2020届高考数学一轮复习：课时作业8《指数与指数函数》(含解析) 练习

课时作业8　指数与指数函数

1．(2019·河北八所重点中学一模)设a＞0，将表示成分数指数幂的形式，其结果是(　C　)

解析：

2．(2019·湖北四市联考)已知函数f(x)＝2x－2，则函数y＝|f(x)|的图象可能是(　B　)

解析：y＝|f(x)|＝|2x－2|＝

易知函数y＝|f(x)|的图象的分段点是x＝1，且过点(1,0)，(0,1)，|f(x)|≥0.

又|f(x)|在(－∞，1)上单调递减，故选B.

3．(2019·福建厦门一模)已知a＝0.3，b＝log0.3，c＝ab，则a，b，c的大小关系是(　B　)

A．a＜b＜c B．c＜a＜b

C．a＜c＜b D．b＜c＜a

解析：b＝log0.3＞log＝1＞a＝0.3，c＝ab＜a.

∴c＜a＜b.故选B.

4．(2019·中山模拟)设函数f(x)＝若f(a)＜1，则实数a的取值范围是(　C　)

A．(－∞，－3) B．(1，＋∞)

C．(－3,1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)

解析：当a＜0时，不等式f(a)＜1可化为a－7＜1，即a＜8，即a＜－3，

因为0＜＜1，所以a＞－3，

此时－3＜a＜0；

当a≥0时，不等式f(a)＜1可化为＜1，

所以0≤a＜1.故a的取值范围是(－3,1)．

5．(2019·河南八市学评第一次测试)设函数f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a＞1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M＝(a－1)0.2与N＝0.1的大小关系是(　D　)

A．M＝N B．M≤N

C．M＜N D．M＞N

解析：因为f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a＞1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以a＞2，所以M＝(a－1)0.2＞1，N＝0.1＜1，所以M＞N，故选D.

6．(2019·广东潮州模拟)在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为(　D　)

解析：设原有荒漠化土地面积为b，经过x年后荒漠化面积为z，∴z＝b(1＋10.4%)x，故y＝＝(1＋10.4%)x，其是底数大于1的指数函数，故选D.

7．若函数f(x)＝a|2x－4|(a＞0，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　B　)

A．(－∞，2] B．[2，＋∞)

C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]

解析：由f(1)＝得a2＝，

所以a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝|2x－4|.

由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，

所以f(x)在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减，故选B.

8．已知实数a，b满足＞a＞b＞，则(　B　)

A．b＜2 B．b＞2

C．a＜ D．a＞

解析：由＞a，得a＞1，

由a＞b，得2a＞b，故2a＜b，

由b＞，得b＞4，

得b＜4.

由2a＜b，得b＞2a＞2，a＜＜2，

∴1＜a＜2,2＜b＜4.

对于选项A，B，由于b2－4(b－a)＝(b－2)2＋4(a－1)＞0恒成立，故A错误，B正确；

对于选项C，D，a2－(b－a)＝2－，由于1＜a＜2,2＜b＜4，故该式的符号不确定，故C，D错误，故选B.

9．若67x＝27,603y＝81，则－＝－2__.

解析：因为67x＝27,603y＝81，

所以－＝－2.

10．当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x＜0恒成立，则实数m的取值范围是(－1,2)__．

解析：原不等式变形为m2－m＜x，

因为函数y＝x在(－∞，－1]上是减函数，

所以x≥－1＝2，

当x∈(－∞，－1]时，m2－m＜x恒成立等价于m2－m＜2，解得－1＜m＜2.

11．已知函数y＝b＋ax2＋2x(a，b为常数，且a＞0，a≠1)在区间上有最大值3，最小值，试求a，b的值．

解：令t＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，

∵x∈，∴t∈[－1,0]．

①若a＞1，函数f(t)＝at在[－1,0]上为增函数，

∴at∈，b＋ax2＋2x∈，

依题意得解得

②若0＜a＜1，函数f(t)＝at在[－1,0]上为减函数，

∴at∈，

b＋ax2＋2x∈，

依题意得解得

综上知，a＝2，b＝2或a＝，b＝.

12．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数且a＞0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．

(1)求f(x)的解析式；

(2)若不等式x＋x－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．

解：(1)∵f(x)＝b·ax的图象过点A(1,6)，B(3,24)，

∴

②÷①得a2＝4，又a＞0且a≠1，

∴a＝2，b＝3，∴f(x)＝3·2x.

(2)由(1)知x＋x－m≥0在(－∞，1]上恒成立可转化为m≤x＋x在(－∞，1]上恒成立．

令g(x)＝x＋x，

则g(x)在(－∞，1]上单调递减，

∴m≤g(x)min＝g(1)＝＋＝，

故所求实数m的取值范围是.

13．(2019·成都诊断)已知函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数的图象经过点.若函数g(x)的定义域为R，当x∈[－2,2]时，有g(x)＝f(x)，且函数g(x＋2)为偶函数，则下列结论正确的是(　C　)

A．g(π)＜g(3)＜g() B．g(π)＜g()＜g(3)

C．g()＜g(3)＜g(π) D．g()＜g(π)＜g(3)

解析：因为函数f(x)的反函数的图象经过点，所以函数f(x)的图象经过点，所以a＝，即a＝，所以函数f(x)在R上单调递减．

∵g(x＋2)为偶函数，

∴g(－x＋2)＝g(x＋2)，

∴g(3)＝g(1)，g(π)＝g(4－π)，

∵4－π＜1＜，

当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)单调递减，

∴g()＜g(1)＜g(4－π)，即g()＜g(3)＜g(π)．

14．设y＝f(x)在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K，定义fK(x)＝给出函数f(x)＝2x＋1－4x，若对于任意x∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，则(　D　)

A．K的最大值为0 B．K的最小值为0

C．K的最大值为1 D．K的最小值为1

解析：根据给出的定义知，fK(x)为函数y＝f(x)与y＝K中的较小值．若对任意的x∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，则对任意的x∈(－∞，1]，恒有f(x)≤K，等价于函数f(x)在(－∞，1]上的最大值小于或等于K.令t＝2x∈(0,2]，则函数f(x)＝2x＋1－4x即为函数φ(t)＝－t2＋2t，即φ(t)＝－(t－1)2＋1≤1，故函数f(x)在(－∞，1]上的最大值为1，即K≥1，所以K有最小值1.

15．若函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝　.

解析：由函数g(x)在[0，＋∞)上为增函数，得1－4m＞0，即m＜.当a＞1时，函数f(x)在[－1,2]上单调递增，最小值为a－1＝m，最大值为a2＝4，解得a＝2，m＝，与m＜矛盾；当0＜a＜1时，函数f(x)在[－1,2]上单调递减，最小值为a2＝m，最大值为a－1＝4，解得a＝，m＝，满足m＜，所以a＝.

16．已知函数f(x)＝－＋3(－1≤x≤2)．

(1)若λ＝，求函数f(x)的值域；

(2)若函数f(x)的最小值是1，求实数λ的值．

解：(1)f(x)＝－＋3＝2x－2λ·x＋3(－1≤x≤2)．

设t＝x，得g(t)＝t2－2λt＋3.

当λ＝时，g(t)＝t2－3t＋3＝2＋.

所以g(t)max＝g＝，g(t)min＝g＝.

所以f(x)max＝，f(x)min＝，

故函数f(x)的值域为.

(2)由(1)得g(t)＝t2－2λt＋3＝(t－λ)2＋3－λ2，

①当λ≤时，g(t)min＝g＝－＋，

令－＋＝1，得λ＝＞，不符合，舍去；

②当＜λ≤2时，g(t)min＝g(λ)＝－λ2＋3，

令－λ2＋3＝1，得λ＝；

③当λ＞2时，g(t)min＝g(2)＝－4λ＋7，

令－4λ＋7＝1，得λ＝＜2，不符合，舍去．

综上所述，实数λ的值为.