2020届高考数学一轮复习：课时作业13《变化率与导数、导数的计算》(含解析) 练习

课时作业13　变化率与导数、导数的计算

1．(2019·湖南株洲模拟)设函数y＝xsinx＋cosx的图象在点(t，f(t))处的切线斜率为g(t)，则函数y＝g(t)图象的一部分可以是(　A　)

解析：由y＝xsinx＋cosx可得y′＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，则g(t)＝tcost，g(t)是奇函数，排除选项B，D；当x∈时，y＝g(t)＞0，排除选项C，故选A.

2．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝t3－3t2＋8t，那么速度为零的时刻是(　D　)

A．1秒末 B．1秒末和2秒末

C．4秒末 D．2秒末和4秒末

解析：s′(t)＝t2－6t＋8，由导数的定义知v＝s′(t)，

令s′(t)＝0，得t＝2或4，

即2秒末和4秒末的速度为零．

3．(2019·河南林州一中调研)函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)－lnx，则f′(2)的值为(　B　)

A. B．－

C. D．－

解析：∵f(x)＝x2＋3xf′(2)－lnx，

∴f′(x)＝2x＋3f′(2)－，

令x＝2，得f′(2)＝4＋3f′(2)－，

解得f′(2)＝－，故选B.

4．(2019·广西五市联考)已知e为自然对数的底数，曲线y＝aex＋x在点(1，ae＋1)处的切线与直线2ex－y－1＝0平行，则实数a＝(　B　)

A.   B.

C.   D.

解析：∵y′＝aex＋1，

∴切线的斜率为y′|x＝1＝ae＋1，

又切线与直线2ex－y－1＝0平行，

∴ae＋1＝2e，解得a＝.

5．(2019·广州模拟)设函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y＝0，则点P的坐标为(　D　)

A．(0,0) B．(1，－1)

C．(－1,1) D．(1，－1)或(－1,1)

解析：∵f(x)＝x3＋ax2，∴f′(x)＝3x2＋2ax，

∵曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y＝0，

∴3x＋2ax0＝－1，

∵x0＋x＋ax＝0，解得x0＝±1，

∴当x0＝1时，f(x0)＝－1，

当x0＝－1时，f(x0)＝1.故选D.

6．(2019·广东深圳模拟)设函数f(x)＝x＋＋b，若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处的切线经过坐标原点，则ab＝(　D　)

A．1 B．0

C．－1 D．－2

解析：由题意可得，f(a)＝a＋＋b，f′(x)＝1－，所以f′(a)＝1－，故切线方程是y－a－－b＝(x－a)，将(0,0)代入得－a－－b＝(－a)，故b＝－，故ab＝－2，故选D.

7．(2019·乐山模拟)已知函数f(x)＝e2x－2ex＋ax－1，曲线y＝f(x)上存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围为(　B　)

A．(3，＋∞)   B.

C. D．(0,3)

解析：f(x)＝e2x－2ex＋ax－1的导函数为f′(x)＝2e2x－2ex＋a，由题意可得2e2x－2ex＋a＝3的解有两个，即有2＝，即为ex＝＋或ex＝－，即有7－2a＞0且7－2a＜1，解得3＜a＜.

8．(2016·山东卷)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是(　A　)

A．y＝sinx B．y＝lnx

C．y＝ex D．y＝x3

解析：设函数y＝f(x)图象上的两点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且x1≠x2，则由题意知只需函数y＝f(x)满足f′(x1)·f′(x2)＝－1即可．y＝f(x)＝sinx的导函数为f′(x)＝cosx，则f′(0)·f′(π)＝－1，故函数y＝sinx具有T性质；y＝f(x)＝lnx的导函数为f′(x)＝，则f′(x1)·f′(x2)＝＞0，故函数y＝lnx不具有T性质；y＝f(x)＝ex的导函数为f′(x)＝ex，则f′(x1)·f′(x2)＝ex1＋x2＞0，故函数y＝ex不具有T性质；y＝f(x)＝x3的导函数为f′(x)＝3x2，则f′(x1)·f′(x2)＝9xx≥0，故函数y＝x3不具有T性质．故选A.

9．(2019·大庆模拟)函数f(x)＝xex的图象在点P(1，e)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为　　.

解析：f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，

∴切线斜率k＝f′(1)＝2e，

∴曲线y＝f(x)在(1，e)处的切线方程为y－e＝2e(x－1)，

即y＝2ex－e.

∵y＝2ex－e与坐标轴交于点(0，－e)，，

∴y＝2ex－e与坐标轴围成的三角形面积S＝×e×＝.

10．(2019·上饶模拟)若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2距离的最小值为　　.

解析：由题意知y＝x2－lnx的定义域为(0，＋∞)，当点P是曲线的切线中与直线y＝x－2平行的直线的切点时，点P到直线y＝x－2的距离最小，如图所示．

故令y′＝2x－＝1，解得x＝1，

故点P的坐标为(1,1)．

故点P到直线y＝x－2的最小值dmin＝＝.

11．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．

(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；

(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．

解：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．

(1)由题意，得

解得b＝0，a＝－3或a＝1.

(2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，

所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，

所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0，

即4a2＋4a＋1＞0，所以a≠－.

所以a的取值范围为∪.

12．(2019·福州质检)设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.

(1)求f(x)的解析式；

(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．

解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3.

当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，

于是解得

故f(x)＝x－.

(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，

由y′＝1＋，知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为

y－y0＝(x－x0)，

即y－＝(x－x0)．

令x＝0，得y＝－，

从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.

令y＝x，得y＝x＝2x0，

从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．

所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为S＝|2x0|＝6.

故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.

13．(2019·达州二诊)已知曲线C在动点P(a，a2＋2a)与动点Q(b，b2＋2b)(a＜b＜0)处的切线互相垂直，则b－a的最小值为(　A　)

A．1 B．2

C. D．－

解析：由题意可得曲线y＝x2＋2x上存在两点处的切线互相垂直，由y＝x2＋2x的导数为y′＝2x＋2，可得(2a＋2)(2b＋2)＝－1，由a＋1＜b＋1，可得a＋1＜0，且b＝－1，b－a＝＋(－a－1)≥2·＝2×＝1，当且仅当＝－a－1，即a＝－，b＝－时等号成立，所以b－a的最小值为1.

14．(2019·安徽江南十校联考)若曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝(a＞0)存在公共切线，则a的取值范围为(　D　)

A．(0,1)   B.

C.   D.

解析：曲线y＝x2在点(m，m2)的切线斜率为2m，曲线y＝(a＞0)在点的切线斜率为en，如果两条曲线存在公共切线，那么2m＝en.又由直线的斜率公式得到2m＝，则有m＝2n－2，则由题意知4n－4＝en有解，即y＝4x－4，y＝ex的图象有交点．若直线y＝4x－4与曲线y＝ex相切，设切点为(s，t)，则es＝4，且t＝4s－4＝es，可得切点为(2,4)，此时＝，故要使满足题意，需≤，则a≥，故a的取值范围是a≥.故选D.

15．已知曲线y＝，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为　x＋4y－2＝0　.

解析：y′＝＝，

因为ex＞0，所以ex＋≥2＝2(当且仅当ex＝，即x＝0时取等号)，

则ex＋＋2≥4，故y′＝≥－(当x＝0时取等号)．

当x＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为，切线的方程为y－＝－(x－0)，即x＋4y－2＝0.

16．(2019·安徽淮南一模)已知函数f(x)＝x2－lnx.

(1)求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)在函数f(x)＝x2－lnx的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间上？若存在，求出这两点的坐标，若不存在，请说明理由．

解：(1)由题意可得f(1)＝1，且f′(x)＝2x－，f′(1)＝2－1＝1，则所求切线方程为y－1＝1×(x－1)，即y＝x.

(2)假设存在两点满足题意，且设切点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1，x2∈，不妨设x1＜x2，

结合题意和(1)中求得的导函数解析式可得＝－1，

又函数f′(x)＝2x－在区间上单调递增，函数的值域为[－1,1]，

故－1≤2x1－＜2x2－≤1，

据此有解得x1＝，

x2＝1，

故存在两点，(1,1)满足题意．