2020届高考数学一轮复习：课时作业31《等差数列及其前n项和》(含解析) 练习

课时作业31　等差数列及其前n项和

1．(2019·湖北荆州一模)在等差数列{an}中，a1＝1，a2＋a6＝10，则a7＝(　A　)

A．9   B．10

C．11   D．12

解析：∵在等差数列{an}中，a1＝1，a2＋a6＝10，

∴

解得a1＝1，d＝，∴a7＝a1＋6d＝1＋8＝9.故选A.

2．在等差数列{an}中，a3，a15是方程x2－6x＋5＝0的根，则S17的值是(　B　)

A．41   B．51

C．61   D．68

解析：由题可得a3＋a15＝6，

所以a1＋a17＝a3＋a15＝6.

所以S17＝＝×6＝51.

3．(2019·山东菏泽一模)已知在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝2a＋1，a5＝3a＋2，若Sn＝a1＋a2＋…＋an，且Sk＝66，则k的值为(　B　)

A．9   B．11

C．10   D．12

解析：∵在等差数列中，第一项、第三项、第五项分别为1,2a＋1,3a＋2，∴2(2a＋1)＝1＋3a＋2，解得a＝1，∴公差d＝＝＝1，∴Sk＝k×1＋×1＝66，解得k＝11或k＝－12(舍)．故选B.

4．(2019·江西赣中南五校联考)在等差数列{an}中，已知a3＋a8＞0，且S9＜0，则S1、S2、…、S9中最小的是(　A　)

A．S5   B．S6

C．S7   D．S8

解析：在等差数列{an}中，∵a3＋a8＞0，S9＜0，

∴a5＋a6＝a3＋a8＞0，S9＝＝9a5＜0，

∴a5＜0，a6＞0，∴S1、S2、…、S9中最小的是S5，故选A.

5．(2019·河南信阳模拟)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代一种质量单位)，在这个问题中，甲得　钱(　C　)

A.  B.

C.  D.

解析：甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数依次设为成等差数列的a1，a2，a3，a4，a5，设公差为d，由题意知a1＋a2＝a3＋a4＋a5＝，即解得故甲得钱，故选C.

6．(2019·泉州模拟)在各项均为正数的等差数列{an}中，其前n项和为Sn，当n∈N*，n≥2时，有Sn＝(a－a)，则S20－2S10＝(　A　)

A．50   B．－50

C．100   D．－100

解析：设等差数列{an}的公差为d，

则当n＝3时，S3＝(a－a)，

即3a1＋3d＝(a1＋2d)2－a，

整理得a1＋d＝2d(a1＋d)，可得d＝，

所以S20－2S10＝20a1＋×－20a1－10×9×＝50，故选A.

7．(2019·石家庄一模)已知函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，且f(x)在(－1，＋∞)上单调，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f(a50)＝f(a51)，则数列{an}的前100项的和为(　B　)

A．－200   B．－100

C．－50   D．0

解析：因为函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，又函数f(x)在(－1，＋∞)上单调，所以f(x)在(－∞，－1)上也单调，且数列{an}是公差不为0的等差数列．又f(a50)＝f(a51)，所以a50＋a51＝－2，所以S100＝＝50(a50＋a51)＝－100.

8．(2019·太原模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝9，a2a4＝21，数列{bn}满足＋＋…＋＝1－(n∈N*)，若bn＜，则n的最小值为(　C　)

A．6  B．7

C．8  D．9

解析：设等差数列{an}的公差为d.

∵S3＝a1＋a2＋a3＝3a2＝9，a2a4＝21，

∴a2＝3，a4＝7，d＝2，an＝2n－1.

设Tn＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－，

则Tn＋1＝＋＋…＋＋＝1－，两式作差得Tn＋1－Tn＝＝－＝，所以bn＋1＝，则bn＝.

当bn＜，即＜时，得n的最小值为8，故选C.

9．设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝　130　.

解析：由an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0，得n≥5，∴当n≤5时，an≤0，当n＞5时，an＞0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130.

10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn＝324(n＞6)，则数列{an}的项数为　18　.

解析：由题意知a1＋a2＋…＋a6＝36，①

an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180，②

①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝

6(a1＋an)＝216，

∴a1＋an＝36，又Sn＝＝324，

∴18n＝324，∴n＝18.

11．(2019·福建外国语中学调研)已知等差数列{an}的公差d＞0，前n项和为Sn，且a2·a3＝45，S4＝28.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝(c为非零常数)，且数列{bn}也是等差数列，求c的值．

解：(1)∵S4＝28，∴＝28，

∴a1＋a4＝14，则a2＋a3＝14，

又a2·a3＝45，公差d＞0，

∴a2＜a3，a2＝5，a3＝9，

∴解得∴an＝4n－3.

(2)由(1)知Sn＝2n2－n，∴bn＝＝，

∴b1＝，b2＝，b3＝.

又{bn}是等差数列，∴b1＋b3＝2b2，

即2×＝＋，

解得c＝－(c＝0舍去)．

12．(2019·山东济南一中检测)各项均不为0的数列{an}满足＝an＋2an，且a3＝2a8＝.

(1)证明：数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{bn}的通项公式为bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.

解：(1)证明：依题意，an＋1an＋an＋2an＋1＝2an＋2an，两边同时除以anan＋1an＋2，

可得＋＝，故数列是等差数列，

设数列的公差为d.

因为a3＝2a8＝，所以＝5，＝10，

所以－＝5＝5d，即d＝1，

故＝＋(n－3)d＝5＋(n－3)×1＝n＋2，

故an＝.

(2)由(1)可知bn＝＝·＝，

故Sn＝

＝.

13．(2019·湖南永州模拟)已知数列{an}是等差数列，前n项和为Sn，满足a1＋5a3＝S8，给出下列结论：

①a10＝0；②S10最小；③S7＝S12；④S20＝0.

其中一定正确的结论是(　C　)

A．①②  B．①③④

C．①③  D．①②④

解析：∵a1＋5a3＝S8，

∴a1＋5a1＋10d＝8a1＋28d，

∴a1＝－9d，

∴an＝a1＋(n－1)d＝(n－10)d，

∴a10＝0，故①一定正确，

∴Sn＝na1＋＝－9nd＋＝(n2－19n)，

∴S7＝S12，故③一定正确，显然②S10最小与④S20＝0不一定正确，故选C.

14．若数列{an}满足－＝1，且a1＝5，则数列{an}的前200项中，能被5整除的项数为(　B　)

A．90  B．80

C．60  D．40

解析：数列{an}满足－＝1，

即－＝1，又＝1，

∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列，

∴＝n，∴an＝2n2＋3n，列表如下：

∴每10项中有4项能被5整除，∴数列{an}的前200项中，能被5整除的项数为80，故选B.

15．设等差数列{an}满足a1＝1，an＞0(n∈N*)，其前n项和为Sn，若数列{}也为等差数列，则的最大值是　121　.

解析：设数列{an}的公差为d，

由题意得2＝＋，

因为a1＝1，所以2＝＋，

化简可得d＝2a1＝2，

所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，

Sn＝n＋×2＝n2，

所以＝＝2＝2

＝2.

又为单调递减数列，

所以≤＝112＝121.

16．已知数列{an}满足，an＋1＋an＝4n－3(n∈N*)．

(1)若数列{an}是等差数列，求a1的值；

(2)当a1＝2时，求数列{an}的前n项和Sn.

解：(1)法一：∵数列{an}是等差数列，

∴an＝a1＋(n－1)d，an＋1＝a1＋nd.

由an＋1＋an＝4n－3，

得a1＋nd＋a1＋(n－1)d＝4n－3，

∴2dn＋(2a1－d)＝4n－3，

即2d＝4,2a1－d＝－3，解得d＝2，a1＝－.

法二：在等差数列{an}中，

由an＋1＋an＝4n－3，

得an＋2＋an＋1＝4(n＋1)－3＝4n＋1，

∴2d＝an＋2－an＝4n＋1－(4n－3)＝4，∴d＝2.

又∵a1＋a2＝2a1＋d＝2a1＋2＝1，∴a1＝－.

(2)由题意知，①当n为奇数时，

Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an

＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an)

＝2＋4[2＋4＋…＋(n－1)]－3×

＝.

②当n为偶数时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an

＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)

＝1＋9＋…＋(4n－7)

＝.

综上，Sn＝