2020届高考数学一轮复习：课时作业20《三角函数的图象与性质》(含解析) 练习

课时作业20　三角函数的图象与性质

1．在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cosx|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为(　A　)

A．①②③   B．①③④

C．②④   D．①③

解析：①y＝cos|2x|＝cos2x，最小正周期为π；

②由图象知y＝|cosx|的最小正周期为π；

③y＝cos的最小正周期T＝＝π；

④y＝tan的最小正周期T＝.

2．关于函数y＝tan，下列说法正确的是(　C　)

A．是奇函数

B．在区间上单调递减

C．为其图象的一个对称中心

D．最小正周期为π

解析：函数y＝tan是非奇非偶函数，A错误；在区间上单调递增，B错误；最小正周期为，D错误．

∵当x＝时，tan＝0，

∴为其图象的一个对称中心．

3．(2019·石家庄检测)若是函数f(x)＝sinωx＋cosωx图象的一个对称中心，则ω的一个取值是(　C　)

A．2   B．4

C．6   D．8

解析：因为f(x)＝sinωx＋cosωx＝sin，由题意，知f＝sin＝0，

所以＋＝kπ(k∈Z)，

即ω＝8k－2(k∈Z)，当k＝1时，ω＝6.

4．(2019·佛山模拟)已知x0＝是函数f(x)＝sin(2x＋φ)的一个极大值点，则f(x)的一个单调递减区间是(　B　)

A．   B．

C．   D．

解析：因为x0＝是函数f(x)＝sin(2x＋φ)的一个极大值点，所以sin＝1，

解得φ＝2kπ－，k∈Z.

不妨取φ＝－，此时f(x)＝sin，

令2kπ＋＜2x－＜2kπ＋(k∈Z)，

得kπ＋＜x＜kπ＋π(k∈Z)．

取k＝0，得函数f(x)的一个单调递减区间为.

5．已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象过点(0，)，则f(x)图象的一个对称中心是(　B　)

A．   B．

C．   D．

解析：函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象过点(0，)，则f(0)＝2sinφ＝，

∴sinφ＝，又|φ|＜，∴φ＝，

则f(x)＝2sin，

令2x＋＝kπ(k∈Z)，

则x＝－(k∈Z)，

当k＝0时，x＝－，

∴是函数f(x)的图象的一个对称中心．

6．(2019·湖南衡阳八中月考)定义运算：a*b＝例如1](　D　)

A．   B．[－1,1]

C．   D．

解析：根据三角函数的周期性，我们只看两函数在一个最小正周期内的情况即可．

设x∈[0,2π]，当≤x≤时，sinx≥cosx，f(x)＝cosx，f(x)∈，当0≤x＜或＜x≤2π时，cosx＞sinx，f(x)＝sinx，f(x)∈∪[－1,0]．

综上知f(x)的值域为.

7．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋1，其图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为，若f(x)＞1对任意x∈恒成立，则φ的取值范围是(　B　)

A．   B．

C．   D．

解析：由题意可得函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋1的最大值为3.

∵f(x)的图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为，

∴f(x)的周期T＝，∴＝，

解得ω＝3，

∴f(x)＝2cos(3x＋φ)＋1.

∵f(x)＞1对任意x∈恒成立，

∴2cos(3x＋φ)＋1＞1，

即cos(3x＋φ)＞0，

对任意x∈恒成立，

∴－＋φ≥2kπ－且＋φ≤2kπ＋，k∈Z，

解得φ≥2kπ－且φ≤2kπ，k∈Z，

即2kπ－≤φ≤2kπ，k∈Z.

结合|φ|＜可得当k＝0时，φ的取值范围为.

8．(2019·烟台检测)若函数f(x)＝cos(0＜φ＜π)是奇函数，则φ＝　.

解析：因为f(x)为奇函数，所以φ－＝＋kπ(k∈Z)，φ＝＋kπ，k∈Z.又因为0＜φ＜π，故φ＝.

9．已知关于x的方程2sin＋1－a＝0在区间上存在两个根，则实数a的取值范围是[2,3)__．

解析：sin＝在上存在两个根，

设x＋＝t，则t∈，

∴y＝sint，t∈的图象与直线y＝有两个交点，

∴≤＜1，∴2≤a＜3.

10．设函数f(x)＝3sin，若存在这样的实数x1，x2，对任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为2__.

解析：f(x)＝3sin的周期T＝2π×＝4，

f(x1)，f(x2)应分别为函数f(x)的最小值和最大值，

故|x1－x2|的最小值为＝2.

11．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.

(1)求ω和φ的值；

(2)若f＝，求cos的值．

解：(1)f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.

又因为f(x)的图象关于直线x＝对称，

所以2·＋φ＝kπ＋，k＝0，±1，±2，….

由－≤φ＜得k＝0，

所以φ＝－＝－.

(2)由(1)得f＝sin＝，

所以sin＝.

由＜α＜得0＜α－＜，

所以cos＝＝＝.

因此cos＝sinα＝sin

＝sincos＋cossin

＝×＋×＝.

12．已知f(x)＝sin.

(1)求函数f(x)图象的对称轴方程；

(2)求f(x)的单调递增区间；

(3)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值．

解：(1)f(x)＝sin，

令2x＋＝kπ＋，k∈Z，

得x＝＋，k∈Z.

所以函数f(x)图象的对称轴方程是x＝＋，k∈Z.

(2)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

故f(x)的单调递增区间为，k∈Z.

(3)当x∈时，≤2x＋≤，

所以－1≤sin≤，

所以－≤f(x)≤1，

所以当x∈时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－.

13．(2019·龙岩六校联考)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤对任意x∈R恒成立，且f＞0，则f(x)的单调递减区间是(　C　)

A．(k∈Z)

B．(k∈Z)

C．(k∈Z)

D．(k∈Z)

解析：由题意可得函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，故有2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ，k∈Z.

又f＝sin＞0，

所以φ＝2nπ，n∈Z，

所以f(x)＝sin(2x＋2nπ)＝sin2x.

令2kπ＋≤2x≤2kπ＋，k∈Z，求得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，故函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z，故选C．

14．设ω∈N*且ω≤15，则使函数y＝sinωx在区间上不单调的ω的个数是(　C　)

A．6   B．7

C．8   D．9

解析：由ωx＝＋kπ(k∈Z)得函数y＝sinωx的图象的对称轴为x＝＋(k∈Z)．

∵函数y＝sinωx在区间上不单调，

∴＜＋＜(k∈Z)，

解得1.5＋3k＜ω＜2＋4k(k∈Z)．

由题意ω∈N*且ω≤15，

∴当k＝0时，1.5＜ω＜2，此时ω没有正整数可取；

当k＝1时，4.5＜ω＜6，此时ω可以取5；

当k＝2时，7.5＜ω＜10，此时ω可以取8,9；

当k＝3时，10.5＜ω＜14，此时ω可以取11,12,13；

当k＝4时，13.5＜ω＜18，此时ω可以取14,15.

故满足题意的ω有8个，分别为5,8,9,11,12,13,14,15.故选C．

15．若函数f(x)＝Acos2(ωx＋φ)＋1的最大值为3，f(x)的图象与y轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＝4_035__.

解析：∵函数f(x)＝Acos2(ωx＋φ)＋1

＝A·＋1

＝cos(2ωx＋2φ)＋1＋的最大值为3，

∴＋1＋＝3，∴A＝2.

根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，

即＝4，∴ω＝.

再根据f(x)的图象与y轴的交点坐标为(0,2)，

可得cos2φ＋1＋1＝2，∴cos2φ＝0，

又0＜φ＜，∴2φ＝，φ＝.

故函数f(x)的解析式为

f(x)＝cos＋2＝－sinx＋2，

∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＋f(2 018)＝

－

＋2×2 018＝504×0－sin－sinπ＋4 036＝－1＋4 036＝4 035.

16．已知函数f(x)＝2sin2－cos2x－1，x∈R.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)若h(x)＝f(x＋t)的图象关于点对称，且t∈(0，π)，求t的值；

(3)当x∈时，不等式|f(x)－m|＜3恒成立，求实数m的取值范围．

解：(1)因为f(x)＝－cos－cos2x＝sin2x－cos2x＝2＝2sin，

故f(x)的最小正周期为π.

(2)由(1)知h(x)＝2sin.

令2×＋2t－＝kπ(k∈Z)，

得t＝＋(k∈Z)，

又t∈(0，π)，故t＝或.

(3)当x∈时，2x－∈，

所以f(x)∈[1,2]．

又|f(x)－m|＜3，

即f(x)－3＜m＜f(x)＋3，

所以2－3＜m＜1＋3，

即－1＜m＜4.

故实数m的取值范围是(－1,4)．