2020届高考数学一轮复习：课时作业26《平面向量的概念及其线性运算》(含解析) 练习

课时作业26　平面向量的概念及其线性运算

1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(　B　)

A．a与λa的方向相反   B．a与λ2a的方向相同

C．|－λa|≥|a|   D．|－λa|≥|λ|·a

解析：对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa的方向相反；B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小．

2．(2019·合肥质检)已知O，A，B，C为同一平面内的四个点，若2＋＝0，则向量等于(　C　)

A．－   B．－＋

C．2－   D．－＋2

解析：因为＝－，＝－，所以2＋＝2(－)＋(－)＝－2＋＝0，所以＝2－.

3．(2019·济宁模拟)如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为(　B　)

A．1   B．2

C．3   D．4

解析：∵O为BC的中点，

∴＝(＋)

＝(m＋n)＝＋，

∵M，O，N三点共线，∴＋＝1，∴m＋n＝2.

4．(2019·河南中原名校联考)如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，＝3，F为AE的中点，则＝(　C　)

A．－   B．－

C．－＋   D．－＋

解析：＝＋＝＋

＝－＋

＝－＋

＝－＋＋＋(＋＋)

＝－＋.

5．(2019·长春模拟)在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且＝＋，则＝(　B　)

A．　　　　 B． 

C．　　　　 D．

解析：由＝＋得点D在平行于AB的中位线上，从而有S△ABD＝S△ABC，又S△ACD＝S△ABC，所以S△BCD＝S△ABC＝S△ABC，所以＝.故选B．

6．(2019·太原模拟)在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，点P是△ABC内一点(含边界)，若＝＋λ·，则||的取值范围为(　D　)

A．   B．

C．   D．

解析：在AB上取一点D，使得＝，过D作DH∥AC，交BC于H.

∵＝＋λ，且点P是△ABC内一点(含边界)，∴点P在线段DH上．

当P在D点时，||取得最小值2；

当P在H点时，||取得最大值，

此时B，P，C三点共线，

∵＝＋λ，∴λ＝，

∴＝＋，

∴2＝2＋2＋·＝，

∴||＝.

故||的取值范围为.故选D．

7．已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝3__.

解析：由已知条件得＋＝－，

如图，延长AM交BC于D点，

则D为BC的中点．

延长BM交AC于E点，延长CM交AB于F点，

同理可证E，F分别为AC，AB的中点，

即M为△ABC的重心，∴＝＝(＋)，

即＋＝3，则m＝3.

8．(2019·郑州模拟)设e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为－.

解析：由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得＝λ.

又＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，

所以＝－＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，

所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，

又e1与e2不共线，所以解得k＝－.

9．在直角梯形ABCD中，A＝90°，B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若＝＋μ，则μ的取值范围是　.

解析：由题意可求得AD＝1，CD＝，∴＝2，

∵点E在线段CD上，∴＝λ(0≤λ≤1)．

∵＝＋，

又＝＋μ＝＋2μ＝＋，∴＝1，即μ＝，∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤.

即μ的取值范围是.

10．(2019·太原质检)设G为△ABC的重心，且sinA·＋sinB·＋sinC·＝0，则角B的大小为60°__.

解析：∵G是△ABC的重心，

∴＋＋＝0，＝－(＋)，

将其代入sinA·＋sinB·＋sinC·＝0，

得(sinB－sinA)＋(sinC－sinA)＝0.

又，不共线，∴sinB－sinA＝0，sinC－sinA＝0.

则sinB＝sinA＝sinC．

根据正弦定理知，b＝a＝c，

∴△ABC是等边三角形，则B＝60°.

11．如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设＝a，＝b，试用a，b表示向量.

解：由D，O，C三点共线，可设

＝k1＝k1(－)＝k1＝－k1a＋k1b(k1为实数)，

同理，可设＝k2＝k2(－)

＝k2＝－k2a＋k2b(k2为实数)，①

又＝＋＝－a＋

＝－(1＋k1)a＋k1b，②

所以由①②，得－k2a＋k2b＝－(1＋k1)a＋k1b，

即(1＋k1－2k2)a＋b＝0.

又a，b不共线，

所以解得

所以＝－a＋B．

所以＝＋＝a＋＝(a＋b)．

12．(2019·四川成都外国语学校月考)设P是△ABC所在平面内的一点，若·(＋)＝2·且||2＝||2－2·，则点P是△ABC的(　A　)

A．外心   B．内心

C．重心   D．垂心

解析：由·(＋)＝2·，得·(＋－2)＝0，即·[(－)＋(－)]＝0，

所以·(＋)＝0.设D为AB的中点，则·2＝0，故·＝0.因为||2＝||2－2·，所以(＋)·(－)＝2·，所以·(＋－2)＝0.设BC的中点为E，同理可得·＝0，

所以P为AB与BC的垂直平分线的交点，

所以P是△ABC的外心．故选A．

13．如图所示，在△ABC中，AD＝DB，点F在线段CD上，设＝a，＝b，＝xa＋yb，则＋的最小值为(　D　)

A．6＋2   B．6

C．6＋4   D．3＋2

解析：由题意知＝xa＋yb＝2x＋y，

因为C，F，D三点共线，所以2x＋y＝1，即y＝1－2x.

由题图可知x＞0且x≠1.

所以＋＝＋＝.

令f(x)＝，则f′(x)＝，

令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝－－1(舍)．

当0＜x＜－1时，f′(x)＜0，

当x＞－1且x≠1时，f′(x)＞0.

所以当x＝－1时，f(x)取得极小值，亦为最小值，最小值为f(－1)＝＝3＋2.

14．(2019·河北百校联盟联考)已知在△ABC中，点D满足2＋＝0，过点D的直线l与直线AB，AC分别交于点M，N，＝λ，＝μ.若λ＞0，μ＞0，则λ＋μ的最小值为　.

解析：连接AD．因为2＋＝0，所以＝，

＝＋＝＋＝＋(－)＝

＋.

因为D，M，N三点共线，所以存在x∈R，

使＝x＋(1－x)，

则＝xλ＋(1－x)μ，

所以xλ＋(1－x)μ＝＋，所以xλ＝，(1－x)μ＝，所以x＝，1－x＝，所以＋＝1，

所以λ＋μ＝(λ＋μ)＝≥，当且仅当λ＝μ时等号成立，

所以λ＋μ的最小值为.

15．定义两个平面向量的一种运算a⊗b＝|a|·|b|sin〈a，b〉，则关于平面向量上述运算的以下结论中，

①a⊗b＝b⊗a；

②λ(a⊗b)＝(λa)⊗b；

③若a＝λb，则a⊗b＝0；

④若a＝λb且λ＞0，则(a＋b)⊗c＝(a⊗c)＋(b⊗c)．

正确的序号是①③④__.

解析：①恒成立，②λ(a⊗b)＝λ|a|·|b|sin〈a，b〉，

(λa)⊗b＝|λa|·|b|sin〈a，b〉，当λ＜0时，

λ(a⊗b)＝(λa)⊗b不成立，③a＝λb，则sin〈a，b〉＝0，

故a⊗b＝0恒成立，

④a＝λb，且λ＞0，则a＋b＝(1＋λ)b，(a＋b)⊗c＝

|(1＋λ)||b|·|c|sin〈b，c〉，(a⊗c)＋(b⊗c)＝|λb|·|c|sin〈b，c〉＋|b|·|c|sin〈b，c〉＝|1＋λ||b|·|c|sin〈b，c〉，

故(a＋b)⊗c＝(a⊗c)＋(b⊗c)恒成立．