2020届高考数学一轮复习：课时作业9《对数与对数函数》(含解析) 练习

课时作业9　对数与对数函数

1．(2019·湖北孝感统考)函数f(x)＝的定义域是(　B　)

A.   B.∪(0，＋∞)

C. D．[0，＋∞)

解析：由解得x＞－且x≠0，故选B.

2．(2019·河南新乡模拟)设a＝60.4，b＝log0.40.5，c＝log80.4，则a，b，c的大小关系是(　B　)

A．a＜b＜c B．c＜b＜a

C．c＜a＜b D．b＜c＜a

解析：∵a＝60.4＞1，b＝log0.40.5∈(0,1)，c＝log80.4＜0，∴a＞b＞c.故选B.

3．已知lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则lg(ab)·2＝(　B　)

A．2 B．4

C．6 D．8

解析：由已知，得lga＋lgb＝2，即lg(ab)＝2.

又lga·lgb＝，

所以lg(ab)·2＝2(lga－lgb)2＝

2[(lga＋lgb)2－4lga·lgb]＝2×＝2×2＝4，故选B.

4．若函数y＝(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则loga＋loga＝(　D　)

A．1 B．2

C．3 D．4

解析：若a＞1，则y＝在[0,1]上单调递减，则解得a＝2，此时，loga＋loga＝log216＝4；若0＜a＜1，则y＝在[0,1]上单调递增，则无解，故选D.

5．(2019·广东省际名校联考)已知f(x)满足对∀x∈R，f(－x)＋f(x)＝0，且当x≤0时，f(x)＝＋k(k为常数)，则f(ln5)的值为(　B　)

A．4 B．－4

C．6 D．－6

解析：易知函数f(x)是奇函数，故f(0)＝＋k＝1＋k＝0，即k＝－1，所以f(ln5)＝－f(－ln5)＝－(eln5－1)＝－4.

6．(2019·广东韶关南雄模拟)函数f(x)＝xa满足f(2)＝4，那么函数g(x)＝|loga(x＋1)|的图象大致为(　C　)

解析：∵f(2)＝4，∴2a＝4，解得a＝2，

∴g(x)＝|log2(x＋1)|＝

∴当x≥0时，函数g(x)单调递增，且g(0)＝0；当－1＜x＜0时，函数g(x)单调递减，故选C.

7．已知函数f(x)＝ex＋2(x＜0)与g(x)＝ln(x＋a)＋2的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是(　A　)

A．(－∞，e) B．(0，e)

C．(e，＋∞) D．(－∞，1)

解析：由题意知，方程f(－x)－g(x)＝0在(0，＋∞)上有解，即e－x－ln(x＋a)＝0在(0，＋∞)上有解，即函数y＝e－x与y＝ln(x＋a)的图象在(0，＋∞)上有交点，则lna＜1，即0＜a＜e，则a的取值范围是(0，e)，当a≤0时，y＝e－x与y＝ln(x＋a)的图象总有交点，故a的取值范围是(－∞，e)，故选A.

8．(2019·广东省级名校模拟)已知函数f(x)＝(ex－e－x)x，f(log5x)＋f(logx)≤2f(1)，则x的取值范围是(　C　)

A. B．[1,5]

C.   D.∪[5，＋∞)

解析：∵f(x)＝(ex－e－x)x，

∴f(－x)＝－x(e－x－ex)＝(ex－e－x)x＝f(x)，

∴函数f(x)是偶函数．

∵f′(x)＝(ex－e－x)＋x(ex＋e－x)＞0在(0，＋∞)上恒成立．

∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．

∵f(log5x)＋f(logx)≤2f(1)，

∴2f(log5x)≤2f(1)，即f(log5x)≤f(1)，

∴|log5x|≤1，∴≤x≤5.故选C.

9．函数f(x)＝log2·log(2x)的最小值为－　.

解析：依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝2－≥－，当且仅当log2x＝－，即x＝时等号成立，因此函数f(x)的最小值为－.

10．(2019·沈阳质检)已知函数f(x)＝|log3x|，实数m，n满足0＜m＜n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则＝9__.

解析：f(x)＝|log3x|＝

所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，

由0＜m＜n且f(m)＝f(n)，

可得则

所以0＜m2＜m＜1，则f(x)在[m2,1)上单调递减，在(1，n]上单调递增，

所以f(m2)＞f(m)＝f(n)，则f(x)在[m2，n]上的最大值为f(m2)＝－log3m2＝2，解得m＝，则n＝3，所以＝9.

11．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，a≠1)，且f(1)＝2.

(1)求a的值及f(x)的定义域；

(2)求f(x)在区间上的最大值．

解：(1)∵f(1)＝2，

∴loga4＝2(a＞0，a≠1)，∴a＝2.

由得－1＜x＜3，

∴函数f(x)的定义域为(－1,3)．

(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)

＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]，

∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数；

当x∈(1,3)时，f(x)是减函数，

故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.

12．已知函数f(x)＝loga(a2x＋t)，其中a＞0且a≠1.

(1)当a＝2时，若f(x)＜x无解，求t的取值范围；

(2)若存在实数m，n(m＜n)，使得x∈[m，n]时，函数f(x)的值域也为[m，n]，求t的取值范围．

解：(1)∵log2(22x＋t)＜x＝log22x，

∴22x＋t＜2x无解，等价于22x＋t≥2x恒成立，

即t≥－22x＋2x＝g(x)恒成立，

即t≥g(x)max，

∵g(x)＝－22x＋2x＝－2＋，

∴当2x＝，即x＝－1时，g(x)取得最大值，

∴t≥，故t的取值范围是.

(2)由题意知f(x)＝loga(a2x＋t)在[m，n]上是单调增函数，

∴即

问题等价于关于k的方程a2k－ak＋t＝0有两个不相等的实根，

令ak＝u＞0，则问题等价于关于u的二次方程u2－u＋t＝0在u∈(0，＋∞)上有两个不相等的实根，

即即得0＜t＜.

∴t的取值范围为.

13．已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数．对任意两个不相等的正数x1，x2，都有＞0，记a＝，b＝，c＝，则(　B　)

A．a＜b＜c B．b＜a＜c

C．c＜a＜b D．c＜b＜a

解析：已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，

对任意两个不相等的正数x1，x2，

都有＞0，

故x1－x2与x2f(x1)－x1f(x2)同号，

则x1－x2与

同号，

∴函数y＝是(0，＋∞)上的增函数，

∵1＜30.2＜2,0＜0.32＜1，log25＞2，

∴0.32＜30.2＜log25，∴b＜a＜c，故选B.

14．设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(2＋x)＝f(2－x)，当x∈[－2,0]时，f(x)＝x－1，若在区间(－2,6)内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a＞0且a≠1)恰有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是(　D　)

A. B．(1,4)

C．(1,8) D．(8，＋∞)

解析：依题意得f(x＋2)＝f(－(2－x))＝f(x－2)，即f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是以4为周期的函数，结合题意画出函数f(x)在x∈(－2,6)上的图象与函数y＝loga(x＋2)的图象，结合图象分析可知．

要使f(x)与y＝loga(x＋2)的图象有4个不同的交点，则有由此解得a＞8，即a的取值范围是(8，＋∞)．

15．(2019·吉林长春模拟)已知函数f(x)＝ln(x＋)，g(x)＝f(x)＋2 017，下列命题：

①f(x)的定义域为(－∞，＋∞)；

②f(x)是奇函数；

③f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；

④若实数a，b满足f(a)＋f(b－1)＝0，则a＋b＝1；

⑤设函数g(x)在[－2 017,2 017]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝2 017.

其中真命题的序号是①②③④__.(写出所有真命题的序号)

解析：对于①，∵＞＝|x|≥－x，

∴＋x＞0，

∴f(x)的定义域为R，∴①正确．

对于②，f(x)＋f(－x)＝ln(x＋)＋ln(－x＋)＝ln[(x2＋1)－x2]＝ln1＝0.

∴f(x)是奇函数，∴②正确．

对于③，令u(x)＝x＋，

则u(x)在[0，＋∞)上单调递增．

当x∈(－∞，0]时，u(x)＝x＋＝，而y＝－x在(－∞，0]上单调递减，且－x＞0.

∴u(x)＝在(－∞，0]上单调递增，

又u(0)＝1，∴u(x)在R上单调递增，

∴f(x)＝ln(x＋)在R上单调递增，∴③正确．

对于④，∵f(x)是奇函数，

而f(a)＋f(b－1)＝0，∴a＋(b－1)＝0，

∴a＋b＝1，∴④正确．

对于⑤，f(x)＝g(x)－2 017是奇函数，

当x∈[－2 017,2 017]时，f(x)max＝M－2 017，f(x)min＝m－2 017，

∴(M－2 017)＋(m－2 017)＝0，

∴M＋m＝4 034，∴⑤不正确．

16．已知函数f(x)＝ln.

(1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性；

(2)对于x∈[2,6]，f(x)＝ln＞ln恒成立，求实数m的取值范围．

解：(1)由＞0，解得x＜－1或x＞1，

∴函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，

当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，

f(－x)＝ln＝ln＝ln－1＝－ln＝－f(x)．

∴f(x)＝ln是奇函数．

(2)由于x∈[2,6]时，f(x)＝ln＞ln恒成立，

∴＞＞0，

∵x∈[2,6]，∴0＜m＜(x＋1)(7－x)在x∈[2,6]上恒成立．

令g(x)＝(x＋1)(7－x)＝－(x－3)2＋16，x∈[2,6]，

由二次函数的性质可知，x∈[2,3]时函数g(x)单调递增，x∈[3,6]时函数g(x)单调递减，

即x∈[2,6]时，g(x)min＝g(6)＝7，

∴0＜m＜7.故实数m的取值范围为(0,7)．