2020届高考数学一轮复习：课时作业28《平面向量的数量积及应用举例》(含解析) 练习

课时作业28　平面向量的数量积及应用举例

1．(2019·合肥质检)设向量a，b满足|a＋b|＝4，a·b＝1，则|a－b|＝(　B　)

A．2  B．2

C．3  D．2

解析：由|a＋b|＝4，a·b＝1，得a2＋b2＝16－2＝14，

∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝14－2×1＝12，

∴|a－b|＝2.

2．(2019·洛阳一模)已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为，且(a＋λb)⊥(2a－b)，则实数λ的值为(　D　)

A．－7   B．－3

C．2   D．3

解析：依题意得a·b＝2×1×cos＝－1，(a＋λb)·(2a－b)＝0，即2a2－λb2＋(2λ－1)a·b＝0,3λ＋9＝0，λ＝3.

3．如图，一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为(　A　)

A．2   B．2

C．2   D．6

解析：如题图所示，由已知得F1＋F2＋F3＝0，

则F3＝－(F1＋F2)，

即F＝F＋F＋2F1·F2＝F＋F＋2|F1|·|F2|·cos60°＝28.故|F3|＝2.

4．(2019·安徽江南十校联考)已知△ABC中，AB＝6，AC＝3，N是边BC上的点，且＝2，O为△ABC的外心，则·的值为(　D　)

A．8  B．10

C．18  D．9

解析：由于＝2，则＝＋，

取AB的中点为E，连接OE，

由于O为△ABC的外心，则⊥，

∴·＝·＝2＝×62＝18，

同理可得·＝2＝×32＝，

所以·＝·＝·＋·＝×18＋×＝6＋3＝9，故选D.

5．已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则(　D　)

A．动点P的轨迹一定通过△ABC的重心

B．动点P的轨迹一定通过△ABC的内心

C．动点P的轨迹一定通过△ABC的外心

D．动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心

解析：由条件，得＝λ，

从而·＝λ

＝λ·＋λ·＝0，

所以⊥，则动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心．

6．设O(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，点P是线段AB上的一个动点，＝λ，若·≥·，则实数λ的取值范围是(　B　)

A.≤λ≤1   B．1－≤λ≤1

C.≤λ≤1＋   D．1－≤λ≤1＋

解析：因为＝λ，＝(1－λ，λ)，＝λ＝(－λ，λ)，·≥·，所以(1－λ，λ)·(－1,1)≥(λ，－λ)·(λ－1,1－λ)，所以2λ2－4λ＋1≤0，解得1－≤λ≤1＋，因为点P是线段AB上的一个动点，所以0≤λ≤1，即满足条件的实数λ的取值范围是1－≤λ≤1.

7．(2019·河南郑州模拟)已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|＝1，若a·b＝，则(a＋b)·(2b－c)的最小值为(　B　)

A．－2   B．3－

C．－1  D．0

解析：由|a|＝|b|＝1，a·b＝，

可得〈a，b〉＝.

令＝a，＝b，以的方向为x轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，

则a＝＝(1,0)，b＝＝，

设c＝＝(cosθ，sinθ)(0≤θ＜2π)，

则(a＋b)·(2b－c)＝2a·b－a·c＋2b2－b·c＝3－＝3－sin，则(a＋b)·(2b－c)的最小值为3－，故选B.

8．(2019·河南天一联考测试)如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，∠BAC＝60°，D，E分别是AB，AC的中点，连接CD，BE交于点F，连接AF，取CF的中点G，连接BG，则·＝　.

解析：依题意，F是△ABC的重心，

＝×(＋)＝(＋)，

＝(＋)＝

＝·＝－.

故·＝(＋)·＝.

9．(2019·河南安阳模拟)已知在△OAB中，OA＝OB＝2，AB＝2，动点P位于线段AB上，则当·取最小值时，向量与的夹角的余弦值为－　.

解析：法一　易知∠AOB＝120°，记＝a，＝b，

则a·b＝－2，设＝λ＝λa－λb(0≤λ≤1)，

则＝＋＝(λ－1)a－λb，

则·＝(λa－λb)·[(λ－1)a－λb]＝12λ2－6λ，

当λ＝时，·取最小值－，

此时，||＝||＝，＝－a－b＝－(3a＋b)，||＝|3a＋b|＝，

所以向量与的夹角的余弦值为＝＝－.

法二　取线段AB的中点C，连接OC，

以线段AB的中点C为原点，以的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向建立直角坐标系，

则O(0,1)，A(－，0)，B(，0)，

设P(x,0)(－≤x≤)．

则·＝(－－x,0)·(－x,1)＝x2＋x，

当x＝－时，·取最小值－.

此时＝，＝，

所以向量与的夹角的余弦值为＝＝－.

10．(2019·河北衡水二中模拟)已知在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝2CD＝2，AB∥CD，∠ADC＝90°，若点M在线段AC上，则|＋|的取值范围为　.

解析：建立如图所示的平面直角坐标系．

则A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)，D(0,2)，

设＝λ(0≤λ≤1)，

则M(λ，2λ)，故＝(－λ，2－2λ)，＝(2－λ，－2λ)，

则＋＝(2－2λ，2－4λ)，

|＋|＝

＝ ，

当λ＝0时，|＋|取得最大值2，

当λ＝时，|＋|取得最小值为，

∴|＋|∈.

11．(2019·德州一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cosB，－sinB)，且m·n＝－.

(1)求sinA的值；

(2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影．

解：(1)由m·n＝－，得

cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB＝－，

所以cosA＝－.因为0＜A＜π，

所以sinA＝＝ ＝.

(2)由正弦定理，得＝，

则sinB＝＝＝，

因为a＞b，所以A＞B，且B是△ABC一内角，则B＝.

由余弦定理得(4)2＝52＋c2－2×5c×，

解得c＝1，c＝－7舍去，

故向量在方向上的投影为

||cosB＝ccosB＝1×＝.

12．已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且·＝0.

(1)求动点P的轨迹方程；

(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任意一条直径，求·的最值．

解：(1)设P(x，y)，则Q(8，y)．

由·＝0，

得||2－||2＝0，

即(2－x)2＋(－y)2－(8－x)2＝0，化简得＋＝1.

所以动点P在椭圆上，其轨迹方程为＋＝1.

(2)易知＝＋，＝＋，

且＋＝0，由题意知N(0,1)，

所以·＝2－2＝(－x)2＋(1－y)2－1＝16＋(y－1)2－1＝－y2－2y＋16＝－(y＋3)2＋19.

因为－2≤y≤2，

所以当y＝－3时，·取得最大值19，

当y＝2时，·取得最小值12－4.

综上，·的最大值为19，最小值为12－4.

13．(2019·四川凉山州模拟)若直线ax－y＝0(a≠0)与函数f(x)＝的图象交于不同的两点A，B，且点C(6,0)，若点D(m，n)满足＋＝，则m＋n等于(　B　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：因为f(－x)＝＝＝－f(x)，且直线ax－y＝0过坐标原点，所以直线与函数f(x)＝的图象的两个交点A，B关于原点对称，即xA＋xB＝0，yA＋yB＝0，又＝(xA－m，yA－n)，＝(xB－m，yB－n)，＝(m－6，n)，

由＋＝，得xA－m＋xB－m＝m－6，yA－n＋yB－n＝n，解得m＝2，n＝0，所以m＋n＝2，故选B.

14．设a，b为非零向量，|b|＝2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2个a和2个b排列而成．若x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4所有可能取值中的最小值为4|a|2，则a与b的夹角为(　B　)

A.   B.

C.   D．0

解析：a·a＝|a|2，b·b＝|b|2＝4|a|2，

设a与b的夹角为θ，

则a·b＝|a|·|b|·cosθ＝2|a|2·cosθ.

①若xi·yi(i＝1,2,3,4)中2个a均与a相乘，则x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4＝a2＋a2＋b2＋b2＝10|a|2；

②若xi·yi(i＝1,2,3,4)中仅有一个a与a相乘，

则x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4＝a2＋b2＋2a·b＝5|a|2＋4|a|2cosθ；

③若xi·yi(i＝1,2,3,4)中的a均不与a相乘，则x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4＝4a·b＝8|a|2·cosθ.

因为5|a|2＋4|a|2cosθ－8|a|2cosθ＝5|a|2－4|a|2cosθ＝|a|2(5－4cosθ)＞0，

所以5|a|2＞4|a|2cosθ得

5·|a|2＋4|a|2cosθ＞8|a|2cosθ，

即x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4的所有可能取值中的最小值为8|a|2cosθ，

依题意得8·|a|2cosθ＝4|a|2，

从而cosθ＝，又0≤θ≤π，故θ＝.

15．(2019·济南模拟)已知平面上的两个向量和满足||＝a，||＝b，且a2＋b2＝1，·＝0，若向量＝λ＋μ(λ，μ∈R)，且(2λ－1)2a2＋(2μ－1)2b2＝4，则||的最大值为　.

解析：设AB的中点为M，∵·＝0且a2＋b2＝1，

∴||＝||＝||＝||＝，

又∵＝(＋)，

∴＝－＝(λ＋μ)－(＋)

＝＋.

∴||2＝2a2＋2b2，①

又∵(2λ－1)2a2＋(2μ－1)2b2＝4，

整理得2a2＋2b2＝1，

代入①式得||2＝1，即||＝1，

即点C的轨迹是以点M为圆心，1为半径的圆，

又∵||＝，∴当与同向时，||的值最大，

此时||＝，故填.

16．已知向量a＝，b＝(cosx，－1)．

(1)当a∥b时，求cos2x－sin2x的值；

(2)设函数f(x)＝2(a＋b)·b，已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，sinB＝，求f(x)＋4cos的取值范围．

解：(1)因为a∥b，所以cosx＋sinx＝0，

所以tanx＝－.

cos2x－sin2x＝＝＝.

(2)f(x)＝2(a＋b)·b

＝2·(cosx，－1)

＝sin2x＋cos2x＋＝sin＋.

由正弦定理＝，得

sinA＝＝＝，所以A＝或A＝.

因为b＞a，所以A＝.

所以f(x)＋4cos＝sin－，

因为x∈，所以2x＋∈，

所以－1≤f(x)＋4cos≤ －.所以

f(x)＋4cos的取值范围是.