2020届高考数学一轮复习：课时作业32《等比数列及其前n项和》(含解析) 练习

课时作业32　等比数列及其前n项和

1．已知正项等比数列{an}满足a3＝1，a5与a4的等差中项为，则a1的值为(　A　)

A．4   B．2

C.   D.

解析：由题意知2×＝a5＋a4，即3a4＋2a5＝2.

设{an}的公比为q(q＞0)，则由a3＝1，

得3q＋2q2＝2，解得q＝或q＝－2(舍去)，

所以a1＝＝4.

2．(2019·益阳调研)已知等比数列{an}中，a5＝3，a4a7＝45，则的值为(　D　)

A．3   B．5

C．9   D．25

解析：设等比数列{an}的公比为q，则a4a7＝·a5q2＝9q＝45，所以q＝5，＝＝q2＝25.故选D.

3．(2019·武昌调研)等比数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，Sn＋2＝4Sn＋3恒成立，则a1的值为(　C　)

A．－3   B．1

C．－3或1   D．1或3

解析：设等比数列{an}的公比为q，

当q＝1时，Sn＋2＝(n＋2)a1，Sn＝na1，

由Sn＋2＝4Sn＋3得，(n＋2)a1＝4na1＋3，

即3a1n＝2a1－3，若对任意的正整数n,3a1n＝2a1－3恒成立，

则a1＝0且2a1－3＝0，矛盾，所以q≠1，

所以Sn＝，Sn＋2＝，

代入Sn＋2＝4Sn＋3并化简得a1(4－q2)qn＝3＋3a1－3q，若对任意的正整数n该等式恒成立，

则有解得或

故a1＝1或－3，故选C.

4．(2019·西安八校联考)已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若a1·a6·a11＝－3，b1＋b6＋b11＝7π，则tan的值是(　A　)

A．－   B．－1

C．－   D.

解析：依题意得，a＝(－)3，a6＝－，3b6＝7π，b6＝，＝＝－，故tan＝tan＝－tan＝－.

5．(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为(　D　)

A.f   B.f

C.f  D.f

解析：由题意知，十三个单音的频率构成首项为f，公比为的等比数列，设该等比数列为{an}，则a8＝a1q7，即a8＝f，故选D.

6．在正项数列{an}中，a1＝2，点(，)(n≥2)在直线x－y＝0上，则数列{an}的前n项和Sn等于(　A　)

A．2n＋1－2   B．2n＋1

C．2－   D．2－

解析：因为点(，)(n≥2)在直线x－y＝0上，

所以－·＝0.

又因为an＞0，所以＝2(n≥2)．

又a1＝2，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．

所以所求的Sn＝＝2n＋1－2.

7．(2019·天津实验中学月考)设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，则a3·a6·a9·…·a30＝(　B　)

A．210  B．220

C．216  D．215

解析：因为a1a2a3＝a，a4a5a6＝a，a7a8a9＝a，…，a28a29a30＝a，所以a1a2a3a4a5a6a7a8a9…a28a29a30＝(a2a5a8…a29)3＝230.所以a2a5a8…a29＝210.则a3a6a9…a30＝(a2q)(a5q)(a8q)…(a29q)＝(a2a5a8…a29)q10＝210×210＝220，故选B.

8．(2019·山西太原模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn＋3)(n∈N*)在函数y＝3×2x的图象上，等比数列{bn}满足bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，其前n项和为Tn，则下列结论正确的是(　D　)

A．Sn＝2Tn   B．Tn＝2bn＋1

C．Tn＞an   D．Tn＜bn＋1

解析：由题意可得Sn＋3＝3×2n，Sn＝3×2n－3，

由等比数列前n项和的特点可得数列{an}是首项为3，公比为2的等比数列，数列的通项公式an＝3×2n－1，

设bn＝b1qn－1，则b1qn－1＋b1qn＝3×2n－1，

当n＝1时，b1＋b1q＝3，

当n＝2时，b1q＋b1q2＝6，

解得b1＝1，q＝2，

数列{bn}的通项公式bn＝2n－1，

由等比数列求和公式有：Tn＝2n－1，观察所给的选项：

Sn＝3Tn，Tn＝2bn－1，Tn＜an，Tn＜bn＋1.

9．在各项都为正数的等比数列{an}中，若a2 018＝，则＋的最小值为　4　.

解析：设公比为q(q＞0)，因为a2 018＝，

所以a2 017＝＝，a2 019＝a2 018q＝q，

则有＋＝q＋＝q＋≥2 ＝4，当且仅当q2＝2，

即q＝时取等号，故所求最小值为4.

10．(2019·湖北荆州一模)已知等比数列{an}的公比不为－1，设Sn为等比数列{an}的前n项和，S12＝7S4，则＝　3　.

解析：由题意可知S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，

则(S8－S4)2＝S4·(S12－S8)，

又S12＝7S4，∴(S8－S4)2＝S4·(7S4－S8)，

可得S－6S－S8S4＝0，两边都除以S，

得2－－6＝0，解得＝3或－2，

又＝1＋q4(q为{an}的公比)，

∴＞1，∴＝3.

11．设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.已知a1＝1，a2＝，a3＝，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.

(1)求a4的值；

(2)证明：为等比数列．

解：(1)当n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，

即4×＋5×＝8×＋1，

解得a4＝.

(2)证明：因为4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，

所以4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，

即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)．

又因为4a3＋a1＝4×＋1＝6＝4a2，

所以4an＋2＋an＝4an＋1，

所以＝＝＝＝，

所以数列是以a2－a1＝1为首项，为公比的等比数列．

12．(2016·四川卷)已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q＞0，n∈N*.

(1)若2a2，a3，a2＋2成等差数列，求数列{an}的通项公式；

(2)设双曲线x2－＝1的离心率为en，且e2＝，证明：e1＋e2＋…＋en＞.

解：(1)由已知，Sn＋1＝qSn＋1，Sn＋2＝qSn＋1＋1，

两式相减得到an＋2＝qan＋1，n≥1.

又由S2＝qS1＋1得到a2＝qa1，

故an＋1＝qan对所有n≥1都成立．

所以，数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列．

从而an＝qn－1.

由2a2，a3，a2＋2成等差数列，

可得2a3＝3a2＋2，

即2q2＝3q＋2，则(2q＋1)(q－2)＝0，

由已知，q＞0，故q＝2.

所以an＝2n－1(n∈N*)．

(2)证明：由(1)可知，an＝qn－1.

所以双曲线x2－＝1的离心率en＝＝.

由e2＝＝，解得q＝.

因为1＋q2(k－1)＞q2(k－1)，

所以＞qk－1(k∈N*)．

于是e1＋e2＋…＋en＞1＋q＋…＋qn－1＝，

故e1＋e2＋…＋en＞.

13．(2019·山东实验中学诊断测试)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应偿还a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是(　D　)

A．a，b，c依次成公比为2的等比数列，且a＝

B．a，b，c依次成公比为2的等比数列，且c＝

C．a，b，c依次成公比为的等比数列，且a＝

D．a，b，c依次成公比为的等比数列，且c＝

解析：由题意可知b＝a，c＝b，

∴＝，＝.

∴a、b、c成等比数列且公比为.

∵1斗＝10升，∴5斗＝50升，∴a＋b＋c＝50，

又易知a＝4c，b＝2c，∴4c＋2c＋c＝50，

∴7c＝50，∴c＝，故选D.

14．(2019·郑州第一次质量预测)已知数列{an}满足a1a2a3…an＝2n2(n∈N*)，且对任意n∈N*都有＋＋…＋＜t，则实数t的取值范围为(　D　)

A.  B.

C.  D.

解析：依题意得，当n≥2时，

an＝＝＝2n2－(n－1)2＝22n－1，

又a1＝21＝22×1－1，

因此an＝22n－1，＝，数列是以为首项，为公比的等比数列，等比数列的前n项和等于＝＜，因此实数t的取值范围是.

15．(2019·东北三省三校联考)各项均为正数的数列{an}和{bn}满足：an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列，且a1＝1，a2＝3，则数列{an}的通项公式为　an＝　.

解析：由题意知2bn＝an＋an＋1，a＝bn·bn＋1，

∴an＋1＝，

当n≥2时，2bn＝＋，

∵bn＞0，∴2＝＋，

∴{}成等差数列，

由a1＝1，a2＝3，得b1＝2，b2＝，

∴＝，＝，

∴公差d＝，

∴＝，∴bn＝，

∴an＝＝.

16．已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且－2S2，S3,4S4成等差数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)证明：Sn＋≤(n∈N*)．

解：(1)设等比数列{an}的公比为q，

因为－2S2，S3,4S4成等差数列，

所以S3＋2S2＝4S4－S3，

即S4－S3＝S2－S4，

可得2a4＝－a3，于是q＝＝－.

又a1＝，所以等比数列{an}的通项公式为an＝×n－1＝(－1)n－1·.

(2)证明：由(1)知，Sn＝1－n，

Sn＋＝1－n＋

＝

当n为奇数时，Sn＋随n的增大而减小，

所以Sn＋≤S1＋＝.

当n为偶数时，Sn＋随n的增大而减小，

所以Sn＋≤S2＋＝.

故对于n∈N*，有Sn＋≤.