2020届高考数学一轮复习：课时作业21《函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用》(含解析) 练习

课时作业21　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

1．(2018·天津卷)将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(　A　)

A．在区间上单调递增

B．在区间上单调递减

C．在区间上单调递增

D．在区间上单调递减

解析：将y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为y＝sin＝sin2x，

令2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，

得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．

所以y＝sin2x的递增区间为(k∈Z)，

当k＝1时，y＝sin2x在上单调递增，故选A．

2．(2019·清华大学自主招生能力测试)已知函数f(x)＝sinx＋cosx(x∈R)，先将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有的点向右平移θ(θ＞0)个单位长度，得到的图象关于y轴对称，则θ的最小值为(　B　)

A．   B．

C．   D．

解析：f(x)＝sinx＋cosx＝2sin，

将其图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，

得y＝2sin的图象，再将得到的图象上所有的点向右平移θ(θ＞0)个单位长度，得y＝2sin

＝2sin的图象，

由y＝2sin的图象关于y轴对称得－3θ＝kπ＋(k∈Z)，

即θ＝－π(k∈Z)．

又θ＞0，故当k＝－1时，θ取得最小值π，故选B．

3．设偶函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML＝90°，KL＝1，则f的值为(　D　)

A．－   B．－

C．－   D．

解析：由题及f(x)的图象可知，△KLM为等腰直角三角形且∠KML＝90°，KL＝1，

所以A＝，T＝2，因为T＝，所以ω＝π，

又因为f(x)是偶函数，故φ＝＋kπ，k∈Z，

由0＜φ＜π知φ＝，

因此f(x)的解析式为f(x)＝sin，

所以f＝sin＝.

4．(2019·河南顶级名校联考)将函数f(x)＝cos图象上所有的点向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则下列说法不正确的是(　B　)

A．直线x＝为g(x)图象的对称轴

B．g(x)在上单调递减，且g(x)为偶函数

C．g(x)在上单调递增，且g(x)为奇函数

D．点是g(x)图象的对称中心

解析：由题意，g(x)＝cos，

则g(x)＝sin2x.

令2x＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，故A中说法正确．

当x∈时，2x∈，g(x)单调递减，但g(x)为奇函数，故B中说法不正确．

当x∈时，2x∈，g(x)单调递增，又g(x)为奇函数，故C中说法正确．

g(x)图象的对称中心为(k∈Z)，故D中说法正确．

5．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，又x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝(　B　)

A．   B．

C．   D．1

解析：由题图可知，＝－＝，

则T＝π，ω＝2，又＝，

所以f(x)的图象过点，

即sin＝1，

得＋φ＝＋2kπ，k∈Z，

即φ＝＋2kπ，k∈Z，

又|φ|＜，可得φ＝，

所以f(x)＝sin.

由f(x1)＝f(x2)，x1，x2∈，

可得x1＋x2＝－＋＝，

所以f(x1＋x2)＝f＝sin＝sin＝.

6．将函数f(x)＝2cos2x的图象向右平移个单位得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间 和上均单调递增，则实数a的取值范围是(　A　)

A．   B．

C．   D．

解析：易得g(x)＝2cos，

由2kπ－π≤2x－≤2kπ，

得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，

即函数g(x)的单调增区间为(k∈Z)．

当k＝0时，函数的增区间为，

当k＝1时，函数的增区间为.

又函数g(x)在区间和上均单调递增，

所以解得≤a≤.

7．(2019·河南天一联考)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则φ＝－　.

解析：由＝π－π＝，得T＝π，

又知T＝，∴ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)．

又知f＝－2，∴2sin＝－2，

即sin＝－1.

∴π＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)，∴φ＝2kπ－(k∈Z)，

又∵－＜φ＜0，∴φ＝－.

8．已知关于x的方程2sin2x－sin2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是1≤m＜2__.

解析：方程2sin2x－sin2x＋m－1＝0⇔m＝2sin，要使原方程在上有两个不同实根，函数y＝2sin与y＝m在上有两个不同交点，如图，需满足1≤m＜2.

9．(2019·百校联盟质检)已知函数f(x)＝Msin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，其中A(2,3)(点A为图象的一个最高点)，B，则函数f(x)＝3sin　.

解析：依题意，M＝3，T＝2＋＝，则T＝6，故ω＝＝.又函数过点A(2,3)，即3sin＝3，得＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，则φ＝－＋2kπ(k∈Z)．因为|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝3sin.

10．(2019·太原模拟)已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω＞0)，x∈R.在曲线y＝f(x)与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为π__.

解析：f(x)＝sinωx＋cosωx＝2sin(ω＞0)．

由2sin＝1，

得sin＝，

∴ωx＋＝2kπ＋或ωx＋＝2kπ＋(k∈Z)．

令k＝0，得ωx1＋＝，ωx2＋＝，

∴x1＝0，x2＝.

由|x1－x2|＝，得＝，∴ω＝2.

故f(x)的最小正周期T＝＝π.

11．(2019·黑龙江哈尔滨六中月考)已知函数f(x)＝

cos＋2sinsin.

(1)求函数f(x)的单调递增区间；

(2)将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝g(x)的图象．若函数y＝g(x)在区间上的图象与直线y＝a有三个交点，求实数a的取值范围．

解：(1)f(x)＝cos＋2sinsin

＝cos2x＋sin2x＋(sinx－cosx)(sinx＋cosx)

＝cos2x＋sin2x＋sin2x－cos2x

＝cos2x＋sin2x－cos2x

＝sin.

令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z.

(2)将f(x)的图象向左平移个单位长度，

得y＝sin＝sin＝cos2x的图象，再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得g(x)＝cosx的图象．

作函数g(x)＝cosx在区间上的图象，及直线y＝A．根据图象知，实数a的取值范围是.

12．如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内草坪的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条休闲大道，它的前一段OD是函数y＝k(k＞0)图象的一部分，后一段DBC是函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[4,8]的图象，图象的最高点为B，DF⊥OC，垂足为F.

(1)求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式；

(2)若在草坪内修建如图所示的儿童游乐园，即矩形PMFE，问点P落在曲线OD上何处时，儿童游乐园的面积最大？

解：(1)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，由图象可知，

A＝，ω＝＝＝，

将B代入y＝sin中，

可得sin＝1，

故＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，φ＝2kπ－(k∈Z)．

因为|φ|＜，所以φ＝－.

故y＝sin，x∈[4,8]．

(2)在y＝sin中，

令x＝4，得y＝4，故D(4,4)，

从而得OD对应的函数为y＝2(0≤x≤4)．

设点P(0≤t≤4)，

则矩形PMFE的面积S＝t(0≤t≤4)．

因为S′＝4－，由S′＝0，得t＝，

当t∈时，S′＞0，S单调递增；

当t∈时，S′＜0，S单调递减．

所以当t＝时，S最大，此时点P的坐标为.

13．(2019·石家庄质检)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，得到函数g(x)的图象关于点对称，则m的值可能为(　D　)

A．   B．

C．   D．

解析：依题意得解得

＝＝－＝，

故ω＝2，则f(x)＝sin(2x＋φ)＋.

又f＝sin＋＝，

故＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即φ＝＋2kπ(k∈Z)．

因为|φ|＜，故φ＝，

所以f(x)＝sin＋.

将函数f(x)的图象向左平移m个单位长度后得到g(x)＝sin＋的图象，

又函数g(x)的图象关于点对称，

即h(x)＝sin的图象关于点对称，

故sin＝0，即＋2m＝kπ(k∈Z)，

故m＝－(k∈Z)．令k＝2，则m＝.

14．函数y＝sin(ωx＋φ)在同一个周期内，当x＝时，y取得最大值1，当x＝时，y取得最小值－1.若函数f(x)满足方程f(x)＝a(0＜a＜1)，则在[0,2π]内的所有实数根之和为(　A　)

A．   B．

C．   D．

解析：由题意可得＝2×，所以ω＝3.

又sin＝1，所以＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，

所以φ＝2kπ－(k∈Z)．

又|φ|＜，所以φ＝－，

所以函数f(x)＝sin.

由于f(x)＝sin的最小正周期为，所以f(x)＝sin在[0,2π]内恰有3个周期，

所以sin＝a(0＜a＜1)在[0,2π]内有6个实数根，

由小到大依次记为x1，x2，x3，x4，x5，x6，

令3x－＝2kπ＋，k∈Z，可得x＝＋，(k∈Z)．

依据f(x)图象的对称性可得x1＋x2＝2×＝，x3＋x4＝2×＝，x5＋x6＝2×＝，

故所有实数之和为x1＋x2＋…＋x6＝＋＋＝，故选A．

15．已知函数f(x)＝2sin，g(x)＝mcos－2m＋3(m＞0)，若对∀x1∈，∃x2∈，使得g(x1)＝f(x2)成立，则实数m的取值范围是　.

解析：当x∈时，2x＋∈，

sin∈，

∴当x∈时，函数f(x)＝2sin的值域为[1,2]．

当x∈时，2x－∈，

cos∈，

∴当x∈时，函数g(x)＝mcos－2m＋3(m＞0)的值域为.

∵对∀x1∈，∃x2∈，

使得g(x1)＝f(x2)成立，

∴解得1≤m≤，即m∈.

16．(2019·福建厦门一模)已知函数f(x)＝Msin(ωx＋φ)的图象与x轴的两个相邻交点是A(0,0)，B(6,0)，C是函数f(x)图象的一个最高点．a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，满足(a＋c)·(sinC－sinA)＝(a＋b)sinB．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)将函数f(x)的图象向左平移1个单位后，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间．

解：(1)∵函数f(x)＝Msin(ωx＋φ)

的图象与x轴的两个相邻交点是A(0,0)，B(6,0)，

∴sinφ＝0，∴φ＝0，且＝·＝6，

∴ω＝，∴f(x)＝Msinx.

∵C是函数f(x)图象的一个最高点，a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，

满足(a＋c)(sinC－sinA)＝(a＋b)sinB，

∴(a＋c)(c－a)＝(a＋b)b，

整理可得＝－，

即cosC＝－，∴C＝.

由题意可得CA＝CB，∴A＝，

设AB的中点为D，连接CD，

则CD⊥AB，且点D(3,0)，点C(3，M)，

根据tanA＝tan＝＝＝，

得M＝，∴f(x)＝sinx.

(2)将函数f(x)＝sinx的图象向左平移1个单位，纵坐标不变，可得

y＝sin＝sin的图象；

再把横坐标伸长为原来的倍，得到函数

g(x)＝sin＝sin的图象．

令2kπ＋≤＋≤2kπ＋，k∈Z.

得4kπ＋≤x≤4kπ＋，k∈Z，

故函数g(x)的单调递减区间为，k∈Z.