＝3，f(2)＝1，若在[0，m]上有最大值3，最小值1，则m的取值范围是(　D　)

A．(0，＋∞) B．[2，＋∞)

C．(0,2] D．[2,4]

解析：∵二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，

∴其图象的对称轴是x＝2，

又f(0)＝3，∴f(4)＝3，

又f(2)＜f(0)，∴f(x)的图象开口向上，

∵f(0)＝3，f(2)＝1，f(4)＝3，f(x)在[0，m]上的最大值为3，最小值为1，

∴由二次函数的性质知2≤m≤4.故选D.

7．(2019·云南曲靖一中月考)已知幂函数f(x)＝xn的图象过点，且f(a＋1)＜f(2)，则a的取值范围是(　B　)

A．(－3,1) B．(－∞，－3)∪(1，＋∞)

C．(－∞，1) D．(1，＋∞)

解析：因为幂函数f(x)＝xn的图象过点，所以8n＝，即23n＝2－2，解得n＝－.因此f(x)＝x－是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增．由f(a＋1)＜f(2)得|a＋1|＞2，解得a＜－3或a＞1.故选B.

8．已知函数f(x)＝a－x2(1≤x≤2)与g(x)＝x＋2的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是(　A　)

A．[－2,0]   B.

C．[2,4]   D.

解析：若函数f(x)＝a－x2(1≤x≤2)与g(x)＝x＋2的图象上存在关于x轴对称的点，则方程a－x2＝－(x＋2)，即a＝x2－x－2在区间[1,2]上有解．令h(x)＝x2－x－2,1≤x≤2，由于h(x)＝x2－x－2的图象是开口朝上且以直线x＝为对称轴的抛物线，故当x＝1时，h(x)取得最小值－2，当x＝2时，h(x)取得最大值0，故a∈[－2,0]．

9．(2019·岳阳质检)已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则log2f(2)的值为　.

解析：设幂函数f(x)＝xa，把代入函数方程f(x)＝xa，得a＝，解得a＝，则f(x)＝x，

∴f(2)＝2，∴log2f(2)＝log22＝.

10．若f(x)＝2x2＋(x－2a)|x－a|在[－2,1]上不是单调函数，则实数a的取值范围是　.

解析：f(x)＝2x2＋(x－2a)·|x－a|可化为

f(x)＝

若a＞0，函数y＝3x2－3ax＋2a2(x≥a)单调递增，

此时函数y＝x2＋3ax－2a2(x＜a)的图象的对称轴为直线x＝－，结合图象可知要使函数f(x)在[－2,1]上不单调，

则－2＜－＜1，得0＜a＜；

若a＝0，函数f(x)＝在[－2,1]上不单调，符合题意；

若a＜0，函数y＝x2＋3ax－2a2(x＜a)单调递减，函数y＝3x2－3ax＋2a2(x≥a)的图象的对称轴为直线x＝，结合图象可知，若函数f(x)在[－2,1]上不单调，则－2＜＜1，得－4＜a＜0，综合以上可知－4＜a＜.

11．(2019·湖南祁阳模拟)已知幂函数f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k.

(1)求m的值；

(2)当x∈[1,2)时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，设p：x∈A，q：x∈B，若p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．

解：(1)依题意得：(m－1)2＝1⇒m＝0或m＝2，当m＝2时，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴m＝0.

(2)由(1)得，f(x)＝x2，

当x∈[1,2)时，f(x)∈[1,4)，即A＝[1,4)，

当x∈[1,2)时，g(x)∈[2－k,4－k)，

即B＝[2－k,4－k)，

因p是q成立的必要条件，则B⊆A，

则即得0≤k≤1.

12．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示，请根据图象：

(1)写出函数f(x)(x∈R)的增区间；

(2)写出函数f(x)(x∈R)的解析式；

(3)若函数g(x)＝f(x)－2ax＋2(x∈[1,2])，求函数g(x)的最小值．

解：(1)f(x)在区间(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增．

(2)设x＞0，则－x＜0，函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x，

∴f(x)＝f(－x)＝(－x)2＋2×(－x)＝x2－2x(x＞0)，

∴f(x)＝

(3)g(x)＝x2－2x－2ax＋2，对称轴方程为x＝a＋1，

当a＋1≤1，即a≤0时，g(1)＝1－2a为最小值；

当1＜a＋1≤2，即0＜a≤1时，g(a＋1)＝－a2－2a＋1为最小值；

当a＋1＞2，即a＞1时，g(2)＝2－4a为最小值．

综上，g(x)min＝

13．(2019·湖北武汉模拟)幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xa，y＝xb的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么a－＝(　A　)

A．0 B．1

C. D．2

解析：BM＝MN＝NA，点A(1,0)，B(0,1)，

所以M，N，

分别代入y＝xa，y＝xb，

得a＝log，b＝log，

∴a－＝log－＝0，故选A.

14．(2019·河北保定一模)已知函数f(x)既是二次函数又是幂函数，函数g(x)是R上的奇函数，函数h(x)＝＋1，则h(2 018)＋h(2 017)＋h(2 016)＋…＋h(1)＋h(0)＋h(－1)＋…＋h(－2 016)＋h(－2 017)＋h(－2 018)＝(　D　)

A．0 B．2 018

C．4 036 D．4 037

解析：函数f(x)既是二次函数又是幂函数，

∴f(x)＝x2，∴f(x)＋1为R上的偶函数，

又函数g(x)是R上的奇函数，h(x)＝＋1，

∴h(x)＋h(－x)＝＋

＝＋2＝2，

∴h(2 018)＋h(2 017)＋h(2 016)＋…＋h(1)＋h(0)＋h(－1)＋…＋h(－2 016)＋h(－2 017)＋h(－2 018)＝[h(2 018)＋h(－2 018)]＋[h(2 017)＋h(－2 017)]＋…＋[h(1)＋h(－1)]＋h(0)＝2＋2＋…＋2＋1＝2×2 018＋1＝4 037.故选D.

15．设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围为　.

解析：由题意知，y＝f(x)－g(x)＝x2－5x＋4－m在[0,3]上有两个不同的零点．

在同一直角坐标系下作出函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，

当x∈[2,3]时，

y＝x2－5x＋4∈，

故当m∈时，函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈[0,3])的图象有两个交点．

16．已知函数g(x)＝ax2－2ax＋b＋1(a≠0，b＜1)在区间[2,3]上有最大值4，最小值1.

(1)求a，b的值；

(2)设f(x)＝，不等式f(2x)－k·2x≥0对x∈[－1,1]恒成立，求实数k的取值范围．

解：(1)g(x)＝ax2－2ax＋b＋1＝a(x－1)2－a＋b＋1，

若a＞0，则g(x)在[2,3]上单调递增，

∴g(2)＝b＋1＝1，g(3)＝3a＋b＋1＝4，解得a＝1，b＝0；

若a＜0，则g(x)在[2,3]上单调递减，

∴g(2)＝b＋1＝4，解得b＝3.

∵b＜1，∴b＝3舍去．

综上，a＝1，b＝0.

(2)∵f(x)＝，∴f(x)＝＝x＋－2，

∵不等式f(2x)－k·2x≥0对x∈[－1,1]恒成立，

∴2x＋－2－k·2x≥0对x∈[－1,1]恒成立，即k≤2－2＋1＝2对x∈[－1,1]恒成立，

∵x∈[－1,1]，∴∈，∴2∈[0,1]，∴k≤0.